九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻 2021年度 アルゴリズム・プログラミング

docs/kakomonn/kyushu_university/ISEE/ist_2019_algorithm_programming.md

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+title: 九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻 2021年度 アルゴリズム・プログラミング
+tags:
+  - Kyushu-University
+  - Divide-And-Conquer
+  - Heap-Sort
+---
+# 九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻 2021年度 アルゴリズム・プログラミング
+
+## **Author**
+祭音Myyura
+
+## **Description**
+### 【問 1】
+与えられた数列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ のうち, $i<j$ かつ $a_i>a_j \ (1 \le i,j \le n)$ であるとき, $(a_i, a_j)$ を反転と呼ぶ.    
+
+(1) 数列 $1, 6, 3, 5, 2, 4, 7$ の反転の個数を求めよ.   
+
+(2) 与えられた数列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ の反転の個数を数える効率の良いアルゴリズムを与えよ. 
+
+### 【問 2】
+図１に **max-heap** を扱うアルゴリズムを示す. 配列 A\[1..A.length\] が, **max-heap** 条件を満たすとは, 配列 A が次の条件を満たすときである（ただし, A.length は配列 A が含む要素数）. 
+
+$$
+\text{A}[\text{Parent}(i)] \ge \text{A}[i] \ \ \ \ \ \  (2 \le i \le \text{A.length})
+$$
+
+すなわち, 根（A\[1\]）以外の節点 $i$ の値が, その節点 $i$ の親 $\text{Parent}(i)$ の値以下の時である. このとき, 次の各問いに答えよ（ただし, floor($i$) は床関数 $\lfloor i \rfloor$ を表す）. 
+
+```text
+Parent(i)
+    return floor(i/2)
+
+Left(i)
+    return 2*i
+
+Right(i)
+    return 2*i + 1
+
+MaxHeapify(A, i)
+    l = Left(i)
+    r = Right(i)
+    largest = i
+    if l <= A.heapSize && A[l] > A[i]
+        largest = l
+    if r <= A.heapSize && A[r] > A[largest]
+        largest = r
+    if largest != i
+        exchange A[i] with A[largest]
+        MaxHeapify(A, largest)
+
+BuildMaxHeap(A)
+    A.heapSize = A.length
+    for i = floor(A.length / 2) downto 1
+        MaxHeapify(A, i)
+```
+
+(1) 配列 $\text{A}=\{25, 18, 14, 6, 13, 10, 2, 5, 7, 11\}$ は, **max-heap** を満たすか, 理由を述べよ.  
+
+(2) 配列 $\text{A}=\{27, 15, 5, 18, 14, 10, 3, 12, 7, 11, 4, 8, 6, 1\}$ に対する MaxHeapify(A, 3) の動作を示せ.  
+
+(3) 図１のアルゴリズムの記法ならい, 配列 A をヒープソートでソートする手続き HeapSort(A) を記述せよ. HeapSort(A) 記述する際, 図１の手続き MaxHeapify と手続き BuildMaxHeap を用いること.
+
+## **Kai**
+### 【問 1】
+#### (1)
+反転の個数は $7$ である。($(6, 3), (6, 5), (6, 2), (6, 4), (3, 2), (5, 2), (5, 4)$)
+
+#### (2)
+ヒント：マージソートを考える.
+
+与えられた数列を A とし, その数列を B と C に分割する。
+B, C をそれぞれソート済みとすると, A の反転数は B の反転数と C の反転数を足し, さらに B と C との間にまたがって存在する $i < j$ かつ $a_i > a_j$ となるような組の数を足したものとなる.
+
+```text
+def merge_count(a):
+    n = len(a)
+    if n <= 1:
+        return 0
+    
+    count = 0
+    b = a[:n//2]
+    c = a[n//2:]
+    print(b, c)
+    count += merge_count(b)
+    count += merge_count(c)
+    
+    ai = 0
+    bi = 0
+    ci = 0
+    while ai < n:
+        if (bi < len(b) and (ci == len(c) or b[bi] <= c[ci])):
+            a[ai] = b[bi]
+            ai += 1
+            bi += 1
+        else:
+            count += n // 2 - bi
+            a[ai] = c[ci]
+            ai += 1
+            ci += 1
+    
+    return count
+```
+
+計算量は $O(n \log n)$ である。
+
+### 【問 2】
+#### (1)
+$\text{A}[4] = 6 < \text{A}[9] = 7$ より、配列 $\text{A}$ は **max-heap** を満たされていないことがわかる。
+
+#### (2)
+```
+{27, 15, 5, 18, 14, 10, 3, 12, 7, 11, 4, 8, 6, 1}
+
+{27, 15, 10, 18, 14, 5, 3, 12, 7, 11, 4, 8, 6, 1}
+
+{27, 15, 10, 18, 14, 8, 3, 12, 7, 11, 4, 5, 6, 1}
+```
+
+#### (3)
+```text
+HeapSort(A)
+    BuildMaxHeap(A)
+
+    for i = A.length downto 2
+        tmp = A[1]
+        A[1] = A[i]
+        A[i] = tmp
+        A.heapSize = A.heapSize - 1
+        MaxHeapify(A, 1)
+```

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