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biblio.bib

@@ -1,6 +1,6 @@
 @book{forallx,
   author    = {T. Button},
-  title     = {forall x: An Introduction to Formal Logic},
+  title     = {Forall x: An Introduction to Formal Logic},
   year      = {2015},
   edition   = {1st},
   publisher = {Open Logic Project},

chapters/derivate/derivata.tex

@@ -192,7 +192,7 @@ \section{derivata}
 
 
 \begin{theorem}[derivata della funzione composta]
-\mymark{**}
+\mymark{**}%
 Sia $f$ una funzione derivabile nel punto $x_0$
 e sia $g$ una funzione derivabile nel punto $f(x_0)$.
 Allora la funzione composta $g\circ f$ è derivabile
@@ -279,7 +279,8 @@ \section{derivata}
 
 
 \begin{theorem}[operazioni con le derivate]
-\mymark{***}
+  \label{th:derivate_operazioni}%
+\mymark{***}%
 Siano $f$ e $g$ due funzioni derivabili in uno stesso punto $x_0$.
 Allora le funzioni $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$ e, se $g(x_0)\neq 0$ anche $f/g$ sono funzioni derivabili in $x_0$. Nei punti in cui entrambe le funzioni sono derivabili si ha
 \begin{gather*}

chapters/derivate/landau.tex

@@ -187,10 +187,11 @@ \section{operazioni con i simboli di Landau}
 \end{example}
 
 \begin{exercise}
-Dimostrare (per semplice curiosità) che valgono anche le inclusioni inverse a quelle enunciate nel teorema:
+Dimostrare (per semplice curiosità) che valgono anche le inclusioni inverse 
+a quelle enunciate nel teorema:
 \begin{gather*}
 o(f\cdot g) \subset o(f) \cdot o(g), \qquad
-O(f\cdot g) \subset O(f) \cdot o(g), \\
+o(f\cdot g) \subset O(f) \cdot o(g), \\
 o(f\cdot g) \subset o(f) \cdot O(g), \\
 o(f) \subset o(o(f)),  \qquad
 O(f) \subset O(O(f)).

chapters/derivate/regolarita.tex

@@ -11,6 +11,13 @@ \section{classi di regolarità}
 seconda $f''$ è continua, diremo che $f$ è di classe $C^2$. 
 E così via.
 
+E' importante osservare che $C^1(A)$ non coincide con l'insieme delle funzioni 
+derivabili su $A$. 
+Infatti abbiamo già visto nell'esempio~\ref{ex:derivata_non_continua} 
+che esistono funzioni derivabili la cui derivata non è continua 
+e quindi tali funzioni, pur essendo derivabili, non sono di classe $C^1$.
+
+
 Per definire formalmente l'insieme delle funzioni di classe $C^k$ 
 per ogni $k\in \NN$ dobbiamo dare una definizione per induzione.
 Definiamo inoltre la classe $C^{\infty}(A)$ che è l'insieme delle funzioni 
@@ -58,7 +65,52 @@ \section{classi di regolarità}
 Gli spazi $C^k(A)$ per $k=0, \dots, \infty$ sono una famiglia decrescente di sottospazi vettoriali di $\RR^A$.
 Infatti sappiamo che la combinazione lineare di funzioni continue è continua e che la combinazione lineare di funzioni derivabili è derivabile.
 
-E' importante osservare che $C^1(A)$ non coincide con l'insieme delle funzioni derivabili su $A$. Infatti abbiamo già visto nell'esempio~\ref{ex:derivata_non_continua} che esistono funzioni derivabili la cui derivata non è continua e quindi tali funzioni, pur essendo derivabili, non sono di classe $C^1$.
+\begin{theorem}
+Le funzioni $x$, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tg x$, $\arctg x$ 
+sono di classe $C^\infty$. 
+Somma, differenza, prodotto, rapporto, e composizione di funzioni di classe $C^n$ 
+sono anch'esse di classe $C^n$ per $n=0,1,2,\dots,\infty$.
+\end{theorem}
+\begin{proof}
+Verifichiamo per induzione che se $f,g \in C^n$ allora $f+g \in C^n$.
+Per $n=0$ sappiamo che la somma di funzioni continue è continua: $f,g\in C^0$ implica $f+g\in C^0$.
+Per $n>1$ se $f,g\in C^n$ allora $f$ e $g$ sono derivabili e si ha 
+$(f+g)'=f'+g'$ (teorema~\ref{th:derivate_operazioni}).
+Ma per definizione di $C^n$ si ha $f',g'\in C^{n-1}$ e per ipotesi induttiva 
+$f'+g'\in C^{n-1}$ dunque $f+g\in C^n$.
+
+Dimostrazione analoga si può fare per il prodotto $f\cdot g$ osservando 
+che $(f\cdot g)' = f'g + fg'$ e che se $f,g\in C^n$ allora $f',g'\in C^{n-1}$ 
+dunque $f'g,fg'\in C^{n-1}$ e $f'g+fg'\in C^{n-1}$.
+
+Stessa cosa per la composizione visto che $(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$.
+
+Dunque somma, prodotto e composizione di funzioni di classe $C^n$ sono di classe $C^n$
+e lo stesso vale dunque per le funzioni di classe $C^\infty$.
+
+Notiamo ora che le funzioni $-x$ e $\frac 1 x$ sono di classe $C^\infty$
+(possiamo esplicitamente calcolarne le derivate di ordine qualunque) e quindi 
+se $f\in C^n$ anche $-f$ e $\frac 1 f$ sono di classe $C^n$ per la proprietà della 
+composizione. 
+Ne segue che anche la differenza e il rapporto di funzioni di classe $C^n$   
+è di classe $C^n$.
+
+Possiamo quindi prendere in considerazione le funzioni elementari elencate nell'enunciato 
+e osservare che sono tutte funzioni derivabili e che la loro derivata si scrive 
+come somma, prodotto, rapporto o composizione delle stesse funzioni elementari.
+Dunque se tutte queste funzioni sono di classe $C^n$ allora anche la loro derivata 
+è di classe $C^n$. 
+Ma se la derivata è di classe $C^n$ allora la funzione è di classe $C^{n+1}$
+e dunque, per induzione, tutte le funzioni elementari sono di classe $C^\infty$.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+  La funzione 
+  \[
+    \frac{e^{x-\arctg x^2}}{1+\ln x}
+  \]
+  è di classe $C^\infty$.
+\end{example}
 
 \begin{definition}[funzioni lipschitziane]
 \mymark{**}

chapters/derivate/studio_funzione.tex

@@ -3,7 +3,7 @@ \section{studio di funzione}
 \begin{exercise}
 \index{problema!della lattina}%
 \index{lattina!problema della}%
-Determinare base e altezza di una lattina cilindrica di volume $33 cl$
+Determinare raggio e altezza di una lattina cilindrica di volume $33 cl$
 che a parità di volume ha la minima superficie totale.
 \end{exercise}
 \begin{proof}[Svolgimento.]

chapters/derivate/taylor.tex

@@ -209,7 +209,9 @@ \section{formula di Taylor}
 e dunque si ottiene il risultato voluto.
 \end{proof}
 
-Nel teorema seguente utilizzeremo una nuova notazione. Scriveremo
+Nel teorema seguente utilizzeremo una nuova notazione. 
+\begin{definition}[notazione $o$-piccolo]
+Scriveremo
 \mymargin{$o$-piccolo}%
 \index{$o$-piccolo}%
 \[
@@ -222,6 +224,8 @@ \section{formula di Taylor}
   \qquad\text{ovvero}\qquad
   \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-P(x)}{g(x)} = 0.
 \]
+\end{definition}
+
 La quantità $o(g(x))$ rappresenta una funzione incognita
 che però sappiamo essere trascurabile (nel senso appena descritto)
 rispetto alla funzione $g(x)$.
@@ -250,7 +254,7 @@ \section{formula di Taylor}
   f(x) = P(x) + o((x-x_0)^n).
 \end{equation}
 
-Viceversa se $P(x)$ è un polinomio qualunqu, di grado minore o uguale a $n$, e vale la
+Viceversa se $P(x)$ è un polinomio qualunque, di grado minore o uguale a $n$, e vale la
 formula~\eqref{eq:Taylor} allora $P$ è il polinomio di Taylor di $f$.
 \end{theorem}
 %
@@ -318,6 +322,83 @@ \section{formula di Taylor}
 devono essere nulli e dunque $Q=P$.
 \end{proof}
 
+\begin{exercise}
+Calcolare:
+\[
+  \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x^2)}{x^4}.
+\]
+\end{exercise}
+\begin{proof}[Svolgimento.]
+Il polinomio di Taylor di ordine $2$ per la funzione $f(x) = \cos x$ 
+centrato in $x_0=0$ è 
+\[ 
+  P(x)
+   = \cos 0 - \sin 0\cdot x -\frac{\cos 0}{2} \cdot x^2 
+   = 1 - \frac{x^2}{2}.
+\]
+Il teorema~\ref{th:taylor_peano} (formula di Taylor con resto di Peano)
+ci dice allora che si ha  
+\begin{equation}\label{eq:498101}
+   \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac {x^2}{2}}{x^2} = 0
+\end{equation}
+ovvero, utilizzando la notazione degli $o$-piccolo:
+\begin{equation}\label{eq:498102}
+  \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
+  \qquad \text{per $x\to 0.$}
+\end{equation}
+Sostituendo $x^2$ al posto di $x$ nel limite~\eqref{eq:498101} 
+si ottiene di conseguenza:
+\begin{equation}\label{eq:498103}
+  \lim_{x\to 0}\frac{\cos x^2 -1 + \frac{x^4}{2}}{x^4} = 0
+\end{equation}
+che può essere scritta in maniera più espressiva come:
+\[
+  \cos (x^2) = 1 - \frac{x^4}{2} + o(x^4).
+\]
+Quest'ultima relazione può essere ottenuta direttamente 
+da~\eqref{eq:498102} sostituendo $x^2$ al posto di $x$, 
+come vedremo nel capitolo~\ref{sec:landau}.
+Allora per $x\to 0$ si ha:
+\[
+  \frac{1-\cos(x^2)}{x^4} 
+  = \frac{\frac{x^4}{2} - o(x^4)}{x^4} 
+  = \frac 1 2 - \frac{o(x^4)}{x^4} \to \frac 1 2
+\]
+in quanto, per definizione di $o$-piccolo, si ha
+\[
+  \lim_{x\to 0 } \frac{o(x^4)}{x^4} = 0.
+\]
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+Sia $f(x) = \cos(x^2)$. Calcolare $f''''(0)$.
+\end{example}
+\begin{proof}[Svolgimento.]
+Abbiamo visto nell'esempio precedente che per $x\to 0$ si ha 
+\[
+  \cos(x^2) = 1 - \frac{x^4}{2} + o(x^4).
+\]
+Grazie alla seconda parte del teorema~\ref{th:taylor_peano} (formula di Taylor con resto di Peano)
+sappiamo allora che il polinomio 
+\[
+  P(x) = 1 - \frac{x^4}{2}
+\]
+è il polinomio di Taylor di ordine $4$ centrato in $x_0=0$ per la funzione $f(x)$.
+D'altra parte, per la definizione di polinomio di Taylor, si ha
+\[
+  P(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2} \cdot x^2 
+  + \frac{f'''(0)}{6} \cdot x^3 + \frac{f''''(0)}{24} \cdot x^4
+\]
+e quindi, per il principio di identità dei polinomi, si deduce
+\[
+  f(0) = 1,\qquad
+  f'(0) = 0,\qquad
+  f''(0) = 0,\qquad
+  f'''(0) = 0,\qquad
+  f''''(0) = -12.
+\]
+\end{proof}
+
 \begin{definition}[coefficiente binomiale reale]
 \label{def:binomiale_reale}%
 \mymark{***}%

chapters/fondamenti/reali.tex

@@ -474,7 +474,7 @@ \subsection{teorema di isomorfismo}
 \begin{theorem}[estensione monotòna]
   \label{th:estensione_monotona}
 Siano $I$ e $J$ insiemi totalmente ordinati e supponiamo che l'ordinamento 
-di $I$ sia continuo. 
+di $J$ sia continuo. 
 Sia $D\subset I$ un sottoinsieme tale che 
 per ogni $x \in I$ esistano $a,b\in D$ tali che $a\le x\le b$.
 Sia $f\colon D\to J$ una funzione crescente (o decrescente).