divergence theorem

_posts/mathematics/calculus/2024-08-11-stokes-theorem.md

@@ -11,6 +11,10 @@ excerpt: "회전(curl)에 대한 기본정리. 열린 곡면에서의 curl 벡
 복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. [미적분학 포스트 전체 보기](/categories/calculus)
 {: .notice--info}
 
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+이번 챕터는 [Joel Feldman - CLP Calculus](https://personal.math.ubc.ca/~CLP/) 교재의 도움을 많이 받았다.
+{: .notice}
+
 # Stokes' Theorem
 
 ![](/images/mathematics/calculus-2/stokes-theorem.png){: .align-center style="max-height: 260px;" }
@@ -75,13 +79,14 @@ $$
 [Youtube: The intuition behind Stokes Curl theorem](https://youtu.be/ztvKq1gzrZA?si=wGwsECLw5b4TnXdI)
 {: .align-caption .text-center .small .gray }
 
-이 부분을 공부하면서 항상 헷갈렸던 이유는, 이게 모든 벡터장에서 성립하는게 아니라 오직 curl 벡터장 $\nabla \mathbf{F}$에 대해서만 성립한다는 사실을 인지하지 못 했기 때문인 것 같다. curl 벡터의 경우 미소 영역에서 회전이 인접한 곳의 회전과 상쇄된다는 성질이 닫힌 곡면에서의 면적분은 "0"라는 결과를 유도하는 것 같다.
+스토크스 정리를 공부하면서 항상 헷갈렸던 이유는, 명제가 모든 벡터장에서 성립하는게 아니라 오직 curl 벡터장 $\nabla \times \mathbf{F}$에 대해서만 성립한다는 사실을 인지하지 못 했기 때문인 것 같다. curl 벡터의 경우 미소 영역에서 회전이 인접한 곳의 회전과 상쇄된다는 성질이, 곡면의 적분이 경계에서의 선적분과 같다는 것도 말하고, 닫힌 곡면에서의 면적분이 "0"라는 결과도 유도한다.
+
 
 ## 발산 정리 맛보기
 
 위의 닫힌 곡면의 예제에서 발산 정리를 슬쩍 유도할 수 있다. 발산 정리도 경계에 대한 적분의 성질로, 부피 $V$에 대한 적분과 부피의 경계 곡면 $\partial V$에 대한 적분이 같다는 걸 말하는 정리다.
 
-<div class="definition" markdown="1">
+<div class="theorem" markdown="1">
 
 [curl 벡터의 면적분을 부피 적분으로 해석 by 발산 정리]
 
@@ -92,5 +97,5 @@ $$
 
 </div>
 
-이때, [$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$라는 성질](/2024/07/24/curl-and-divergence/#curl-and-div)에 의해 부피 적분의 값이 0이 되고, 덩달아 curl 벡터의 면적분 값도 0이 된다.
+이때, [$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$라는 항등식](/2024/07/24/curl-and-divergence/#curl-and-div)에 의해 부피 적분의 값이 0이 되고, 덩달아 curl 벡터의 면적분 값도 0이 된다.
 

_posts/mathematics/calculus/2024-08-14-divergence-theorem.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+---
+title: "Divergence Theorem"
+toc: true
+author: bluehorn_math
+toc_sticky: true
+categories: ["Calculus"]
+excerpt: "발산에 대한 부피 적분은, 경계 곡면에 대한 면적분과 같다는 정리."
+---
+
+
+복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. [미적분학 포스트 전체 보기](/categories/calculus)
+{: .notice--info}
+
+
+이번 챕터는 [Joel Feldman - CLP Calculus](https://personal.math.ubc.ca/~CLP/) 교재의 도움을 많이 받았다.
+{: .notice}
+
+# Divergence Theorem
+
+어떤 물체 $V$에 대한 벡터 장의 발산(div) 값($\nabla \cdot \mathbf{F}$)을 부피 적분하는 것은 부피의 경계 표면 $\partial V$에 대한 벡터장의 면적분을 계산하는 것과 같다는 정리. 수학적으로 표현하면 아래와 같다.
+
+<div class="theorem" markdown="1">
+
+Let $V$ be a bounded solid with a piecewise smooth surface $\partial V$.
+
+Let $\mathbf{F}$ be a vector field that has continuous first partial derivatives at every point of $V$.
+
+Then
+
+$$
+\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS
+= \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
+$$
+
+</div>
+
+이때, 주의할 점은 정리가 성립하기 위해선 부피 $V$ 안의 모든 점에서 벡터장 $\mathbf{F}$가 연속이고, 1차 편미분 값을 가져야 한다는 것이다. 이것에 대한 예외가 아래와 같이 원점에서 정의되지 않는 벡터장이다. 물리에서 자주 보이는 녀석.
+
+$$
+\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{\left| \mathbf{r} \right|^3}
+$$
+
+
+# with Stokes Theorem
+
+![](/images/mathematics/calculus-2/stokes-theorem-closed-curve.png){: .align-center style="max-height: 260px;" }
+[CLP Calculus Textbook](https://personal.math.ubc.ca/~CLP/CLP4/)
+{: .align-caption .text-center .small .gray }
+
+<div class="theorem" markdown="1">
+
+[curl 벡터의 면적분을 부피 적분으로 해석 by 발산 정리]
+
+$$
+\iint_{\partial V}  \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
+= \iiint_{V} \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) \, dV = 0
+$$
+
+</div>
+
+직전 포스트인 [스토스크 정리](/2024/08/11/stokes-theorem/)에서 닫힌 곡면에 대한 회전 벡터장의 면적분의 값은 항상 0이 된다는 것을 살펴보았다. 그렇게 되는 이유를 2가지로 해석할 수 있었는데,
+
+> 닫힌 곡면을 두 개의 곡면 $S_1$, $S_2$로 분할하고, 스토스크 정리에 의해 두 곡면의 적분을 경계 곡선에 대한 선적분으로 바꾼다. 이때, 두 선적분이 같은 경계 곡선을 서로 반대 방향으로 적분 하므로, 선적분이 서로 상쇄된다. 따라서 적분값은 0.
+
+다른 해석으로는 
+
+> 면적분이 닫힌 곡면이므로, 그것이 어떤 물체 $V$의 경계 곡면이라고 생각해보자. 그러면, 발산 정리에 의해 면적분이 부피 적분으로 바뀌고, 회전 벡터장 $\nabla \times \mathbf{F}$에 발산 연산자를 적용해 발산에 대한 적분으로 바뀐다. 이때, $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$이므로 적분값은 0.
+
+
+# An Application of the Divergence Theorem
+
+다른 과목 공부하면서 복습할 때, 내용을 좀 채워보자... 힛...!
+
+## the Heat Equation
+
+TDB
+
+## Buoyancy
+
+TDB