diff --git a/AnalisiUno.tex b/AnalisiUno.tex index b150f48..42f554f 100644 --- a/AnalisiUno.tex +++ b/AnalisiUno.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[italian,twoside,headinclude,10pt]{scrbook} +\documentclass[italian,twoside,headinclude,10pt,dvipsnames]{scrbook} \usepackage{qrcode} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,thmtools} \usepackage{mathtools} % per \MoveEqLeft diff --git a/chapters/AnalisiUno-00-introduzione.tex b/chapters/AnalisiUno-00-introduzione.tex index 796d612..0ee0ad7 100644 --- a/chapters/AnalisiUno-00-introduzione.tex +++ b/chapters/AnalisiUno-00-introduzione.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \chapter*{Introduzione} Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica %% README del corso di studi in Fisica dell'Università %% README -di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. %% README +di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19, 2019/20 e 2020/21. %% README %% README Le note (come il corso a cui fanno riferimento) %% README diff --git a/chapters/AnalisiUno-01-reali.tex b/chapters/AnalisiUno-01-reali.tex index ca08aa2..d5b1e27 100644 --- a/chapters/AnalisiUno-01-reali.tex +++ b/chapters/AnalisiUno-01-reali.tex @@ -3634,6 +3634,7 @@ \section{isomorfismi di gruppi ordinati} strettamente compreso tra $a$ e $b$. \section{funzione esponenziale e potenza} +\label{sec:esponenziale} Osserviamo che l'insieme $\RR_+ = \ENCLOSE{x\in \RR\colon x>0}$ dei reali positivi rispetto alla operazione di moltiplicazione diff --git a/chapters/AnalisiUno-03-serie.tex b/chapters/AnalisiUno-03-serie.tex index f48e5a7..09cbfd2 100644 --- a/chapters/AnalisiUno-03-serie.tex +++ b/chapters/AnalisiUno-03-serie.tex @@ -952,7 +952,8 @@ \section{rappresentazione posizionale dei numeri reali} \end{proof} L'insieme $C$ definito nella precedente dimostrazione con $d=3$ -è lo stesso \myemph{insieme di Cantor} considerato nell'esempio~\ref{eq:10445934}. +è lo stesso \myemph{insieme di Cantor} considerato +nell'esempio~\label{ex:insieme_Cantor}. Infatti si potrebbe mostrare facilmente che $C=\frac 1 3 C \cup (\frac 2 3 + \frac 1 3 C)$. @@ -1089,6 +1090,7 @@ \section{convergenza assoluta} alla definizione di limite. \end{proof} +\begin{comment} \begin{theorem}% \label{th:somma_Cauchy}% Sia $c_{k,j}$ una successione (reale o complessa) @@ -1235,6 +1237,7 @@ \section{convergenza assoluta} $\sum a_n$ è assolutamente convergente e si può applicare il lemma precedente da cui si ottiene il risultato desiderato. \end{proof} +\end{comment} %%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% @@ -1402,6 +1405,115 @@ \section{serie a segno variabile} Il caso $x=-\infty$ si tratta in maniera analoga. \end{proof} +\section{somme multiple} + +\begin{theorem}[somme alla Cauchy] + \label{th:somma_Cauchy}% +Sia $a_{k,j}\in \CC$ una successione a due indici $k\in \NN$, $j\in\NN$. +Se +\[ + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} < +\infty +\] +allora +\[ + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} + = \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k,n-k}. +\] +\end{theorem} +% +\begin{proof} +Poniamo +\[ + b_k = \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j},\qquad + c_n = \sum_{k=0}^{n} a_{k,n-k}. +\] +Se immaginiamo i termini $a_{k,j}$ come i termini di una matrice +infinita dove $k$ è l'indice di riga e $j$ è l'indice di colonna, +osserviamo che $b_k$ rappresenta la somma dei termini sulla riga +$k$-esima e la successione $c_n$ rappresenta la somma (finita) +dei termini sulla diagonale $k+j=n$. +L'idea è che sommare i termini lungo le righe oppure lungo le diagonali +ci deve dare lo stesso risultato. +L'ipotesi è infatti una sorta di assoluta convergenza della serie di tutti +i termini $a_{k,j}$. + +La tesi del teorema è +\[ +\sum_{k=0}^{+\infty} b_k = \lim_{N\to +\infty} \sum_{n=0}^N c_n +\] +cioè per ogni $\eps>0$ dobbiamo trovare $\alpha\in \NN$ tale che per +ogni $N > \alpha$ si abbia +\[ + \abs{\sum_{n=0}^N c_n - \sum_{k=0}^{+\infty} b_k} < 4\eps. +\] +Fissato $\eps>0$ applicando la proprietà della coda +(teorema~\ref{th:coda}) alla serie convergente data per ipotesi, +si ottiene che esiste $K$ tale che: +\[ + \sum_{k=K+1}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} < \frac{\eps} 2. +\] +Sempre grazie alla proprietà della coda applicata ai singoli termini +della serie convergente per ipotesi possiamo affermare che per ogni +$k\in \ENCLOSE{0,1,\dots, K}$ esiste un indice $J_k$ tale che +\[ + \sum_{j=J_k+1}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} \le \frac{\eps}{2^{k+2}}. +\] +Poniamo $J=\max\ENCLOSE{J_0,J_1, \dots, J_K}$ e $\alpha = J + K$. +Se $N\ge \alpha$ si ha allora +\begin{align*} + \abs{\sum_{n=0}^N c_n - \sum_{k=0}^{+\infty} b_k} + &\le \abs{\sum_{n=0}^N c_n - \sum_{k=0}^{K} b_k} + \eps \\ +\end{align*} +Osserviamo ora che i termini che vengono sommati nella serie +$\sum_{n=0}^N c_n$ sono tutti i termini $a_{k,j}$ tali che $k+j\le N$, +mentre i termini che vengono sommati in $\sum_{k=0}^K b_k$ +sono tutti i termini $a_{k,j}$ con $k\le K$. +Quindi i termini in comune alle due somme si cancellano e rimangono solamente +i termini della prima somma che non compaiono nella seconda e i termini +della seconda somma che non compaiono nella prima. +Non ci interessa il segno di questi termini quindi possiamo stimare la somma +di tutti questi termini residui facendone la somma dei valori assoluti: +\begin{align*} + \abs{\sum_{n=0}^N c_n - \sum_{k=0}^{K} b_k} + & \le \sum_{k=K+1}^N \sum_{j=0}^{N-k} \abs{a_{k,j}} + + \sum_{k=0}^{K}\sum_{j=N-K}^{+\infty} \abs{a_{k,j}}\\ + & \le \sum_{k=K+1}^{+\infty}\sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} + + \sum_{k=0}^K \sum_{j=J_k+1}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} \\ + & \le \frac\eps 2 + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\eps}{2^{k+2}} + = \eps. +\end{align*} +\end{proof} + +\begin{comment} +\begin{corollary}[scambio delle somme] +Sia $a_{k,j}\in \CC$ una successione a due indici $k\in \NN$, $j\in\NN$. +Se +\[ + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} < +\infty +\] +allora +\[ + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} a_{k,j} + \sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} a_{k,j} +\] +\end{corollary} +% +\begin{proof} +L'ipotesi +\[ + \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{j=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} = S < +\] + + +data garantisce che vale anche +\[ + \sum_{j=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_{k,j}} < +\infty + \] + in quanto +\end{proof} +\end{comment} + +\section{Somma per parti} \begin{theorem}[somma per parti] \label{th:somma_per_parti}% Siano $a_k$ e $B_k$ successioni (reali o complesse). @@ -1518,6 +1630,7 @@ \section{serie a segno variabile} Per $z=1$ si ottiene la serie armonica, che pure non converge. \end{proof} +\begin{comment} \section{somme su insiemi qualunque} La teoria che abbiamo visto finora ci permette di definire @@ -1660,6 +1773,7 @@ \section{somme su insiemi qualunque} da cui si ottiene, come voluto, \eqref{eq:4389567}. \end{proof} +\end{comment} \begin{comment} \begin{theorem}[somme più che numerabili] Sia $f$ una funzione definita su un insieme $A$ @@ -1689,6 +1803,7 @@ \section{somme su insiemi qualunque} esiste $A_n$ finito tale che $A_n\to A$? \end{proof} \end{comment} +\begin{comment} \begin{theorem}[somme iterate] Sia $f$ una funzione definita su un insieme $A$ a @@ -1704,6 +1819,7 @@ \section{somme su insiemi qualunque} \] se almeno uno dei due lati dell'uguaglianza esiste. \end{theorem} +\end{comment} %%% \section{prodotti infiniti} @@ -1871,45 +1987,45 @@ \section{le serie di potenze} \begin{theorem}[convergenza delle serie di potenze] \mymark{***} -Se la serie di potenze $\sum a_k z^k$ converge in un punto $z_0\in \CC$ -(anzi, basta che la successione $a_k z^k$ sia infinitesima) +Se la serie di potenze $\sum a_k z^k$ converge in un punto $z\in \CC$ +(anzi, basta che la successione $a_k z^k$ sia limitata) allora la serie -converge assolutamente per ogni $z\in \CC$ tale che $\abs{z}< \abs{z_0}$. -Viceversa, se la serie non converge in un punto $z_0\in \CC$ +converge assolutamente per ogni $w\in \CC$ tale che $\abs{w}< \abs{z}$. +Viceversa, se la serie non converge in un punto $z\in \CC$ allora -non converge in nessuno $z$ tale che $\abs{z} > \abs{z_0}$ (anzi la successione -$a_n z^n$ non è nemmeno infinitesima). +non converge in nessun $w$ tale che $\abs{w} > \abs{w}$ (anzi la successione +$a_n w^n$ non è nemmeno limitata e tantomento infinitesima). \end{theorem} % \begin{proof} \mymark{*} -Se la serie $\sum a_k z_0^k$ converge significa che la successione -$a_k z_0^k$ è infinitesima e in particolare è limitata. +Se la serie $\sum a_k z^k$ converge significa che la successione +$a_k z^k$ è infinitesima e in particolare è limitata. Esiste dunque $M$ tale che per ogni $k\in \NN$ \[ - \abs{a_k z_0^k} \le M. + \abs{a_k z^k} \le M. \] -Se $z_0=0$ non c'è niente da dimostrare (perché non esiste $z$ tale che $\abs{z}<0$). -Se $z_0\neq 0$ si ha +Se $z=0$ non c'è niente da dimostrare. +Se $z\neq 0$ si ha \[ - \abs{a_k} \le \frac{M}{\abs{z_0}^k}. + \abs{a_k} \le \frac{M}{\abs{z}^k}. \] -Scelto ora qualunque $z\in \CC$ con $\abs{z} < \abs{z_0}$ si ha +Scelto ora qualunque $w\in \CC$ con $\abs{w} < \abs{z}$ si ha \[ - \abs{a_k z^k} = \abs{a_k}\cdot \abs{z}^k \le M \frac{\abs{z}^k}{\abs{z_0}^k} + \abs{a_k w^k} = \abs{a_k}\cdot \abs{w}^k \le M \frac{\abs{w}^k}{\abs{z}^k} \le M q^k \] -avendo posto $q = \frac{\abs{z}}{\abs{z_0}}$. +avendo posto $q = \frac{\abs{w}}{\abs{z}}$. Essendo $q<1$ la serie geometrica $\sum q^k$ converge e, per confronto, -anche la serie $\sum \abs{a_k z^k}$ converge. -Dunque la serie $\sum a_k z^k$ converge assolutamente. - -Viceversa supponiamo che $\sum a_k z_0^k$ non converga -e prendiamo $z$ con $\abs{z} > \abs{z_0}$. -Allora $\sum a_k z^k$ non può convergere, -$a_k z^k$ non può neanche essere infinitesima perché -se lo fosse allora, scambiando i ruoli di $z_0$ e $z$, -per il punto precedente la serie $\sum a_k z_0^k$ dovrebbe convergere. +anche la serie $\sum \abs{a_k w^k}$ converge. +Dunque la serie $\sum a_k w^k$ converge assolutamente. + +Viceversa supponiamo che $\sum a_k z^k$ non converga +e prendiamo $w$ con $\abs{w} > \abs{z}$. +Allora $\sum a_k w^k$ non può convergere, +ansi $a_k w^k$ non può neanche essere limitata perché +se lo fosse allora, scambiando i ruoli di $z$ e $w$, +per il punto precedente la serie $\sum a_k z^k$ dovrebbe convergere. \end{proof} \begin{corollary}[l'insieme di convergenza è circolare]% @@ -1929,7 +2045,7 @@ \section{le serie di potenze} \end{equation} Inoltre la serie converge assolutamente in ogni $z\in \CC$ con $\abs{z}R$. \end{corollary} % @@ -1946,7 +2062,7 @@ \section{le serie di potenze} tale che $R < \abs{z_1} \le \abs{z}$ e la serie di potenze non può convergere neanche in $z_1$. Ma allora, per il teorema precedente, -deduciamo che $a_k z^k$ non è nemmeno infinitesima. +deduciamo che $a_k z^k$ non è nemmeno limitata. Abbiamo quindi mostrato l'esistenza di $R\in \bar \RR$ che soddisfa \eqref{eq:48463}. Chiaramente risulta $R\ge 0$ perché $A$ è un insieme non vuoto @@ -2041,23 +2157,33 @@ \section{le serie di potenze} \end{theorem} % \begin{proof} - Supponiamo che $\sum a_k z_0^k$ sia convergente e - dimostriamo che se $\abs{z}<\abs{z_0}$ allora anche - $\sum k a_k z^k$ è convergente. - Se la prima serie è convergente allora il termine generico - deve essere infinitesimo e quindi limitato: - \[ - \abs{a_k z_0^k} \le C. - \] - Ma allora posto $q=\frac{\abs{z}}{\abs{z_0}} < 1$ si ha + Sia $R$ il raggio di convergenza della serie $\sum a_k z^k$ + e $r$ il raggio di convergenza della serie $\sum k a_k z^k$. + + Visto che per $k>0$ si ha $\abs{a_k z^k} \le \abs{k a_k z^k}$ + la serie $\sum a_k z^k$ converge assolutamente nei punti + in cui converge assolutamente la serie $\sum k a_k z^k$. + Questo significa che $R\ge r$. + + Preso ora un punto $w$ con $\abs{w}0\colon \exists \delta>0 \colon - \forall w\in B\colon - \abs{z-w}<\delta \implies \abs{f(z)-f(w)}< \eps. -\end{equation} -Si scelga un $\rho>0$ tale che $\abs{z}< \rho < R$. -Dovendo scegliere $\delta$ imponiamo che sia $\delta < \rho-\abs{z}$ -cosicché si avrà $\abs{w} < \abs{z} + \delta = \rho$ -quando $\abs{z-w}< \delta$. -Di conseguenza si osserva che -\begin{align*} - \abs{z^k - w^k} - &= \abs{(z - w)\cdot(z^{k-1} + z^{k-2}w + \dots + z w^{k-2}+ w^{k-1})} \\ - &\le \abs{z-w}\cdot \enclose{\abs{z}^{k-1} + \abs{z}^{k-2}\abs{w} + \dots + \abs{z} \abs{w}^{k-2} + \abs{w}^{k-1}} \\ - &\le \abs{z-w}\cdot k \cdot \rho^{k-1} -\end{align*} -e quindi -\begin{align*} -\abs{f(z) - f(w)} -&= \abs{\sum_{k=0}^{+\infty} a_k z^k - \sum_{k=0}^{+\infty} a_k w^k} -= \abs{\sum_{k=0}^{+\infty} a_k (z^k - w^k)} \\ -&\le \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_k} \cdot \abs{z^k - w^k} -\le \sum_{k=0}^{+\infty} \abs{a_k} \cdot \abs{z - w} k \rho^{k-1}\\ -&= \abs{z -w}\cdot \sum_{k=0}^{+\infty} k \abs{a_k} \rho^{k-1}. -\end{align*} -Ora osserviamo che la somma +Supponiamo $R>0$ altrimenti non c'è niente da dimostrare. +Fissiamo $r\rho$ grazie al teorema~\ref{th:raggio_serie_derivate}. -Dunque si ha +Osservando che per ogni addendo sul lato destro si ha +$\abs{w^k z^{n-k-1}}\le r^{n-1}$, essendoci $n$ addendi si ottiene \[ - \abs{f(z)-f(w)} \le C\cdot \abs{z-w} < C\cdot \delta. + \abs{z^n - w^n} \le \abs{z-w}\cdot n\cdot r^{n-1}. \] -Scegliendo $\delta\le \frac{\eps}{C}$ si ottiene dunque -la validità di~\eqref{eq:38465}. +Dunque +\begin{align*} + \abs{f(z)-f(w)} + &= \abs{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n - \sum_{n=0}^{+\infty} a_n w^n} + = \abs{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z^n - w^n)} \\ +& \le \sum_{n=0}^{+\infty} \abs{a_n} \cdot \abs{z^n - w^n} +\le \abs{z-w}\sum_{n=0}^{+\infty} \abs{a_n} n r^{n-1}. +\end{align*} +Ma noi sappiamo che la serie $\sum n a_n z^n$ +ha lo stesso raggio di convergenza $R$ della serie originaria +(per il teorema~\ref{th:raggio_serie_derivate}) +dunque la serie $\sum n a_n r^n$ è assolutamente convergente e, +dividendo per $r$, +scopriamo che anche la serie $\sum n a_n r^{n-1}$ +è convergente. +Posto $L = \sum_{n=0}^{+\infty} n \abs{a_n} r^{n-1}$ +per quanto scritto sopra possiamo concludere che +\[ +\abs{f(z)-f(w)} \le L\cdot \abs{z-w}. +\] +Dunque per ogni $\eps>0$ scelto $\delta = \frac{\eps}{L}$ +se $\abs{z-w}<\delta$ risulta $\abs{f(z)-f(w)}\le \eps$. +Significa che la funzione $f$ è continua nel punto $z$ e +questo è vero per ogni $z$ con $\abs{z} f(x). \] -La funzione è quindi strettamente crescente. -Dunque la funzione $f$ soddisfa tutte le ipotesi -del teorema~\ref{th:esponenziale} e coincide -quindi con la funzione $a^x$: +La funzione è quindi strettamente crescente. +Dunque è un omomorfismo monotono dal gruppo additivo $\RR$ al +gruppo moltiplicativo $(0,+\infty)$. +Fissato $a=f(1)$ sappiamo, +per quanto visto nella sezione~\ref{sec:esponenziale}, +che c'è una unica funzione con queste proprietà e dunque +deve essere: \[ f(x)= a^x. \] diff --git a/chapters/AnalisiUno-08-ricorrenza.tex b/chapters/AnalisiUno-08-ricorrenza.tex index 24314a2..8137193 100644 --- a/chapters/AnalisiUno-08-ricorrenza.tex +++ b/chapters/AnalisiUno-08-ricorrenza.tex @@ -432,7 +432,7 @@ \section{equazioni ricorsive autonome del primo ordine} \[ \begin{cases} a_0 = 0\\ - a_{n+1} =1 + a_n^2. + a_{n+1} = 1 + a_n^2. \end{cases} \] Determinare il limite della successione. @@ -526,7 +526,7 @@ \section{equazioni ricorsive autonome del primo ordine} \[ \begin{cases} a_0 = \frac 1 2\\ - a_{n+1} = 1- \frac{1}{a_n} + a_{n+1} = 1 - \frac{1}{a_n} \end{cases} \] Determinare, se esiste, il limite della successione.