京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2023年8月実施 専門科目 S-5

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             - [専門科目 S-2](informatics/ist_202308_senmon_s_2.md)
             - [専門科目 S-3](informatics/ist_202308_senmon_s_3.md)
             - [専門科目 S-4](informatics/ist_202308_senmon_s_4.md)
+            - [専門科目 S-5](informatics/ist_202308_senmon_s_5.md)
         - 2023年度:
             - [情報学基礎 F1-1](informatics/ist_202208_kiso_f1_1.md)
             - [情報学基礎 F1-2](informatics/ist_202208_kiso_f1_2.md)

docs/kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_senmon_s_5.md

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+title: 京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2023年8月実施 専門科目 S-5
+tags:
+  - Kyoto-University
+---
+# 京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2023年8月実施 専門科目 S-5
+
+## **Author**
+祭音Myyura
+
+## **Description**
+### 設問1
+2次元信号 $f(x, y)$ の2次元フーリエ変換を
+
+$$
+F(u, v) = \iint_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-j(ux+vy)} dxdy
+$$
+
+とする。ただし $j$ は虚数単位である。
+また $f(x, y)$ のある軸 $l$ への投影を、軸 $l$ 上の各点における、$l$ に垂直な直線に沿った $f(x, y)$ の線積分とする。以下の問いに答えよ。
+
+(1) $f(x, y)$ を $x$ 軸に投影した信号 $p(x)$ の1次元フーリエ変換を、$F(u, v)$ を用いて表せ。
+
+(2) 原点を中心として $x$ 軸を反時計回りに角度 $\theta$ 回転して得られた $s$ 軸上に $f(x, y)$ を投影した信号を $p_\theta(s)$ とする。
+$p_\theta(s)$ の $s$ についての1次元フーリエ変換を $F(u, v)$ を用いて表せ。
+
+### 設問2
+長さ $N$ の離散時間信号 $x[n]$ の $N$ 点離散フーリエ変換 $X[k]$ を
+
+$$
+X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}, \quad W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}
+$$
+
+とする。ただし $j$ は虚数単位、$n, k = 0, \ldots, N-1$ であり、$N$ は正の偶数とする。以下の問いに答えよ。
+
+(1) 観測系列 $x_0[n] = \{x_0[0], x_0[1], x_0[2], x_0[3]\} = \{1, 2, 1, -2\}$ を、ある信号を 4000Hz で等間隔にサンプリングすることで得たとする。
+$x_0[n]$ の４点離散フーリエ変換を計算し、周波数（Hz）に対応する振幅スペクトルおよび位相スペクトルを図示せよ。
+
+(2) ２つの要素数 $N$ の実数値系列 $x_1[n]$ および $x_2[n]$ の $N$ 点離散フーリエ変換を、１回の $N$ 点離散フーリエによって計算する方法を導出せよ。
+
+(3) 要素数 $2N$ の実数値系列の $2N$ 点離散フーリエ変換を、１回の $N$ 点離散フーリエ変換によって計算する方法を導出せよ。
+
+## **Kai**
+### 設問1
+#### (1)
+By the definition of projection, we have
+
+$$
+p(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy
+$$
+
+hence the 1D Fourier transform of $p(x)$ is
+
+$$
+\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\right)e^{-jux}dx
+= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j(ux+0\cdot y)}dxdy
+= F(u, 0)
+$$
+
+#### (2)
+Let $(s,t)$ denote the coordinates obtained by rotating $(x, y)$ counterclockwise by an angle $\theta$. Then we have
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+s\\
+t
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+\cos\theta&-\sin\theta\\
+\sin\theta&\cos\theta
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+x\\
+y
+\end{pmatrix} \Rightarrow
+\begin{cases}
+x = s\cos\theta-t\sin\theta\\
+y = s\sin\theta+t\cos\theta
+\end{cases}
+$$
+
+by calculating the Jacobian determinant
+
+$$
+J =
+\begin{vmatrix}
+\cos\theta&-\sin\theta\\
+\sin\theta&\cos\theta
+\end{vmatrix}
+= \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1
+$$
+
+we know that $f(x,y)dxdy{=}f(s,t)dsdt$. Hence the 1D Fourier transform of $p_{\theta}(x)$ is
+
+$$
+\begin{aligned}
+\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(s,t)dt\right)e^{-jus}ds
+&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(s,t)e^{-j(us+0\cdot t)}dsdt\\
+&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j(u\cos\theta x+(-u\sin\theta)y)}dxdy\\
+&= F(u\cos\theta, -u\sin\theta)
+\end{aligned}
+$$
+
+### 設問2
+#### (1)
+The 4-point discrete Fourier transform of $x_0[n]$:
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+X[0]\\
+X[1]\\
+X[2]\\
+X[3]
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+W_{4}^{0}&W_{4}^{0}&W_{4}^{0}&W_{4}^{0}\\
+W_{4}^{0}&W_{4}^{1}&W_{4}^{2}&W_{4}^{3}\\
+W_{4}^{0}&W_{4}^{2}&W_{4}^{4}&W_{4}^{6}\\
+W_{4}^{0}&W_{4}^{3}&W_{4}^{6}&W_{4}^{9}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+x[0]\\
+x[1]\\
+x[2]\\
+x[3]
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+1&1&1&1\\
+1&-j&-1&j\\
+1&-1&1&-1\\
+1&j&-1&-j
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+1\\
+2\\
+1\\
+-2
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+2\\
+-4j\\
+2\\
+4j
+\end{pmatrix}
+$$
+
+##### <center> Fig. magnitude and phase spectra
+
+<figure style="text-align:center;">
+  <img src="https://raw.githubusercontent.com/Myyura/the_kai_project_assets/main/kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_senmon_s_5_p1.png" width="600" height="220" alt=""/>
+</figure>
+
+#### (2)
+
+$$
+\begin{aligned}
+X[k]
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{kn}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]\cos\left(2\pi-\frac{2\pi kn}{N}\right)
++ j\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\sin\left(2\pi-\frac{2\pi kn}{N}\right)\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]\cos\frac{2\pi n(N-k)}{N}
++ j\sum_{n=0}^{N-1}x[n]\sin\frac{2\pi n(N-k)}{N}\\
+&= \text{Re } X[N-k]-j\text{Im } X[N-k]
+\end{aligned}
+$$
+
+which implies that
+
+$$
+\begin{align}
+\begin{cases}
+\text{Re } X[k] = \text{Re } X[N-k]\\
+\text{Im } X[k] = -\text{Im } X[N-k]
+\end{cases} \tag{j}
+\end{align}
+$$
+
+Let $y[n] = x_{1}[n]+j x_{2}[n]$. Let $X_{1}[k],X_{2}[k],Y[k]$ denote the discrete Fourier transform of $x_{1}[n],x_{2}[n],y_{n}$, respectively. Then,
+
+$$
+\begin{align}
+Y[k]
+&= \sum_{n=0}^{N-1}(x_{1}[n]+j x_{2}[n])W_{N}^{kn} \nonumber \\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x_{1}[n]W_{N}^{kn}+j\sum_{n=0}^{N-1}x_{2}[n]W_{N}^{kn} \nonumber \\
+&= X_{1}[k]+iX_{2}[k] \nonumber \\
+&= (\text{Re } X_{1}[k]+j\text{Im } X_{1}[k])+j(\text{Re } X_{2}[k]+j \text{Im } X_{2}[k]) \nonumber \\
+&= (\text{Re } X_{1}[k]-\text{Im } X_{2}[k])+j(\text{Im } X_{1}[k]+\text{Re } X_{2}[k]) \tag{ii}
+\end{align}
+$$
+
+By (i) we know that
+
+$$
+\begin{align}
+Y[N-k]
+&= (\text{Re } X_{1}[N-k]-\text{Im } X_{2}[N-k])+j(\text{Im } X_{1}[N-k]+\text{Re } X_{2}[N-k]) \nonumber \\
+&= (\text{Re } X_{1}[k]+\text{Im } X_{2}[k])+j(-\text{Im } X_{1}[k]+\text{Re } X_{2}[k]) \tag{iii}
+\end{align}
+$$
+
+and by (ii), (iii) we have
+
+$$
+\begin{align}
+\begin{cases}
+\displaystyle
+X_{1}[k] = \frac{\text{Re } Y[k]+\text{Re } Y[N-k]}{2}+j\frac{\text{Im } Y[k]-\text{Im } Y[N-k]}{2}\\
+\displaystyle
+X_{2}[k] = \frac{\text{Im } Y[k]+\text{Im } Y[N-k]}{2}-j\frac{\text{Re } Y[k]-\text{Re } Y[N-k]}{2}
+\end{cases} \tag{iv}
+\end{align}
+$$
+
+#### (3)
+By definition we know that $W_{N}^{2kn}{=}W_{N/2}^{kn}$ and $W_{N}^{kN}{=}1$, hence we have
+
+$$
+\begin{aligned}
+X[2k]
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{2kn}+\sum_{n=N}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{2kn}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{2kn}+\sum_{n=0}^{N-1}x[n+N]W_{2N}^{2k(n+N)}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{kn}+\sum_{n=0}^{N-1}x[n+N]W_{N}^{k(n+N)}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{N}^{kn}+\sum_{n=0}^{N-1}x[n+N]W_{N}^{kn}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}(x[n]+x[n+N])W_{N}^{kn}\\
+\end{aligned}
+$$
+
+Similarly, since $W_{2N}^{N}{=}{-}1$, we have
+
+$$
+\begin{aligned}
+X[2k+1]
+&= \sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{(2k+1)n}+\sum_{n=0}^{N-1}x[n+N]W_{2N}^{(2k+1)(n+N)}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}\left(x[n]+x[n+N]W_{2N}^{(2k+1)N}\right)W_{2N}^{(2k+1)n}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}\left(x[n]+x[n+N]W_{2N}^{N}\right)W_{2N}^{2kn}W_{2N}^{n}\\
+&= \sum_{n=0}^{N-1}\left(x[n]-x[n+N]\right)W_{2N}^{n}W_{N}^{kn}
+\end{aligned}
+$$
+
+Therefore, let $y[n]{=}x[n]{+}x[n+N]$ and $z[n]{=}x[n]{-}x[n+N]$, we have
+
+$$
+\begin{aligned}
+\begin{cases}
+X[2k] = \sum_{n=0}^{N-1}y[n]W_{N}^{kn}\\
+X[2k] = \sum_{n=0}^{N-1}y[n]W_{2N}^{n}W_{N}^{kn}
+\end{cases}
+\end{aligned}
+$$
+
+which implies that $2N$-point discrete Fourier transforms can be obtained using two executions of the $N$-point Fourier transform.
+
+By using the result from the previous question (2), it has been demonstrated that the $N$-point discrete Fourier transforms of two different sequences can be obtained using a single execution of the $N$-point Fourier transform, thereby showing that a $2N$-point discrete Fourier transform can be obtained using a single execution of the $N$-point Fourier transform.

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             - 情報学基礎 F2-2: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_kiso_f2_2.md
             - 専門科目 S-2: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_senmon_s_2.md
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-            - 専門科目 S-4: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_senmon_s_4.md          
+            - 専門科目 S-4: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202308_senmon_s_4.md
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           - 2023年度:
             - 情報学基礎 F1-1: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202208_kiso_f1_1.md
             - 情報学基礎 F1-2: kakomonn/kyoto_university/informatics/ist_202208_kiso_f1_2.md