rilascio 15.3.2021

* menzione funzioni speciali e teorema di Lioville
* trucco di Feynmann per le derivate
* derivate parziali
* figura aggiuntiva esempio di Darboux
* equivalenza tra integrale di Riemann e misura di Peano-Jordan
* integrale di arcsin x
* rifatta figura con le somme di Fourier

AnalisiUno.tex

@@ -111,6 +111,11 @@
 \DeclareMathOperator{\settsinh}{settsinh}
 \DeclareMathOperator{\settcosh}{settcosh}
 \DeclareMathOperator{\setttgh}{setttgh}
+\DeclareMathOperator{\erf}{erf}
+\DeclareMathOperator{\li}{li}
+\DeclareMathOperator{\ei}{ei}
+\DeclareMathOperator{\Si}{Si}
+\DeclareMathOperator{\FresnelS}{S}
 \DeclareMathOperator{\tr}{tr}
 \DeclareMathOperator{\im}{im}
 \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}

chapters/AnalisiUno-00-introduzione.tex

@@ -69,6 +69,9 @@ \chapter*{Introduzione}
 LaTeX. %% README
 \end{comment}
 \LaTeX{}.
+Un modo per sostenere questo progetto e mantenerlo disponibile liberamente 
+per tutti, è quello di acquistarne una copia cartacea.
+
 Il materiale è costantemente in evoluzione %% README
 e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è %% README
 benvenuto! %% README

chapters/AnalisiUno-03-serie.tex

@@ -2830,7 +2830,7 @@ \section{le funzioni trigonometriche}
 \end{theorem}
 %
 \begin{figure}
-  \myurl{figtrigo}{interagisci}
+  \myurl{figtrigo}{funzioni trigonometriche}
   \centering%
   \begin{tikzpicture}[scale=0.75]
   \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
@@ -3335,7 +3335,7 @@ \section{funzioni iperboliche}
 \end{theorem}
 %
 \begin{figure}
-  \myurl{figiperb}{interagisci}
+  \myurl{figiperb}{funzioni iperboliche}
   \centering%
   \begin{tikzpicture}[scale=0.75]
   \draw[->] (-6,0) -- (6,0) node[right] {$x$};

chapters/AnalisiUno-05-derivate.tex

@@ -472,7 +472,87 @@ \section{derivata}
   \cdot \Enclose{\frac 1 2 \cdot \frac{-2x}{1-x^2} + \frac{1}{x\ln x} - \frac{1}{x}-2\frac{-\sin x}{\cos x}}.
 \]
 
-\section{nomenclatura}
+\section{derivate parziali}
+
+Capita a volte di avere funzioni che dipendono da più variabili o da parametri.
+Ad esempio la funzione $f(x,y) = x^2y+y^2$ è una funzione definita 
+sulle coppie di numeri reali: $f\colon \RR^2\to \RR$.
+Se considero una delle due variabili, ad esempio la prima variabile $x$, 
+come un parametro fissato, posso identificare la funzione $f$ come 
+una funzione $g\colon \RR \to (\RR^\RR)$ 
+che ad ogni valore del parametro $x$ restituisce una funzione 
+della variabile $y$:
+\[
+  g(x)(y) = f(x,y).
+\]
+Dunque per ogni $x$ fissato, posso considerare la funzione $h=g(x)$
+che è una funzione della sola variabile $y$: $h(y) = g(x)(y) = f(x,y)$.  
+E posso quindi farne la derivata $h'(y)$ in qualunque punto $y$. 
+Il valore che ottengo si chiama \myemph{derivata!parziale}
+della funzione $f$ rispetto alla variabile $y$ calcolata nel punto $(x,y)$.
+Per fare il calcolo della derivata possiamo applicare le usuali regole di 
+derivazione facendo attenzione che se stiamo 
+facendo la derivata rispetto a $y$ la variabile $x$ va trattata come se 
+fosse costante, perché stiamo in effetti fissando $x$ prima di fare la derivata.
+Se $f(x,y) = x^2y+y^2$ si ottiene dunque%
+\footnote{Se non siamo abituati a pensare che $x$ possa essere un valore fissato 
+si provi a sostituire la variabile $x$ con una lettera diversa come $c$ o $\pi$ che ci dà l'idea 
+di una quantità costante.}:
+$h'(y) = x^2 + 2y$.
+Se ora consideriamo anche $x$ variabile otteniamo una nuova funzione di due 
+variabili $(x,y)\mapsto g(x)'(y) = h'(y)$ che può essere scritta 
+cone le seguenti notazioni% 
+\footnote{%
+Si osservi che per le funzioni di più variabili c'è una ambiguità di fondo nelle notazioni.
+Infatti se ho una espressione in due variabili come $x^2 y + y^2$ è chiaro 
+che questa rappresenta una funzione di due variabili ma non è del tutto ovvio dire quale 
+è la prima variabile e quale è la seconda. 
+Normalmente le variabili vengono indicate in ordine alfabetico a partire dalla $x$... 
+ma è solo una convenzione. In principio l'espressione $x^2y + y^2$ 
+potrebbe anche rappresentare una funzione di tre variabili $x,y,z$. 
+Dunque se ho una espressione che utilizza certi nomi per le variabili è naturale 
+usare gli stessi nomi nel simbolo utilizzato per la derivata parziale come 
+nella notazione $D_y$.
+Se invece le variabili non hanno un nome sarebbe più sensato indicare la variabile dandone 
+la posizione numerica come nella notazione $D_2$.
+Ci sono casi in cui la notazione può essere molto ambigua, come ad esempio 
+se scrivessi $\frac{\partial f(y,x)}{\partial y}$: 
+sto derivando $f$ rispetto alla prima variabile oppure derivo $f(x,y)$ rispetto alla seconda 
+variabile e poi scambio le due variabili?
+}:
+\begin{align*}
+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} 
+&= \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)
+= D_y f(x,y)
+= f_y (x,y) \\
+&= D_2 f(x,y) = f_{,2} (x,y) \\
+&= h'(y)
+\end{align*}
+
+Analogamente potremmo fare la derivata parziale di $f$ rispetto alla prima 
+variabile $x$. Se $f(x,y) = x^2y+y^2$ si ottiene
+\[
+\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2xy.
+\]
+
+Stiamo qui trattando le funzioni di più variabili come se fossero funzioni di una sola 
+variabile dipendenti da altri parametri. 
+Questo perché stiamo facendo un corso di analisi sulle funzioni di \emph{una} variabile (reale).
+\index{una!variabile}%
+\index{funzione!di una variabile}%
+\index{variabile!funzione di una}%
+Per trattare tutte le variabili come una unica variabile multidimensionale 
+bisogna fare diverse considerazioni 
+aggiuntive che vengono trattate nei corsi di analisi sulle funzioni di 
+\emph{più} 
+\index{più!variabili}%
+\index{funzione!di più variabili}%
+\index{variabili!funzione di più}%
+variabili (reali). 
+Verranno in tal caso introdotti i concetti di \emph{gradiente} $\nabla f$, 
+\emph{derivata} $Df$ e \emph{differenziale} $df$ che noi non affronteremo qui.
+
+\section{punti notevoli}
 
 In questa sezione introdurremo una terminologia che è largamente utilizzata 
 nello studio di funzione.

chapters/AnalisiUno-06-integrali.tex

@@ -1580,7 +1580,7 @@ \section{calcolo delle primitive}
 avremmo comunque scritto solo una parte delle primitive (per quanto visto nell'esempio
 precedente).
 
-\begin{theorem}[integrali di alcune funzioni elementari]
+\begin{theorem}[primitive di alcune funzioni elementari]
 \index{integrali!di alcune funzioni elementari}
 Si ha
 per ogni $\alpha \in \RR$, $\alpha\neq -1$
@@ -1661,23 +1661,19 @@ \section{calcolo delle primitive}
 e si ha
 \mymargin{sostituzione!inversa}
 \index{integrali!sostituzione inversa}
-\[
+\begin{equation}\label{eq:239455}
   \int f(x)\, dx \supset \Enclose{\int f(g(t)) g'(t)\, dt}_{t=g^{-1}(x)}
-\]
+\end{equation}
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
 %
 \begin{proof}
-Per la prima parte prendiamo una qualunque funzione
-$H$ appartenente all'insieme sul lato destro.
-Essa sarà della forma $H(x) = F(g(x))$ con $F\in \int f$ ovvero con $F'=f$.
-Facciamo la derivata:
-\[
-  H'(x) = (F(g(x)))' = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) g'(x).
-\]
-Abbiamo quindi mostrato che $H$ è una primitiva di $f(g(x))g'(x)$ e quindi è
-elemento anche dell'insieme sul lato sinistro:
-era quanto dovevamo dimostrare
+Per la prima parte 
+basta osservare che se $F(y)$ è una qualunque primitiva di $f(y)$ 
+allora $F(g(x))$ è una primitiva di $f(g(x))\cdot g'(x)$
+(basta applicare la formula di derivazione della funzione composta).
+Dunque ogni elemento dell'insieme di destra in~\eqref{eq:239455}
+è elemento dell'insieme di sinistra.
 
 Per la seconda parte sappiamo che $f$, essendo continua, ammette almeno una
 primitiva $F(x)$. Per il punto precedente sappiamo che $F(g(t))$ è una
@@ -1900,20 +1896,23 @@ \section{calcolo delle primitive}
 \]
 \end{example}
 
-\begin{theorem}[ancora integrali di funzioni elementari]
+\begin{theorem}[ancora primitive di funzioni elementari]
 \mymark{***}
 Si ha
 \begin{align*}
   \int \ln x\, dx  &= x \ln x - x, \\
-  \int \arctg x\, dx &= x \arctg x - \ln \sqrt{1+x^2}.\\
+  \int \arctg x\, dx &= x \arctg x - \ln \sqrt{1+x^2},\\
+  \int \arcsin x\, dx &= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2},\\
+  \int \arccos x\, dx &= x \arccos x - \sqrt{1-x^2}.
 \end{align*}
 \end{theorem}
 %
 \begin{proof}
 \mymark{***}
-In entrambi i casi l'idea è che la derivata della funzione integranda trasforma
-la funzione trascendente in una funzione
-razionale. Può quindi risultare utile applicare l'integrazione
+L'idea, in tutti i casi, è che la derivata della funzione integranda
+è molto più semplice della funzione stessa (nei primi due casi è una funzione 
+razionale negli altri due una funzione irrazionale ma non trascendente).
+Può quindi risultare utile applicare l'integrazione
 per parti nella forma:
 \[
   \int f(x)\, dx = \int 1\cdot f(x)\, dx = x f(x) - \int x f'(x)\, dx.
@@ -1938,6 +1937,15 @@ \section{calcolo delle primitive}
 \[
  \int \arctg x\, dx = x \arctg x - \frac 1 2 \ln\enclose{1+x^2}.
 \]
+Nel terzo caso:
+\[
+ \int 1\cdot \arcsin x\, dx = x\cdot \arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx  
+\]
+e operando la sostituzione $y=1-x^2$ si arriva a 
+\[
+  \int \arcsin x\, dx = x \cdot \arcsin x + \sqrt{1-x^2}.  
+\]
+L'ultimo integrale si svolge in maniera analoga.
 \end{proof}
 
 \begin{remark}
@@ -2616,7 +2624,7 @@ \section{integrali che si riconducono a funzioni razionali}
 \end{align*}
 \end{proof}
 
-\section{integrali senza primitiva elementare}
+\section{funzioni speciali}
 
 E' certamente molto utile conoscere i metodi di integrazione 
 per poter scrivere esplicitamente la primitiva di una 
@@ -2639,6 +2647,12 @@ \section{integrali senza primitiva elementare}
 Ovviamente è probabile che prima di noi qualcun'altro 
 si sia imbattutto in tali funzioni e gli abbia già dato 
 un nome e ne abbia studiato le proprietà. 
+Queste funzioni si chiamano usualmente \emph{funzioni speciali}
+per distinguerle dalle \emph{funzioni elementari}.
+\index{funzione!speciale}%
+\index{speciale!funzione}%
+\index{funzioni!elementari}%
+\index{elementare!funzione}%
 Nell'esempio specifico è stato definita la 
 \myemph{funzione!di errore}
 \[
@@ -2650,15 +2664,17 @@ \section{integrali senza primitiva elementare}
 \[
   \frac{1}{\ln x}, \qquad 
   \frac{e^x}{x}, \qquad
-  \frac{\sin x}{x}
+  \frac{\sin x}{x}, \qquad \sin\frac{\pi x^2}{2}
 \]
 per le quali si definiscono le rispettive primitive:
-\emph{logaritmo integrale}, \emph{integrale esponenziale}
-e \emph{seno integrale}:
+\emph{logaritmo integrale}, \emph{integrale esponenziale},
+\emph{seno integrale},
+\emph{integrale di Fresnel}:
 \[
 \li x, \qquad 
 \ei x, \qquad 
-\Si x.
+\Si x, \qquad
+S x.
 \]
 
 Il teorema tramite il quale si dimostra che queste 
@@ -2669,9 +2685,9 @@ \section{integrali senza primitiva elementare}
 Il teorema di Liouville è un teorema di tipo algebrico 
 e quindi va ben lontano dagli scopi di questo corso.
 Per chi fosse interessato a vederne la dimostrazione 
-consiglio la lettura del seguente piacevole articolo
-di Camillo De Lellis: 
-``Il teorema di Liouville\dots``
+una lettura piacevole può essere l'articolo di Camillo De Lellis: 
+\emph{Il teorema di Liouville ovvero perché ``non esiste'' la primitiva
+di $\exp(x^2)$}.
 \myurl{http://cvgmt.sns.it/paper/3456/}{Il teorema di Liouville}.
 }.
 

docs/index.html

@@ -132,41 +132,42 @@ <h1>Appunti di Analisi Matematica Uno</h1>
 benvenuto! 
 <h2>collegamenti utili</h2>
 <ul>
-  <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno">codice sorgente su GitHub</a></li>
+  <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno">codice sorgente</a></li>
   <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno/releases/latest">ultimo rilascio
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 </ul>
 <h2>riferimenti presenti nel testo</h2>
 <ul>
 <!--MYQRCODE--><li><a href="https://paolini.github.io/AnalisiUno/"> questa pagina web</a> (pagina ii)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?figtrigo">interagisci</a> (pagina 158, capitolo 3)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?figiperb">interagisci</a> (pagina 165, capitolo 3)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?darboux">Funzione con derivata non continua esempio 5.22</a> (pagina 202, capitolo 5)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?fibonacci">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.8</a> (pagina 355, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex3">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.9</a> (pagina 356, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex4">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.10</a> (pagina 357, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex5">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.11</a> (pagina 358, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex6">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.12</a> (pagina 359, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex7">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.13</a> (pagina 361, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?ex8">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.14</a> (pagina 364, capitolo 8)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?43856">i grafici delle soluzioni dell'equazione differenziale (9.7)</a> (pagina 386, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?94467">Il baffo di Peano formato dalle soluzioni del problema di Cauchy (9.11)</a> (pagina 387, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_sella">Sistemi lineari: sella</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_nodo">Sistemi lineari: nodo</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_nodo_improprio">Sistemi lineari: nodo improprio</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_stella">Sistemi lineari: stella</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_fuoco">Sistemi lineari: fuoco</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_centro">Sistemi lineari: centro</a> (pagina 420, capitolo 9)</li>
-<!--MYURL--><li><a href="?edo_463">Studio qualitativo esempio~\ref  {ex:edo_463}</a> (pagina 427, capitolo 9)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?bisection">github bisection.py</a> (pagina 431)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?series">github series.py</a> (pagina 432)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computee">github compute_e.py</a> (pagina 432)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computepi">github compute_pi.py</a> (pagina 432)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Mandelbrot">github Mandelbrot.py</a> (pagina 433)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Koch">github Koch.py</a> (pagina 434)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Fourier">github Fourier.py</a> (pagina 435)</li>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf"> appunti di logica</a> (pagina 437)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?figtrigo">funzioni trigonometriche</a> (pagina 158, capitolo 3)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?figiperb">funzioni iperboliche</a> (pagina 165, capitolo 3)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?darboux">Funzione con derivata non continua esempio 5.25</a> (pagina 205, capitolo 5)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?http://cvgmt.sns.it/paper/3456/">Il teorema di Liouville</a> (pagina 289, capitolo 6)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?fibonacci">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.8</a> (pagina 363, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex3">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.9</a> (pagina 364, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex4">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.10</a> (pagina 365, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex5">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.11</a> (pagina 366, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex6">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.12</a> (pagina 367, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex7">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.13</a> (pagina 369, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex8">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.14</a> (pagina 372, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?43856">i grafici delle soluzioni dell'equazione differenziale (9.7)</a> (pagina 394, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?94467">Il baffo di Peano formato dalle soluzioni del problema di Cauchy (9.11)</a> (pagina 395, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_sella">Sistemi lineari: sella</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_nodo">Sistemi lineari: nodo</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_nodo_improprio">Sistemi lineari: nodo improprio</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_stella">Sistemi lineari: stella</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_fuoco">Sistemi lineari: fuoco</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?sistemi_centro">Sistemi lineari: centro</a> (pagina 428, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?edo_463">Studio qualitativo esempio~\ref  {ex:edo_463}</a> (pagina 435, capitolo 9)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?bisection">github bisection.py</a> (pagina 439)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?series">github series.py</a> (pagina 440)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computee">github compute_e.py</a> (pagina 440)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computepi">github compute_pi.py</a> (pagina 440)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Mandelbrot">github Mandelbrot.py</a> (pagina 441)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Koch">github Koch.py</a> (pagina 442)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Fourier">github Fourier.py</a> (pagina 443)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf"> appunti di logica</a> (pagina 445)</li>
 </ul>
 </p>
 

make-docs.sh

@@ -101,10 +101,10 @@ grep "%% README" chapters/AnalisiUno-00*.tex \
 cat <<EOF >> ${out}
 <h2>collegamenti utili</h2>
 <ul>
-  <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno">codice sorgente su GitHub</a></li>
+  <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno">codice sorgente</a></li>
   <li><a href="https://github.com/paolini/AnalisiUno/releases/latest">ultimo rilascio
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 <h2>riferimenti presenti nel testo</h2>
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