京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 グラフ理論

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             - [力学系数学](informatics/amp_201908_mathematics_for_dynamical_systems.md)
         - 2019年度:
             - [線形計画](informatics/amp_201808_linear_programming.md)
+            - [グラフ理論](informatics/amp_201808_graph_theory.md)
             - [オペレーションズ・リサーチ](informatics/amp_201808_operation_research.md)
             - [力学系数学](informatics/amp_201808_mathematics_for_dynamical_systems.md)
         - 2018年度:

docs/kakomonn/kyoto_university/informatics/amp_201808_graph_theory.md

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+---
+comments: false
+title: 京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 グラフ理論
+tags:
+  - Kyoto-University
+  - Graph-Theory
+  - Shortest-Path-Problem
+---
+# 京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2018年8月実施 グラフ理論
+
+## **Author**
+祭音Myyura
+
+## **Description**
+$G = (V, E)$ を節点集合 $V$，枝集合 $E$ から成る単純強連結有向グラフ，$N = [G, w]$ を $G$ の各枝 $e \in E$ に実数値の重み $w(e)$ を与えて得られるネットワークとする．
+節点 $u$ から節点 $v$ への有向枝は $(u, v)$ と書き，その枝重みは $w(u, v)$ とも書く．
+節点 $u$ から節点 $v$ への距離 $\text{dist}(u, v)$ を $N$ における $u$ から $v$ への単純路上の枝重みの和の最小値と定める．
+枝重みの和が負である有向閉路を負閉路と呼ぶ．
+以下の問いに答えよ．
+
+(1) 次の条件を満たす節点の実数値重み $p(v)$，$v \in V$ が存在するとき，$N$ に負閉路が存在しないことを証明せよ．
+
+$$
+w(u, v) + p(u) - p(v) \geq 0, \quad \forall (u, v) \in E.
+$$
+
+(2) 次を満たす節点 $s \in V$ と枝 $(u, v) \in E$ の組が存在するとき，$N$ に負閉路が存在することを証明せよ．
+
+$$
+\text{dist}(s, u) + w(u, v) < \text{dist}(s, v).
+$$
+
+(3) 各枝の重みが非負であると仮定する．
+ある部分集合 $S \subseteq V$ と節点 $s \in S$ に対して，$S$ から $V \setminus S$ へ向かう枝 $(u, v) \in E$ の中で $\text{dist}(s, u) + w(u, v)$ の値を最小とする枝を $(u^*, v^*)$ とする．
+このとき，
+
+$$
+\text{dist}(s, v^*) = \text{dist}(s, u^*) + w(u^*, v^*)
+$$
+
+が成り立つことを証明せよ．
+
+## **Kai**
+### (1)
+Please refer to [京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2023年8月実施 グラフ理論](amp_202308_graph_theory).
+
+### (2)
+Let $P_{s,u}$ denote a simple path from $s$ to $u$ of distance $\text{dist}(s, u)$.
+Let $P'_{s, v}$ denote the path by concatenating $P_{s,u}$ and edge $(u,v)$.
+
+If $\text{dist}(s, u) + w(u, v) < \text{dist}(s, v)$, then by the definition of "distance" we know that $P'_{s, v}$ is not a simple path otherwise $\text{dist}(s, u) + w(u, v) \geq \text{dist}(s, v)$.
+
+Since $P_{s,u}$ is a simple path but $P'_{s, v}$ is not, we have $v \in V(P_{s,u})$.
+Hence there exists a cycle $C$ in $P'_{s, v}$ which can be written as $(v, \ldots, u, v)$.
+
+Let $P_{s,u}^v$ denote the subpath of $P_{s,u}$ ends at $v$ (note that $P_{s,u}^v$ is also a simple path).
+If $C$ is not a negative cycle, i.e., $w(C) \geq 0$, then we have
+
+$$
+w(P_{s,u}^v) = w(P_{s,u}) - w(C) \leq \text{dist}(s,u) - w(c) < \text{dist}(s,v)
+$$
+
+which contradicts the definition of $\text{dist}(s,v)$. Therefore, $C$ is a negative cycle.
+
+### (3)
+(Note: this question is actually asking a proof of correctness of Dijkstra's algorithm)
+
+Since the weight of each edge is non-negative, there does not exist negative cycle.
+Hence by the definition of $\text{dist}(s,v^*)$ and question (2) we know that
+
+$$
+\text{dist}(s,v^*) \leq \text{dist}(s,u^*) + w(u^*,v^*)
+$$
+
+Any path from $s$ to $v^*$ must go through an edge from $S$ to $V \setminus S$.
+Hence, let $P_{s, v^*} = \{s, \ldots, u', v', \ldots, v^*\}$ denote a shortest simple path from $s$ to $v$.
+W.l.o.g. we assume that $u' \in S, v' \in V \setminus S$ and let $P_1 = \{s, \ldots, u'\}$ and $P_2 = \{v', \ldots, v^*\}$ denote the subpaths of $P_{s, v^*}$.
+Then,
+
+$$
+\begin{aligned}
+    \text{dist}(s,v^*) &= w(P_{s, v^*}) = w(P_1) + w(u',v') + w(P_2) \\
+    &\geq w(P_1) + w(u', v') \ \ (\text{the weight of each edge is non-negative}) \\
+    &\geq \text{dist}(s,u^*) + w(u^*,v^*) \ \ (\text{definition of }(u^*,v^*))
+\end{aligned}
+$$
+
+Therefore,
+
+$$
+\text{dist}(s,v^*) = \text{dist}(s,u^*) + w(u^*,v^*)
+$$

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