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_posts/mathematics/calculus/2024-05-30-techniques-of-integrals-problem-solving.md

@@ -3,7 +3,7 @@ title: "Techniques of Integrals: Problem Solving"
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 categories: ["Calculus"]
-excerpt: "Washer Method와 Shell Method는 동치다. 점화식으로 유도되는 적분"
+excerpt: "Washer Method와 Shell Method는 동치다. 점화식으로 유도되는 적분. 몇가지 미분방정식 문제."
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 복수전공하고 있는 수학과의 졸업시험을 위해 학부 수학 과목들을 다시 공부하고 있습니다. 공부하면서 재밌어 보였던 문제들과 풀이들을 모아서 정리한 포스트 입니다.
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 아직 미방 수업을 다시 안 봐서 그런지 저런 미분방정식 푸는게 익숙하지 않구먼...;;
 
+## Social Diffusion
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+사회학자들이 정보(rumor, cultural fad, news 등)가 퍼지는 속도는 그 정보를 알고 있는 사람의 수 $x$에 따라 결정된다고 말한다.
+
+이런 상황을 상상해보자. $N$명의 사람들이 강당에 모두 모여있다. 어떤 정보를 알게 된 첫 사람은 본인을 제외한 $N-1$명의 사람에게 정보를 전달할 것이다. 만약, 그 정보를 2명의 사람이 알고 있다면, 정보를 아는 사람을 제외한 $N-2$명의 사람에게 각자 정보를 전파할 것이다: $2 \cdot (N-2)$. 만약 $i$명의 사람이 정보를 알고 있다면, $i \cdot (N-i)$ 만큼의 정보 전파가 이뤄질 것이다.
+
+이런 양상은 정보를 아는 사람이 적을 때는 정보 전파 속도가 느리지만, 점점 많은 사람들이 정보를 알게 될수록, 정보를 전파하는 사람이 많아져 전파 속도가 빨라진다. 하지만 어느 시점을 넘으면, 이미 그룹 내의 많은 사람이 그 정보를 알고 있게 되므로 정보를 전파할 대상이 줄어든다. 즉, 너무 많은 사람들이 그 정보를 알게 된다면, 이미 그 정보를 아는 사람이 많아서 오히려 정보가 퍼지는 속도는 이전보다 줄어드는 것이다.
+
+이것을 수학적으로 모델링한 방정식이 아래의 것이다.
+
+$$
+\frac{dx}{dt} = kx(N-x)
+$$
+
+정보가 전파되는 속도 $dx/dt$를 정보를 아는 사람 수 $x$로 모델링 한 것이다.
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+요 미분 방정식을 풀면 아래와 같다.
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+$$
+\frac{dx}{x(N-x)} = k \, dt
+$$
+
+$$
+\begin{aligned}
+\int \frac{dx}{x(N-x)} &= \int k \, dt \\
+\int \frac{1}{N} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{N-x}\right) dx &= k t + C \\
+\frac{1}{N} (\ln x + \ln (N-x)) &= kt + C \\
+\frac{\ln \left(x \cdot (N-x)\right)}{N} &= kt + C
+\end{aligned}
+$$