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chapters/AnalisiUno-01-reali.tex

@@ -5108,4 +5108,54 @@ \section{i numeri complessi}
 che abbiamo dato per le funzioni reali utilizzando il modulo 
 complesso al posto del valore assoluto.
 \index{continuità!campo complesso}%
-\index{funzione!continua!complessa}%
+\index{funzione!continua!complessa}%
+
+\begin{exercise}[vertici di un triangolo equilatero]
+Si risolva l'equazione 
+\[ 
+ z^3 - 1 = 0
+\]
+nel campo complesso.
+\end{exercise}
+%
+\begin{proof}[Svolgimento.]
+Ricordiamo il prodotto notevole:
+\[
+  z^3 - 1 = (z-1)(z^2+z+1).
+\]
+Dunque $z=1$ è una soluzione e le altre soluzioni devono risolvere 
+l'equazione $z^2+z+1=0$. 
+Certamente $z=0$ non è soluzione e dunque possiamo dividere per $z$ 
+e ottenere:
+\[
+  z + 1 + \frac 1 z = 0.
+\]
+Osserviamo ora che se $z$ è soluzione si ha $1=z^3$
+e quindi: $1 = \abs{z^3}= \abs{z}^3$ da cui $\abs z = 1$.
+Ma allora $z\cdot \bar z = \abs{z}^2 = 1$ ovvero $\frac 1 z = \bar z$.
+Dunque si ha 
+\[
+    z + 1 + \bar z = 0.
+\]
+Osserviamo ora che se $z=x+iy$ con $x,y\in \RR$ allora $z+\bar z = 2x$
+e quindi 
+\[
+    2x + 1 = 0 
+\]
+da cui $x=-\frac 1 2$. Essendo inoltre $x^2+y^2=\abs{z}^2=1$ si ottiene
+$y^2 = 1-x^2 = \frac 3 4$ da cui $y=\pm \frac{\sqrt 3}{2}$.
+
+L'equazione data ha quindi $3$ soluzioni:
+\[
+z_0 = 1, \qquad 
+z_{1,2} = -\frac 1 2 \pm i \frac{\sqrt 3} 2.
+\]
+
+Questi tre punti, se disegnati sul piano di Gauss, si trovano 
+ai vertici di un triangolo equilatero iscritto nella circonferenza unitaria.
+Infatti l'interpretazione geometrica del prodotto di numeri complessi ci dice 
+che il punto $z_1$ individua sul piano di Gauss un angolo pari 
+ad un terzo dell'angolo giro. Inoltre si ha $z_2 = z_1^2$ e dunque 
+$z_2$ corrisponde a $\frac 2 3$ di angolo giro e $z_0=z_1^3 = 1$ rappresenta 
+l'angolo giro (o l'angolo nullo).
+\end{proof}