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3.SVM

不准确的说，SVM它本质上即是一个分类方法，用 $w^T+b$ 定义分类函数，于是求w、b，为寻最大间隔，引出$1/2||w||^2$，继而引入拉格朗日因子，化为对拉格朗日乘子a的求解（求解过程中会涉及到一系列最优化或凸二次规划等问题），如此，求w.b与求a等价，而a的求解可以用一种快速学习算法SMO，至于核函数，是为处理非线性情况，若直接映射到高维计算恐维度爆炸，故在低维计算，等效高维表现。

1.理解SVM

支持向量机，因其英文名为support vector machine，故一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

线性分类器：给定一些数据点，它们分别属于两个不同的类，现在要找到一个线性分类器把这些数据分成两类。如果用x表示数据点，用y表示类别（y可以取1或者0，分别代表两个不同的类），一个线性分类器的学习目标便是要在n维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane），这个超平面的方程可以表示为（ $w_T$中的T代表转置）：$w^{T} x+b=0$

这个超平面可以用分类函数 $f(x)=w^{T} x+b$表示，当f(x)等于0的时候，$x$便是位于超平面上的点，而$f(x)$大于0的点对应$y=1$的数据点，$f(x)$小于0的点对应 $y=-1$ 的点，如下图所示：

1.1 函数间隔与几何间隔

函数间隔

在超平面$w_x+b=0$确定的情况下，$|w_x+b|$能够表示点$x$到距离超平面的远近，而通过观察$w_x+b$的符号与类标记$y$的符号是否一致可判断分类是否正确，所以，可以用 $y(w*x+b)$的正负性来判定或表示分类的正确性。于此，便引出了函数间隔（functional margin）的概念。

函数间隔公式：$\gamma=y\left(w^{T} x+b\right)=y f(x)$

而超平面$(w，b)$关于数据集T中所有样本点($x_i$，$y_i$)的函数间隔最小值（其中，$x$是特征，$y$是结果标签，$i$表示第i个样本），便为超平面$(w, b)$关于训练数据集T的函数间隔：

$$ \gamma=\min \gamma i(i=1, \ldots n) $$

但这样定义的函数间隔有问题，即如果成比例的改变w和b（如将它们改成2w和2b），则函数间隔的值$f(x)$却变成了原来的2倍（虽然此时超平面没有改变），所以只有函数间隔还远远不够。

几何间隔

事实上，可以对法向量$w$加些约束条件，从而引出真正定义点到超平面的距离--几何间隔（geometrical margin）的概念。

假定对于一个点 $x$ ，令其垂直投影到超平面上的对应点为 $x_0$，$w$ 是垂直于超平面的一个向量，$\gamma$为样本$x$到超平面的距离，如下图所示：

这里我直接给出几何间隔的公式，详细推到请查看博文：点击进入

$$ \gamma^{\prime}=\frac{\gamma}{|w|} $$

从上述函数间隔和几何间隔的定义可以看出：几何间隔就是函数间隔除以$||w||$，而且函数间隔$y*(wx+b) = y*f(x)$实际上就是$|f(x)|$，只是人为定义的一个间隔度量，而几何间隔|$f(x)|/||w||$才是直观上的点到超平面的距离。

1.2 最大间隔分类器定义

对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。

通过由前面的分析可知：函数间隔不适合用来最大化间隔值，因为在超平面固定以后，可以等比例地缩放w的长度和b的值，这样可以使得 $f(x)=w^{T} x+b$的值任意大，亦即函数间隔可以在超平面保持不变的情况下被取得任意大。但几何间隔因为除上了，使得在缩放w和b的时候几何间隔的值是不会改变的，它只随着超平面的变动而变动，因此，这是更加合适的一个间隔。换言之，这里要找的最大间隔分类超平面中的 “间隔”指的是几何间隔。

如下图所示，中间的实线便是寻找到的最优超平面（Optimal Hyper Plane），其到两条虚线边界的距离相等，这个距离便是几何间隔，两条虚线间隔边界之间的距离等于2倍几何间隔，而虚线间隔边界上的点则是支持向量。由于这些支持向量刚好在虚线间隔边界上，所以它们满足 $y\left(w_{T} x+b\right)=1$，对于没有不是支持向量，则显然有 $y\left(w_{T} x+b\right)>1$

1.3 最大间隔损失函数Hinge loss

SVM 求解使通过建立二次规划原始问题，引入拉格朗日乘子法，然后转换成对偶的形式去求解，这是一种理论非常充实的解法。这里换一种角度来思考，在机器学习领域，一般的做法是经验风险最小化 （empirical risk minimization,ERM），即构建假设函数（Hypothesis）为输入输出间的映射，然后采用损失函数来衡量模型的优劣。求得使损失最小化的模型即为最优的假设函数，采用不同的损失函数也会得到不同的机器学习算法。SVM采用的就是Hinge Loss，用于“最大间隔(max-margin)”分类。

$$ L_{i}=\sum_{j \neq t_{i}} \max \left(0, f\left(x_{i}, W\right){j}-\left(f\left(x{i}, W\right){y{i}}-\triangle\right)\right) $$

• 对于训练集中的第i个数据$x_i$
• 在$W$下会有一个得分结果向量$f(x_i,W)$
• 第j类的得分为我们记作$f(x_i,W)_j$

要理解这个公式，首先先看下面这张图片：

1. 在生活中我们都会认为没有威胁的才是最好的，比如拿成绩来说，自己考了第一名99分，而第二名紧随其后98分，那么就会有不安全的感觉，就会认为那家伙随时都有可能超过我。如果第二名是85分，那就会感觉安全多了，第二名需要花费很大的力气才能赶上自己。拿这个例子套到上面这幅图也是一样的。
2. 上面这幅图delta左边的红点是一个安全警戒线，什么意思呢？也就是说预测错误得分超过这个安全警戒线就会得到一个惩罚权重，让这个预测错误值退回到安全警戒线以外，这样才能够保证预测正确的结果具有唯一性。
3. 对应到公式中，$f(x_i,W)_j$就是错误分类的得分。后面一项就是 正确得分 - delta = 安全警戒线值，两项的差代表的就是惩罚权重，越接近正确得分，权重越大。当错误得分在警戒线以外时，两项相减得到负数，那么损失函数的最大值是0，也就是没有损失。
4. 一直往复循环训练数据，直到最小化损失函数为止，也就找到了分类超平面。

2.深入SVM

2.1 从线性可分到线性不可分

接着考虑之前得到的目标函数(令函数间隔=1)：

$$ \max \frac{1}{|w|} s.t., y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right) \geq 1, i=1, \ldots, n $$

转换为对偶问题，解释一下什么是对偶问题，对偶问题是实质相同但从不同角度提出不同提法的一对问题。

由于求$\frac{1}{|w|}$的最大值相当于求$\frac{1}{2}|w|^{2}$的最小值，所以上述目标函数等价于（w由分母变成分子，从而也有原来的max问题变为min问题，很明显，两者问题等价）：

$$ \min \frac{1}{2}|w|^{2} s.t. , y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right) \geq 1, i=1, \ldots, n $$

因为现在的目标函数是二次的，约束条件是线性的，所以它是一个凸二次规划问题。这个问题可以用现成的QP (Quadratic Programming) 优化包进行求解。一言以蔽之：在一定的约束条件下，目标最优，损失最小。

此外，由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

2.2 核函数

事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个**核函数 κ(⋅,⋅) **，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。

具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。 如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分：

通常人们会从一些常用的核函数中选择（根据问题和数据的不同，选择不同的参数，实际上就是得到了不同的核函数），例如：多项式核、高斯核、线性核。

读者可能还是没明白核函数到底是个什么东西？再简要概括下，即以下三点：

1. 实际中，会经常遇到线性不可分的样例，此时，常用做法是把样例特征映射到高维空间中去(映射到高维空间后，相关特征便被分开了，也就达到了分类的目的)；
2. 但进一步，如果凡是遇到线性不可分的样例，一律映射到高维空间，那么这个维度大小是会高到可怕的。那咋办呢？
3. 此时，核函数就隆重登场了，核函数的价值在于它虽然也是将特征进行从低维到高维的转换，但核函数绝就绝在它事先在低维上进行计算，而将实质上的分类效果表现在了高维上，避免了直接在高维空间中的复杂计算。

如果数据中出现了离群点outliers，那么就可以使用松弛变量来解决。

2.3 总结

不准确的说，SVM它本质上即是一个分类方法，用 $w^T+b$ 定义分类函数，于是求w、b，为寻最大间隔，引出$1/2||w||^2$，继而引入拉格朗日因子，化为对拉格朗日乘子a的求解（求解过程中会涉及到一系列最优化或凸二次规划等问题），如此，求w.b与求a等价，而a的求解可以用一种快速学习算法SMO，至于核函数，是为处理非线性情况，若直接映射到高维计算恐维度爆炸，故在低维计算，等效高维表现。

2.4 SVM应用

SVM在很多诸如文本分类，图像分类，生物序列分析和生物数据挖掘，手写字符识别等领域有很多的应用，但或许你并没强烈的意识到，SVM可以成功应用的领域远远超出现在已经在开发应用了的领域。

3.一些问题

（1）LR和SVM的联系与区别

相同点

• 都是线性分类器。本质上都是求一个最佳分类超平面。
• 都是监督学习算法。
• 都是判别模型。判别模型不关心数据是怎么生成的，它只关心信号之间的差别，然后用差别来简单对给定的一个信号进行分类。常见的判别模型有：KNN、SVM、LR，常见的生成模型有：朴素贝叶斯，隐马尔可夫模型。

不同点

• LR是参数模型，SVM是非参数模型，linear和rbf则是针对数据线性可分和不可分的区别；
• 从目标函数来看，区别在于逻辑回归采用的是logistical loss，SVM采用的是hinge loss，这两个损失函数的目的都是增加对分类影响较大的数据点的权重，减少与分类关系较小的数据点的权重。
• SVM的处理方法是只考虑support vectors，也就是和分类最相关的少数点，去学习分类器。而逻辑回归通过非线性映射，大大减小了离分类平面较远的点的权重，相对提升了与分类最相关的数据点的权重。
• 逻辑回归相对来说模型更简单，好理解，特别是大规模线性分类时比较方便。而SVM的理解和优化相对来说复杂一些，SVM转化为对偶问题后,分类只需要计算与少数几个支持向量的距离,这个在进行复杂核函数计算时优势很明显,能够大大简化模型和计算。
• logic 能做的 svm能做，但可能在准确率上有问题，svm能做的logic有的做不了。

（2）线性分类器与非线性分类器的区别以及优劣

线性和非线性是针对模型参数和输入特征来讲的；比如输入x，模型$y=ax+ax^2$ 那么就是非线性模型，如果输入是$x$和$X^2$则模型是线性的。

• 线性分类器可解释性好，计算复杂度较低，不足之处是模型的拟合效果相对弱些。LR,贝叶斯分类，单层感知机、线性回归
• 非线性分类器效果拟合能力较强，不足之处是数据量不足容易过拟合、计算复杂度高、可解释性不好。决策树、RF、GBDT、多层感知机

SVM两种都有（看线性核还是高斯核）

（3）是否存在一组参数使SVM训练误差为0？

答：存在

（4）训练误差为0的SVM分类器一定存在吗？

答：一定存在

（5）加入松弛变量的SVM的训练误差可以为0吗？

答：使用SMO算法训练的线性分类器并不一定能得到训练误差为0的模型。这是由 于我们的优化目标改变了，并不再是使训练误差最小。

（6）带核的SVM为什么能分类非线性问题?

答：核函数的本质是两个函数的內积，通过核函数将其隐射到高维空间，在高维空间非线性问题转化为线性问题, SVM得到超平面是高维空间的线性分类平面。其分类结果也视为低维空间的非线性分类结果, 因而带核的SVM就能分类非线性问题。

（7）如何选择核函数？

• 如果特征的数量大到和样本数量差不多，则选用LR或者线性核的SVM；
• 如果特征的数量小，样本的数量正常，则选用SVM+高斯核函数；
• 如果特征的数量小，而样本的数量很大，则需要手工添加一些特征从而变成第一种情况。