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% !TeX spellcheck = es_ES
% !TeX program = pdflatex
\documentclass[twocolumn,titlepage]{article}
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,top=2.6cm,bottom=2cm]{geometry}
%Header
\usepackage{fancyhdr}
\setlength{\headheight}{15.2pt}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ \href{http://www.whittileaks.com}{\textsf{whittileaks.com}} }
%\rhead{\thesection}
\cfoot{\thepage}
%End Header
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{mathrsfs}
% \usepackage{upgreek}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mdframed}
\usepackage{fontawesome}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[spanish, mexico]{babel}
\usepackage{beton}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
colorlinks,
citecolor=black,
filecolor=black,
linkcolor=black,
urlcolor=black
}
\usepackage{bm}
\usepackage{cancel}
% \usepackage{unicode-math} %Terrible things
% \usepackage{fontspec} %Cambiar compiler a LuaLatex
% \setmainfont{Comic Sans MS}% Terrible indeed
% \setmathfont{Comic Sans MS}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{natbib}
\bibliographystyle{plainnat}
\sisetup{
detect-family,
detect-display-math = true,
output-decimal-marker = {,} %Esto decide si el separador decimal es coma o punto
}
\usepackage[pages=some]{background}
\backgroundsetup{
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opacity=0.6,
angle=0,
position={7.93,-10.34},
contents={%
\includegraphics[width=\paperwidth]{waveoffkana.jpg}
}%
}
\title{Resúmen Transferencia Calor}
%\renewcommand\spanishtablename{Tabla}
\newcommand\numberthis{\addtocounter{equation}{1}\tag{\theequation}}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\newcommand{\Matlab}{\mbox{\fontfamily{cmr}\selectfont \scshape{Matlab}}}
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\newcommand{\smol}[1]{{\mbox{\tiny $#1$}}}
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\newcommand{\diverg}{\textrm{div }}
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\newcommand{\RM}[1]{\mbox{\fontfamily{cmr}\selectfont\scriptsize #1}}
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\begin{document}
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{roman}
\input{chapter/ch0title.tex}%Titulo y primera parte
\pagestyle{fancy}
\twocolumn
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{arabic}
\input{chapter/ch1-1mecfluidos.tex}
\input{chapter/ch1-2ecbasicas.tex}
\input{chapter/ch1-3capalimite.tex}
\input{chapter/ch1-4tubulencia.tex}
\setcounter{footnote}{0}
\input{chapter/ch2calorintro.tex}
\setcounter{footnote}{0}
\input{chapter/ch3convecanalitica.tex}
\input{chapter/ch4convecempirica.tex}
\input{chapter/ch5convecinterna.tex}
\input{chapter/ch6intercambiador.tex}
\input{chapter/ch7radiacion.tex}
\input{chapter/appendix.tex}
\bibliography{labibliografia} % Indica archivo
\end{document}
\onecolumn
\subsection*{Duda fluidos}
En algun punto de la materia\footnote{Filminas 1 v2 INTRO. Slide 19/44.} dijimos
\begin{equation} \label{eq:sigmaijMatrix}
\sigma_{ij}= -p\delta_{ij}+
\begin{bmatrix}
\sigma_{11}+p&\sigma_{21}&\sigma_{31} \\
\sigma_{12}&\sigma_{22}+p&\sigma_{32} \\
\sigma_{13}&\sigma_{23}&\sigma_{33}+p
\end{bmatrix} =-p\delta_{ij}+S_{ij}
\end{equation}
donde $p$ es la presion mecanica.
En el apunte de las ecuaciones locales, entre la ecuación 5.9 y 5.10 llegamos a
\begin{equation}
S_{kk} =\left(\lambda +\frac{2}{3}\mu \right)e_{kk}
\end{equation}
Y finalmente se afirma que la traza de $S_{ij}$ es nula porque ``esta contenida en $p$". Esto es lo mismo que decir que $\sigma_{11}=\sigma_{22}=\sigma_{33}=-p$.
Mi pregunta es si ``los componentes de la traza de $\sigma_{ij}$ son siempre idénticos?"
%% RESPUESTA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Respuesta}
\textbf{La respuesta es no.}
Si bien tenes a $-p$ en todas las direcciones principales, lo cual daria que los $\sigma_{(k)(k)}$ son iguales en algunos flujos puede haber gradientes de la velocidad en la direccion de la misma, esos esfuerzos aparecen en las componentes principales de $\sigma$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Continuación}
Siguiendo ese hilo... Es verdad que
\begin{equation}
p=\pe - S_{kk} = \pe - \left(\lambda +\frac{2}{3} \right)e_{kk}
\end{equation}
Para fluidos simples, newtonianos vale:
\begin{equation}
S_{ij} = \lambda e_{kk} \delta_{ij} + 2\mu e_{ij}
\end{equation}
Entonces según \ref{eq:sigmaijMatrix} tenemos:
\[
\sigma_{ij}= -\left[\pe -\left(\lambda+ \frac{2}{3}\mu \right)e_{kk}\right]\delta_{ij}+\lambda e_{kk} \delta_{ij} + 2\mu e_{ij} = -\pe \delta_{ij} + 2\lambda e_{kk}\delta_{ij}+2\mu e_{ij}+\frac{2}{3}\mu e_{kk}\delta_{ij}
\]
Dado que los componentes de la traza de $S_{ij}$ no son idénticos no se puede suponer que la traza de $S_{ij}$ es nula.
Nos queda entonces que para flujos compresibles no nos queda otra opcion mas que expresar la ecuación de Navier--Stokes con la viscosidad de volumen $\lambda$.