Merge branch 'main' of https://github.com/Myyura/the_kai_project

Myyura · Dec 23, 2024 · a88f67c · a88f67c
2 parents aacc359 + 0051e4b
commit a88f67c
Show file tree

Hide file tree

Showing 4 changed files with 103 additions and 3 deletions.
diff --git a/docs/kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2020_2.md b/docs/kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2020_2.md
@@ -73,9 +73,9 @@ $P(Y_1=a)=\int_0^a{f(x;\mu)}\text{d}x=1-e^{-\frac{a}{\mu}}$より、$P(M=m) = {}
 $$
 \begin{aligned}
     P(\overline{Y}\leq b | M=m) & = P\left( \sum_{i=1}^N Y_i \leq Nb \middle| M=m \right)  \\
-                                & = P\left( am + \sum_{i=1}^{N-m} (Y_i+a)  \leq Nb \right) \\
-                                & = P\left( \sum_{i=1}^{N-m} Y_i  \leq N(b-a) \right)      \\
-                                & = \int_0^{N(b-a)} f_{N-m}(y) \text{d}y                          \\
+                                & = P\left( am + \sum_{i=1}^{N-m} (X_i+a)  \leq Nb \right) \\
+                                & = P\left( \sum_{i=1}^{N-m} X_i  \leq N(b-a) \right)      \\
+                                & = \int_0^{N(b-a)} f_{N-m}(x) \text{d}x                          \\
                                 & = \int_a^{b} Nf_{N-m}(N(y-a)) \text{d}y
 \end{aligned}
 $$

diff --git a/docs/kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2024_1.md b/docs/kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2024_1.md
@@ -0,0 +1,96 @@
+---
+comments: false
+title: 東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2024年度 第1問
+tags:
+  - Tokyo-University
+---
+# 東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2024年度 第1問
+
+## **Author**
+[Kurosu9991](https://github.com/Kurosu9991)
+
+## **Description**
+行列 $A\in\mathbb{R}^{d \times m}$ の第 $(i,j)$ 成分を $a_{i,j}$ 、転置を $A^\top$ と書き、 $\|A\|_\text{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^m a_{i,j}^2}$ とする。 
+正方行列 $A\in\mathbb{R}^{d \times d}$ のトレースは $\text{tr}A = \sum_{i=1}^d a_{i,i}$ である。また $I$ を $d \times d$ 単位行列とする。
+
+以下では $d<m$ とし、行列 $X,Y\in\mathbb{R}^{d \times m}$ によって与えられる最適化問題
+
+$$
+\begin{align}
+\min_{P\in\mathbb{R}^{d \times d}} \|PX-Y\|_\text{F}^2 \quad \text{subject to} \quad P^\top P=I \tag{*}
+\end{align}
+$$
+
+の最適解 $P$ の集合を $\text{OPT}(X,Y)$ と書く。以下の設問に答えよ。
+
+
+(1) 行列 $A,B\in\mathbb{R}^{d \times m}$ の第 $j$ 列ベクトルをそれぞれ $a_j, b_j$ とし、 $a_j$ のユークリッドノルムを $\|a_j\|_2$ と書く。
+行列 $A,B\in\mathbb{R}^{d \times m}$ と正の実数 $w_1, \dots, w_m$ によって与えられる最適化問題
+
+$$
+\min_{P\in\mathbb{R}^{d \times d}} \sum_{j=1}^m w_j \|Pa_j-b_j\|_2^2 \quad \text{subject to} \quad P^\top P=I
+$$
+
+の最適解 $P$ の集合が $\text{OPT}(X,Y)$ となるような行列 $X,Y\in\mathbb{R}^{d \times m}$ を一組求めよ。
+
+(2) 行列 $X,Y\in\mathbb{R}^{d \times m}$ によって与えられる最適化問題
+
+$$
+\max_{P\in\mathbb{R}^{d \times d}} \text{tr}(PXY^\top) \quad \text{subject to} \quad P^\top P=I
+$$
+
+の最適解 $P$ の集合が $\text{OPT}(X,Y)$ であることを示せ。
+
+(3) 行列 $X,Y\in\mathbb{R}^{d \times m}$ に対して、行列 $XY^\top$ の特異値分解を $XY^\top = U \Sigma V^\top$ と書く。
+最適化問題 (\*) の最適解の１つ $P\in\text{OPT}(X,Y)$ を行列 $X,Y,U,\Sigma,V$ のうちのいくつかを用いて表せ。
+
+## **Kai**
+### (1)
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \sum_{j=1}^m w_j \|Pa_j-b_j\|_2^2 & = \sum_{j=1}^m \|P\sqrt{w_j}a_j-\sqrt{w_j}b_j\|_2^2   \\
+                                    & = \sum_{j=1}^m \|(PAW-BW)_j\|_2^2                     \\
+                                    & = \|PAW-BW\|_\text{F}^2
+\end{aligned}
+$$
+
+ただし、 $W = \text{diag}\{\sqrt{w_1},\dots,\sqrt{w_m}\}$ であり、 $(PAW-BW)_j$ は行列 $PAW-BW$ の第 $j$ 列ベクトルである。
+
+したがって、 $X=AW, Y=BW$ とすればよい。
+
+### (2)
+
+$$
+\begin{aligned}
+  \|PX-Y\|_\text{F}^2 & = \sum_{j=1}^m \|(PX-Y)_j\|_2^2 \\
+                      & = \sum_{j=1}^m (PX-Y)_j^\top (PX-Y)_j \\
+                      & = \text{tr}\left((PX-Y)^\top (PX-Y)\right)  \\
+                      & = \text{tr}(X^\top X+Y^\top Y) - 2\text{tr}(PXY^\top)
+\end{aligned}
+$$
+
+ここで、 $\text{tr}(A^\top)=\text{tr}(A)$ と $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ を使用しました。
+
+以上より、最適解 $P$ の集合が $\text{OPT}(X,Y)$ であることを示された。
+
+### (3)
+与えられた式より、
+
+$$
+\text{tr}(PXY^\top)=\text{tr}(PU\Sigma V^\top)=\text{tr}(V^\top PU\Sigma)
+$$
+
+$Q=V^\top PU$ とおくと、 $Q^\top Q=I$ が明らか。
+
+故に、 $\|q_j\|_2^2=1, \quad j=1,2,\dots,d$ 。
+
+よって、
+
+$$
+\text{tr}(PXY^\top) = \text{tr}(Q\Sigma) = \sum_{j=1}^d \sigma_{j}q_{j,j} \leq \sum_{j=1}^d \sigma_{j} \sqrt{\|q_j\|_2^2} = \sum_{j=1}^d \sigma_{j}    
+$$
+
+さらに、 $P=VU^\top$ とすると $Q=I$ であり、 $\text{tr}(PXY^\top)=\sum_{j=1}^d \sigma_{j}$ である。
+
+したがって、 $P=VU^\top\in\text{OPT}(X,Y)$ がわかる。
diff --git a/docs/kakomonn/tokyo_university/index.md b/docs/kakomonn/tokyo_university/index.md
@@ -87,6 +87,8 @@ tags:
             - [数学 第2問](IST/kyotsu_2017_math_2.md)
             - [数学 第3問](IST/kyotsu_2017_math_3.md)
     - 数理情報学:
+        - 2024年度:
+            - [第1問](IST/suuri_2024_1.md)
         - 2023年度:
             - [第1問](IST/suuri_2023_1.md)
             - [第2問](IST/suuri_2023_2.md)

diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml
@@ -208,6 +208,8 @@ nav:
             - 数学 第2問: kakomonn/tokyo_university/IST/kyotsu_2017_math_2.md
             - 数学 第3問: kakomonn/tokyo_university/IST/kyotsu_2017_math_3.md
         - 数理情報学:
+          - 2024年度:
+            - 第1問: kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2024_1.md
           - 2023年度:
             - 第1問: kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2023_1.md
             - 第2問: kakomonn/tokyo_university/IST/suuri_2023_2.md