Add files via upload

Oblig 2

fys1220_oblig2_daniehei.tex

@@ -0,0 +1,294 @@
+\documentclass[a4paper,norsk, 10pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[norsk]{babel}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage{color}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{float}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[dvips]{epsfig}
+\usepackage[toc,page]{appendix}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{cite} % [2,3,4] --> [2--4]
+\usepackage{shadow}
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage{titling}
+\usepackage{marvosym }
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage[noabbrev]{cleveref}
+
+
+\setlength{\droptitle}{-10em}   % This is your set screw
+
+\setcounter{tocdepth}{2}
+
+\lstset{language=c++}
+\lstset{alsolanguage=[90]Fortran}
+\lstset{alsolanguage=Python}
+\lstset{basicstyle=\small}
+\lstset{backgroundcolor=\color{white}}
+\lstset{frame=single}
+\lstset{stringstyle=\ttfamily}
+\lstset{keywordstyle=\color{red}\bfseries}
+\lstset{commentstyle=\itshape\color{blue}}
+\lstset{showspaces=false}
+\lstset{showstringspaces=false}
+\lstset{showtabs=false}
+\lstset{breaklines}
+\title{FYS1120 Oblig 2}
+\author{Daniel Heinesen}
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\paragraph*{Oppgave 2}
+\subparagraph*{a)}
+Med et uniformt magnetfelt vil kraften
+
+\begin{equation}
+\vec{F} = q \vec{v}\times \vec{B}
+\end{equation}
+
+alltid stå vikelrett på hastighetsvektoren, hvilket betyr at vi kan forvente en sikulærbane. Vi vil senere i oppgaven løse likningen for denne bevegelsen analytisk.\\
+
+Programmet gir disse plottene:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp2PosKomp2d.png}
+\caption{$x$, $y$ og $z$ plottet mot tid.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Vi kan se at $x$ og $y$ varierer som en $cosinus$- og en $sinus$funksjon -- $x$ er noe forskyvet --, mens $z$ holder seg konstant på 0.
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp2VelKomp2d.png}
+\caption{$v_x$, $v_y$ og $v_z$ plottet mot tid.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Som med posisjonene er $z = 0$, og $x$ og $y$ varierer er $cosinus$- og en $sinus$funksjoner.
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp2Pos3d.png}
+\caption{Vi kan se at elektronet beveger seg i en sirkelbane, som vi forventet.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Vi kan se i figurene over at elektronet beveger seg i en sirkelbane, det var det vi forventet fra det lille resonnomentet i starten av oppgaven.
+
+\subparagraph*{b)}
+For å finne omløpstiden til numerisk kan vi bruke 2 metoder. Den visuelle og unøyaktige er å plotte $|\vec{r}|$ mot $t$:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp2R2d.png}
+\caption{Avstanden til origo over tid.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Vi kan finne omløpstiden ved å se når avstanden fra origo er 0. Vi kan se avstanden er 0 ca mellom $1.7$ og $1.8\cdot 10^{-11} $. En mer nøyaktig måte får å finne omløpstiden er å sjekke når vinkelen til elektronet i forhold til $x-aksen$. Omløpstiden vi får fra dette er $1.8021\cdot 10^{-11}$ s. Med det analytiske utrykket vi skal utlede om noen deloppgaver, finner vi en verdi på $1.789 \cdot 10^{-11} s$. Vi ser at det numeriske svaret er veldig likt det analytiske.
+
+\newpage
+
+\subparagraph*{c)}
+For å finne syklotronfrekvesen ser vi at for å gå i en sirkerbane må størrelsen til kraften fra magnetfeltet være lik sentripitalkraften.
+
+$$
+F_{magnet} = F_{sentripital}
+$$
+
+\begin{equation}
+qvB = m\frac{v^2}{r}
+\end{equation}
+
+
+\begin{equation}
+R = \frac{vm}{qB}
+\end{equation}
+
+Vi bruker sammenhengen mellom frekvensen og radius:
+
+\begin{equation}
+\omega_s = \frac{v}{R} = \frac{vqB}{vm} = \frac{qB}{m}
+\end{equation}
+
+
+Perioden er tiden det tar å komme seg $2\pi$ rundt sirkelen med vinkelhastighet $\omega$
+
+\begin{equation}
+T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi m}{qB} = 1.789\cdot 10^{-11} s
+\end{equation} 
+
+\subparagraph*{d)}
+
+Har elektronet en hastighet i z-retning, vil vi få en bane som skrur oppover.
+Jeg bruker den analytiske løsningen, og plotten den over den numeriske. Den analytisk løsningen er gitt ved:
+
+\begin{equation}
+\begin{split}
+r_x(t) = \frac{v_{x0}}{\omega}(1-\cos(\omega t))
+\\
+r_y(t) = -\frac{v_{x0}}{\omega}\sin(\omega t)
+\end{split}
+\end{equation}
+
+For $x-$ og $y-retningen$ (Vises i Appendix A), og for $z-retning$
+
+\begin{equation}
+r_z(t) = v_{z}*t
+\end{equation}
+
+Plottet blir da:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp2dPos3dwAnalytic.png}
+\caption{Posisjonen til et elektron med en fart i $z-retning$.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+En oppover skruebane. Vi kan se at den analytiske og numeriske løsningen er (mer eller mindre) helt like.
+
+
+\paragraph*{Oppgave 3}
+\subparagraph*{a)}
+I mitt program bruker jeg et magnet felt på $B = 2T$. Jeg får da:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp3aPos.png}
+\caption{En sirkelbane med økende radius.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Protonet akselereres når det går gjennom det elektriske feltet i $the valley gap$, og bøyes i det magnetiske feltet. E-feltet varierer slik at protonen alltid akselereres i hastighetsretningen. Dette resulterer i en sirkelbevegelse hvor radiusen øker for hver gang protonet går gjennom $valley gapet$
+
+\subparagraph*{b)}
+
+Vi lar nå protonet slippes løs fra syklotronen når avstanden fra sentrum er $90 \mu m$ får vi:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp3bPosKomp.png}
+\caption{Plott av $x$, $y$ og $z$ over tid.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Som i oppgave 2 får vi $cosinus-$ og $sinusfunksjoner$ for $x$ og $y$, og en konstant $z$. Siden radiusen øker vil amplitudene $cosinus-$ og $sinusfunksjonen$ øke. Etter $90 \mu m$ slipper protonet løs og fortsetter i den retningen den hadde.
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp3bVelKomp.png}
+\caption{Plott av $v_x$, $v_y$ og $v_z$ over tid.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+$v_x$, $v_y$ og $v_z$ likner mye på posisjonskomponentene. Vi kan se at $v_x$ plutselig øker nær topp- og bunnpunktene. Dette er når protonet akelsereres i E-feltet. På slutten slippes protonet løs og protonet opplever ingen akselerasjon og hastigheten forblir konstant.
+
+
+\subparagraph*{c)}
+
+Her er et plot av farten over tid:
+
+\begin{figure}[H]
+\begin{center}
+\includegraphics[width = 70mm]{opp3bSpeed.png}
+\caption{Farten til protonet som en faktor av lyshastigheten $c$.}
+\end{center}
+\end{figure}
+
+Vi kan se farten øker brått når protonet går gjennom E-feltet, for så å bli konstant når det bare påvirkes av magnetfeltet. Vi kan se at mot sluttet blir farten konstant. Tar vi å sjekker lengden av hastighetsvektoren i siste tidspunkt finner vi unnslipsfarten:
+
+$$
+|\vec{v}_{last}| = 8918994.96 m/s = 0.00297 c
+$$
+
+\subparagraph*{d)}
+
+Vi bruker eq 1 \textbf{Sjekk nummeret på likningen} og løser uttrykket for v, og får:
+\begin{equation}
+v = \frac{qBr}{m} 
+\end{equation}
+
+Vi setter nå dette uttrykke som hastigheten i den kinetiske energien:
+
+\begin{equation}
+E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \frac{q^2B^2r^2}{m}
+\end{equation}
+
+\paragraph*{Oppgave 4}
+
+\paragraph*{Kode:}
+\hspace{5mm}
+
+\lstinputlisting{oppgave3b.py}
+
+
+\paragraph*{Appedix A: Utreging av analytisk løsning.}
+\hspace{5mm}
+
+Vi skal vise at vi får en sirkelbane i oppgave 2, ved å løse problemet analytisk:\\
+
+Vi starter med at
+
+\begin{equation}
+\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})
+\end{equation}
+
+Vi setter det så opp komponentvis, siden vi bare har et magnetfelt i z-retning, setter vi $B_z = B$:
+
+$$
+\vec{v} \times \vec{B} = \hat{i}(v_yB) - \hat{j}(v_xB)
+$$
+
+\begin{equation}
+\begin{split}
+a_x = v_x' = - \frac{qB}{m}v_y
+\\
+a_y = v_y' =  \frac{qB}{m}v_x
+\end{split}
+\end{equation}
+
+vi bruker at $\frac{qB}{m} = \omega$(vises i en senere deloppgave). Den generelle løsningen på denne differensiallikningen er:
+
+\begin{equation}
+\begin{split}
+v_x(t) = c_1\sin(\omega t) + c_2\cos(\omega t)
+\\
+v_y(t) = c_1\cos(\omega t) - c_2\sin(\omega t)
+\end{split}
+\end{equation}
+
+setter vi inn grensebetingelsene $v_x(0) = v_{x0}$ og $v_y(0) = 0$ får vi 
+
+\begin{equation}
+\begin{split}
+v_x(t) = v_{x0}\cos(\omega t)
+\\
+v_y(t) = -v_{x0}\sin(\omega t)
+\end{split}
+\end{equation}
+
+Om vi integrerer dette og setter inn at $r_x(0) = r_y(0) = 0$ får vi et uttrykk for posisjonen:
+
+\begin{equation}
+\begin{split}
+r_x(t) = \frac{v_{x0}}{\omega}(1-\cos(\omega t))
+\\
+r_y(t) = -\frac{v_{x0}}{\omega}\sin(\omega t)
+\end{split}
+\end{equation}
+
+Dette gir oss en sirkelbevegelse hvor x-komponenten er litt forskyvet, akkurat som vi så i den første figuren. Radiusen på sirkelen er $R = \frac{v_{x0}}{\omega}$. 
+
+
+
+\end{document}
+
+