物理1

(#5)
YDX-2147483647 · Jan 6, 2023 · f688db2 · f688db2
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diff --git a/docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png b/docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png
diff --git a/docs/physics-1.md b/docs/physics-1.md
@@ -0,0 +1,384 @@
+# 物理1
+
+$$
+\def\i{\mathrm{i}}
+\def\e{\mathrm{e}}
+% 
+\def\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}
+\def\dbar{\mathop{}\!\bar{} \hspace{-0.5em} \mathrm{d}}
+\def\const{\mathrm{Const.}}
+% 
+\newcommand\SI[2]{#1\ \mathrm{#2}}  % siunitx (package)
+% 
+\def\arsinh{\operatorname{arsinh}}
+\def\arcosh{\operatorname{arcosh}}
+\def\artanh{\operatorname{artanh}}
+% 
+\def\R{\mathbb{R}}
+$$
+
+## §2 刚体力学
+
+### 转动惯量
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年6月21日。
+
+总质量均记为 $m$。
+
+|         物体          |       转动轴       |    转动惯量    |
+| :-------------------: | :----------------: | :------------: |
+|     长 $l$ 的细杆     | 过一端点且垂直于杆 | $\frac13ml^2$  |
+| 半径为 $r$ 的实心圆柱 |     旋转对称轴     | $\frac12mr^2$  |
+|   半径为 $r$ 的球面   |     旋转对称轴     | $\frac23mr^2$  |
+|  半径为 $r$ 的实心球  |     旋转对称轴     | $\frac25 mr^2$ |
+
+## §4 气体动理论
+
+> Boltzmann 常量 $k_B$，Avogadro 常量 $N_A$，理想气体常量 $R$。（$R = k_BN_A$）
+
+### 宏观
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年4月17日。
+
+|                  |      按数量       |     按物质的量     |
+| :--------------: | :---------------: | :----------------: |
+|       总量       |   分子总数 $N$    |  总物质的量 $\nu$  |
+|       密度       |    数密度 $n$     |   $\frac \nu V$    |
+| 压强—温度、密度  |     $p=nk_BT$     | $p=\frac\nu V R T$ |
+| 压强、体积—温度  |    $pV=Nk_B T$    |    $pV=\nu RT$     |
+| 每个自由度的能量 | $\frac12 N k_B T$ | $\frac12 \nu R T$  |
+
+温度仅包括平动的三个自由度。
+
+### $\overline{v^2} \geq \bar v^2$
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年4月18日。
+
+$$
+0 \leq \overline{(v-\bar v)^2} = \overline{v^2} - \bar v^2
+$$
+
+> 另证：设概率密度函数为 $\operatorname{pdf} v$，累积分布函数为 $\operatorname{cdf} v$，则 $\frac{\d}{\d v} \operatorname{cdf} v = \operatorname{pdf} v$。于是
+> 
+> $$
+> \begin{split}
+>     \overline{v^2}
+>     &= \int_{\R^+} v^2 \operatorname{pdf}v \d v = \int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \\
+>     &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u)
+>     = \int_{\R^+}\int_{\R^+} u^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\
+>     &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} \frac{u^2+v^2}2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\
+>     &\geq \int_{\R^+}\int_{\R^+} uv \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\
+>     &= \int_{\R^+} u \d(\operatorname{cdf}u) \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \\
+>     &= \left( \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \right)^2
+>     = \left( \int_{\R^+} v \operatorname{pdf}v \d v \right)^2 \\
+>     &= \bar v^2
+> \end{split}
+> $$
+> 
+>  这将加权平均转化成了普通算术平均。
+
+### Maxwell 分布的特征速率
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年5月28日。
+
+设 $u= \sqrt\frac{RT}{M}$ ，则 $\text{PDF}\propto \exp\left( -\frac{u^2}2 \right)$。
+
+最概然速率为 $\sqrt2 u$， 平均速率为 $\sqrt{\dfrac 8\pi} u$，方均根速率为 $\sqrt3 u$，平均相对速率为 $\sqrt{\dfrac{16}\pi} u$。
+
+## §5 热力学基础
+
+### 理想气体的几个准静态过程
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年5月16日。
+
+$$
+\displaylines{
+\dbar Q = \d U + \dbar W \\
+\dbar W = p\d V,\quad
+pV = \nu RT, \quad
+U = \frac i2 \nu R T \\
+\d S = \frac{\dbar Q}{T}
+}
+$$
+
+#### $\d V \equiv 0, \dbar W \equiv 0$
+
+$$
+\begin{aligned}
+    W &= 0 .\\
+    Q &= \Delta U
+        = \frac i2 \nu R \Delta T
+        = \frac i2 V \Delta p. \\
+    \Delta S &= \frac i2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\
+\end{aligned}
+$$
+
+#### $\d p \equiv 0$
+
+$$
+\begin{aligned}
+    W &= p\Delta V .\\
+    Q &= c_p^\text{mol} \nu \Delta T
+        = \frac{i+2}2 \nu R \Delta T
+        = \frac{i+1}2 p\Delta V. \\
+    \Delta S &= \frac {i+2}2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\
+\end{aligned}
+$$
+
+#### $\d T \equiv 0, \d U \equiv0$
+
+$$
+\begin{aligned}
+    W &= \nu R T \cdot \Delta\ln V 
+        = -\nu R T \cdot \Delta\ln p .\\
+    Q &= W. \\
+    \Delta S &= \frac QT
+        = \nu R \cdot \Delta\ln V
+        = - \nu R \cdot \Delta\ln p. \\
+\end{aligned}
+$$
+
+#### $\dbar Q \equiv 0$
+
+$$
+\begin{aligned}
+    W &= -\Delta U= -\frac i2\nu R \Delta T = -\frac{\Delta(pV)}{\gamma-1} .\\
+    Q &= 0. \\
+    \Delta S &= 0. \\
+\end{aligned}
+$$
+
+状态方程等：
+
+$$
+\displaylines{
+pV^\gamma = \const \\
+\gamma = 1 + \frac 2i,\quad i = \frac2{\gamma-1}.
+}
+$$
+
+#### 杂项
+
+$$
+\Delta S
+= \int\frac{\dbar Q}T
+= \int\frac{c^\text{mol} \nu \d T}T
+= c^\text{mol} \nu \cdot \Delta\ln T
+$$
+
+### 可逆过程
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年6月22日。
+
+- 正过程前后，系统、环境允许有变化；
+- 只是相应逆过程能把这些变化都复原。
+
+（书上写得比较乱）
+
+## 物理光学
+
+### 干涉与衍射
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年6月7日。
+
+干涉、衍射都是惠更斯-菲涅尔原理的推论，只是干涉中子波源有限多，衍射中无限多。在字面上，“干涉”侧重于H-F原理中的“叠加”，“衍射”侧重于“各个方向”。其实两个现象往往是同时发生的：杨氏双缝干涉实验中，若双缝处不发生衍射，则两缝出射光根本不相交，不可能干涉；单缝远场衍射中，若经过单缝不同处的光不发生干涉，则半波带法无从下手，无法形成衍射条纹。在光栅衍射中，这两种现象更是相伴而生了。
+
+## 慕课的一些题目
+
+!!! warning "存在无法访问的链接"
+
+    “抱歉，课程本学期已结束。老师已将学期的查看权限关闭，你无法再查看本学期的内容。”
+
+### 拉小船
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年3月4日，[第一周单元作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237094608)，2。
+
+在堤岸顶上用绳子拉小船。设岸顶离水面的高度$h$为20m，收绳子的速率$u$为3m/s，且保持不变， 若当船与岸顶的距离$x$为40m时开始计时，则5秒时小船速率$v$与加速度大小$a$各几何？
+
+<figure markdown='span'>
+![拉小船-题图](assets/boat.png)
+<figcaption markdown='1'>拉小船｜[MOOC](https://edu-image.nosdn.127.net/1B4FCA5AA71BBCDA6AA581619D047E4B.png)</figcaption>
+</figure>
+
+#### 解
+
+记剩余绳长为$l$，绳仰角为$\theta$。
+
+易知所求时刻 $x = \SI{15}{m}, l= \SI{25}{m}, \cos\theta = 0.6, \sin\theta = 0.8$ 。
+
+（就不用向量了，这里它没什么好处。）
+
+##### 初等
+
+> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”。
+
+画图，建立两组基：一组为水平-竖直参考系，一组为“船沿绳收缩”-“船绕人旋转”参考系。前者易描述船，后者易描述绳。
+
+先用第一组基判断船的速度、加速度方向，然后用第二组基写出绳末端（相当于船）的速度（$u$）、法向加速度（$\dfrac{v^2\sin^2\theta}l$）。利用各参考系中合速度一致，可得
+
+$$
+\displaylines{
+v\cos\theta = u \\
+a\cos\theta = \frac{v^2\sin^2\theta}l
+}
+$$
+
+故 $v=\SI{5}{m/s}, a = \SI{\frac{16}{15}}{m/s^2}$
+
+##### 导数
+
+> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”的1楼、“[加速度](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321669729)”。
+
+由勾股定理，$x=\sqrt{l^2-h^2}$  。又 $\dfrac{\d l}{\d t} = u$
+
+$$
+\displaylines{
+\therefore v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{\sqrt{l^2-h^2}}u \\
+\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{\sqrt{l^2-h^2}u - l \frac{lu}{\sqrt{l^2-h^2}}}{l^2-h^2}u
+= \frac{l^2-h^2 - l^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} u^2
+= -\frac{h^2u^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}}
+}
+$$
+
+代入数据计算，再取绝对值即可。
+
+##### 微分
+
+对勾股定理 $l^2 = x^2 + h^2$ 微分，得 $2l\d l = 2x \d x$，即 $\d x = \dfrac lx \d l$，故
+
+$$
+\displaylines{
+v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{x} \frac{\d l}{\d t} = \dfrac{lu}{x}
+}
+$$
+
+变形为 $vx=lu$ ，微分得
+
+$$
+\displaylines{
+v\d x + x\d v = u\d l \\
+\therefore \d v = \frac{u\d l - v\d x}{x} \\
+\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{u\frac{\d l}{\d t} - v\frac{\d x}{\d t}}{x}
+= \frac{u^2 - v^2}{x}
+}
+$$
+
+之后类似导数法。
+
+### 三角形周长质心
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年3月20日，[第三周单元测验](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/quizscore?id=1237094609&aid=2269556170)。
+
+三角形周长的质心是中点三角形的内心。
+
+证明：对于 $\triangle ABC$，设三边 $a,b,c$ 的中点分别为 $E,F,G$，那么
+
+$$
+CoM = \frac{aE+bF+cG}{a+b+c}
+= \frac{eE+fF+gG}{e+f+g}
+$$
+
+> 另：
+> 
+> $$
+> \begin{split}
+>     CoM &= \frac{a\frac{B+C}2 + b\frac{C+A}2 + c\frac{A+B}2}{a+b+c} \\
+>     &= \frac{(a+b)C + (b+c)A + (c+a)B}{2(a+b+c)} \\
+>     &= \frac32 \frac{A+B+C}{3} - \frac12 \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\
+>     &= \frac{3G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\
+>     &= G_{\triangle EFG} +\frac{G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\
+>     &= I_{\triangle EFG} \\
+> \end{split}
+> $$
+
+#### 内心的表达式
+
+对于 $\triangle ABC$，设一点
+
+$$
+\displaylines{
+I= \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\
+\begin{split}
+    \therefore I-A &= \frac{bB+cC - (b+c)A}{a+b+c} \\
+    &= \frac{b(B-A) + c(C-A)}{a+b+c} \\
+    &= \frac{\frac{B-A}c + \frac{C-A}b}{bc(a+b+c)} \\
+    &= \frac{\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|} }{bc(a+b+c)} \\
+    &\parallel \text{$\angle BAC$的平分线}
+\end{split}
+}
+$$
+
+同理可得，$I-B,I-C$ 也是另外两角的平分线。
+
+故$I$就是 $\triangle ABC$ 的内心。
+
+### 伪卡诺循环
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年5月1日，[第九周作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237092622)。
+
+<figure markdown='span'>
+![伪卡诺循环](assets/psuedo-carnot-cycle.png)
+<figcaption>伪卡诺循环｜MOOC</figcaption>
+</figure>
+
+如图，理想气体经历循环（等压膨胀–绝热膨胀–等压压缩–绝热压缩）。已知$T_b,T_c$，求效率$\eta$。
+
+仅a→b吸热，仅c→d放热，故 $1-\eta = \dfrac{Q_{cd}}{Q_{ab}}$。由于这两个过程都是等压过程，热容相等，故 $Q\propto \Delta T$，$1-\eta = \dfrac{T_b-T_a}{T_c-T_d}$。
+
+由于b→c，d→a都是绝热过程，均满足
+
+$$
+\left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-\gamma} \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^\gamma  = 1
+$$
+
+因为 $p_b=p_a,p_c=p_d$，所以
+
+$$
+\frac{T_b}{T_c} = \frac{T_a}{T_d} = \frac{T_b-T_a}{T_c-T_d}
+$$
+
+所以
+
+$$
+\eta = 1-\frac{T_b}{T_c}
+$$
+
+注意，这不是卡诺循环，$T_b,T_c$也不是工作温度的上下限。
+
+### 负热容
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日，[讨论10：热容](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321375236)。
+
+> 理想气体热容一定是正值吗？
+>
+> 理想气体等温过程的热容是什么？
+>
+> 热容是否可以为负值？若可以，在怎样的过程中热容是负值？
+
+0/0，无意义，或者说∞。
+
+可负。Q = ΔU + W = i/2 νRΔT + W，故 c = Q/ΔT = iνR/2 + W/ΔT，W/ΔT 一项其实是任意的。具体地说，理想气体膨胀得比绝热膨胀还夸张时，c就是负的。一楼同学举了例子：热带气旋。
+
+### 等温膨胀不违反热力学第二定律
+
+> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日，[讨论12：热力学第二定律的讨论](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/content?type=detail&id=1240519191&cid=1262066804)。
+
+> 理想气体等温过程内能不变，系统从外界吸收的热量全部转换为有用功，效率为100%。这违反热力学第二定律吗？为什么？
+
+不违反。从功热转换的角度，该过程引起了其他变化（体积增大），不违法“将热全部转化为功，而不引起其他变化”。从永动机的角度，这只是半个循环；若考虑整个循环，则为把气体压缩回原状，外界要对系统做功，一正一负，整个过程的功就变少了，效率达不到一，并非第二类永动机。
+
+# 注意
+
+- 注意向量的<u>方向</u>。
+- 弹簧的弹性势能与伸缩量而不是长度有关。
+- 区分<u>直径与半径</u>。
+- $\dfrac\omega{\SI{}{rad/s}} = \dfrac{2\pi n}{\SI{}{r/min} \times \SI{60}{s/min}}$，有个“60”。
+- 对于概率密度为$f$的速率分布，部分平均值 $\bar v_D = \frac{\int_D v f\d v}{\int_D f\d v}$，注意<u>分母</u>与$D$有关。
+- 分清“改变到多少”与“改变了多少”。
+- 区分“过质心轴”的转动惯量和<u>一般轴</u>的转动惯量。
+- 求熵变时注意 $\dbar Q$ 的<u>正负</u>。
+- 区分<u>波形图</u>和某点的<u>振动图象</u>，以及速度随时间的图象。
+- 记得<u>重力</u>。
+- 用等厚干涉观察表面缺陷时，区分空气突出和工件突出。
+- 区分真空中的波长与<u>介质中的波长</u>，以及它们与光程的关系。
+- 注意内能包括分子转动动能。