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-Questo repository contiene gli appunti del
-corso di Analisi Matematica tenuto da me (emanuele.paolini@gmail.com)
-dal 2017-2018 per il corso di studi in Fisica dell'Università di Pisa.
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
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-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
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-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
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-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
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-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
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-con i collegamenti alle figure interattive. 
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-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
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-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
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-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
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- 
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-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
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-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
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-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
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-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
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-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
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-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
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-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
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-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
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-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
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-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
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-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
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-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
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-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
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-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
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- 
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-Il materiale è costantemente in evoluzione 
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-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
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-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
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-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
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-
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-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
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-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
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-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
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-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
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-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
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-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
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-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
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-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
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-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
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-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
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-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
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-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
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-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
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-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
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-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
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-della formula di Stirling e di Wallis, 
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-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
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-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
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-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
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-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
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-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
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-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
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-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
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-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
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-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
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-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
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-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
-Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
-del corso di studi in Fisica dell'Università 
-di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
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-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
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- 
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-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
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- 
-Le note (come il corso a cui fanno riferimento) 
-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
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- 
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-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
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-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
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-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
-
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
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-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
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- 
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-riguardano l'analisi delle funzioni di una variabile 
-reale. 
-Gli argomenti trattati sono serie e successioni numeriche, 
-il calcolo differenziale e il calcolo integrale. 
-Viene anche introdotta la convergenza uniforme allo scopo di considerare, 
-come ultimo argomento, lo studio delle equazioni differenziali ordinarie. 
-Da subito vengono introdotti i numeri complessi che vengono utilizzati 
-laddove possono aiutare a dare una visione più unitaria e concettualmente 
-più semplice degli argomenti trattati (in particolare nello studio delle serie 
-di potenze, nella definizione delle funzioni trigonometriche, nella risoluzione delle equazioni differenziali lineari). 
 
-Le note sono estensive, non c'è alcun tentativo di concisione. 
-L'obiettivo è quello di raccogliere tutti quei risultati che non sempre è 
-possibile esporre in maniera dettagliata e rigorosa a lezione. 
-Troveremo, ad esempio, 
-definizioni equivalenti della funzione esponenziale e una definizione 
-analitica (tramite serie di potenze) 
-delle funzioni trigonometriche (e di $\pi$). 
-Proponiamo la dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra, 
-della formula di Stirling e di Wallis, 
-e dell'irrazionalità di $e$ e di $\pi$. 
-Viene proposta una definizione formale dei simboli di Landau 
-$o$-piccolo e $O$-grande con i relativi teoremi per trattare queste espressioni. 
-Lo stesso viene fatto per il simbolo di integrale indefinito. 
-Vengono trattati quei risultati algebrici che permettono di 
-giustificare gli algoritmi per il calcolo delle primitive 
-delle funzioni razionali e per risolvere le equazioni differenziali 
-lineari con il metodo di similarità. 
- 
-I risultati più importanti sono marcati con degli asterischi sul margine 
-della pagina: *** molto importante, ** importante, * rilevante. 
-Il lettore è invitato a non perdere tempo sui risultati più marginali 
-se i risultati importanti non sono del tutto chiari. 
-Le figure non sono frequenti ma a margine di molte di esse  
-è presente un *QR-code* (un quadrato formato da una nuvola di pixel) 
-che permette di accedere alla figura  
-*online* e modicarne i parametri.  
-Nella versione PDF il *QR-code* è *cliccabile*.  
-Nella versione cartacea si può usare la fotocamera del proprio 
-*smartphone* per scansionare il codice e visitare la pagina corrispondente. 
-Di seguito in questa pagina trovate l'elenco 
-con i collegamenti alle figure interattive. 
- 
-Queste note sono rese disponibili liberamente sia in formato PDF che 
-in forma di sorgente 
-LaTeX. 
-Il materiale è costantemente in evoluzione 
-e certamente contiene errori e incoerenze. Ogni suggerimento o commento è 
-benvenuto! 
 Queste note sono nate come appunti per il corso di Analisi Matematica 
 del corso di studi in Fisica dell'Università 
 di Pisa negli anni accademici 2017/18, 2018/19 e 2019/20. 
diff --git a/chapters/AnalisiUno-04-complessi.tex b/chapters/AnalisiUno-04-complessi.tex
index cb304c6..c0a8c56 100644
--- a/chapters/AnalisiUno-04-complessi.tex
+++ b/chapters/AnalisiUno-04-complessi.tex
@@ -884,7 +884,7 @@ \section{il teorema fondamentale dell'algebra}
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Weierstrass complesso]
-Sia $A\subset \CC$ un insieme non vuoto, sequenzialmente chiuso e limitato e sia $f\colon A \to \RR$ una funzione continua. 
+Sia $A\subset \CC$ un insieme non vuoto, sequenzialmente chiuso e limitato e sia $f\colon A \to \RR$ una funzione continua.
 Allora $f$ ha massimo e minimo su $A$.
 \end{theorem}
 %
@@ -948,7 +948,11 @@ \section{il teorema fondamentale dell'algebra}
 Dunque possiamo applicare il teorema di esistenza del minimo per le funzioni coercive: esiste $w\in \CC$ tale che $\abs{f(w)}$ è minimo.
 
 Per concludere il teorema basterà dimostrare che $f(w)=0$.
-L'idea che vogliamo sviluppare è che i polinomi complessi se assumono un valore $f(w)$ in un punto $w\in \CC$ allora assumono anche tutti i valori vicini ad esso in quanto \emph{localmente} il polinomio assomiglia ad una potenza $z^n$ e l'equazione $z^n=c$ ha sempre soluzione, come abbiamo già visto. Dunque vicino a $w$ ci saranno dei punti in cui $f$ assume valori che in modulo sono minori a $f(w)$: a meno che non sia proprio $f(w)=0$, nel qual caso ovviamente non è possibile avere numeri con modulo inferiore a $0$.
+L'idea che vogliamo sviluppare è che i polinomi complessi se assumono un valore
+$f(w)$ in un punto $w\in \CC$ allora assumono anche tutti i valori vicini
+ad esso in quanto \emph{localmente} il polinomio assomiglia ad una potenza $z^n$
+e l'equazione $z^n=c$ ha sempre soluzione, come abbiamo già visto.
+Dunque vicino a $w$ ci saranno dei punti in cui $f$ assume valori che in modulo sono minori a $f(w)$: a meno che non sia proprio $f(w)=0$, nel qual caso ovviamente non è possibile avere numeri con modulo inferiore a $0$.
 Per semplificare la notazione andremo a traslare e riscalare il polinomio $f$ in modo che il punto di minimo vada in $0$ e il valore con modulo minimo diventi $1$.
 
 Supponiamo per assurdo che sia $f(w)\neq 0$ e consideriamo il polinomio ausiliario
diff --git a/chapters/AnalisiUno-05-funzioni.tex b/chapters/AnalisiUno-05-funzioni.tex
index fbade8c..fe02dbc 100644
--- a/chapters/AnalisiUno-05-funzioni.tex
+++ b/chapters/AnalisiUno-05-funzioni.tex
@@ -2709,16 +2709,17 @@ \section{formula di Taylor}
 Si osservi che
 \begin{gather*}
   f'(x) = x^{-1},\qquad
-  f''(x) = -x^{-2},\\
-  f'''(x) = 2x^{-3}, \qquad
-  \dots, \qquad
+  f''(x) = -x^{-2},\qquad
+  f'''(x) = 2x^{-3}, \\
+  f^{(4)}(x) = -3\cdot 2 x^{-4}, \qquad
+  \dots \qquad
   f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}
 \end{gather*}
 e si ha quindi, per ogni $k\ge 1$
 \[
   \frac{f^{(k)}(1)}{k!} = \frac{(-1)^{k-1}}{k}
 \]
-da cui si deduce che per $x_0=1$ si ha il polinomio di taylor di ordine $n$
+da cui si deduce che il polinomio di Taylor di ordine $n$
 centrato in $x_0=1$ è
 \[
 P(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\frac{(x-1)^k}{k}.
diff --git a/docs/index.html b/docs/index.html
index c296cff..19c7d60 100644
--- a/docs/index.html
+++ b/docs/index.html
@@ -121,7 +121,26 @@ <h2>collegamenti utili</h2>
 </ul>
 <h2>riferimenti presenti nel testo</h2>
 <ul>
-<!--MYQRCODE--><li><a href="http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf"> appunti di logica</a> (pagina 407)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="https://paolini.github.io/AnalisiUno/"> questa pagina web</a> (pagina ii)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?figtrigo">interagisci</a> (pagina 133, capitolo 3)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?figiperb">interagisci</a> (pagina 139, capitolo 3)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?fibonacci">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.8</a> (pagina 327, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex3">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.9</a> (pagina 328, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex4">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.10</a> (pagina 329, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex5">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.11</a> (pagina 330, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex6">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.12</a> (pagina 331, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex7">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.13</a> (pagina 333, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?ex8">Diagramma a ragnatela relativo all'esercizio 8.14</a> (pagina 336, capitolo 8)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?43856">i grafici delle soluzioni dell'equazione differenziale (9.7)</a> (pagina 358, capitolo 9)</li>
+<!--MYURL--><li><a href="?94467">Il baffo di Peano formato dalle soluzioni del problema di Cauchy (9.11)</a> (pagina 359, capitolo 9)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?bisection">github bisection.py</a> (pagina 399)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?series">github series.py</a> (pagina 400)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computee">github compute_e.py</a> (pagina 400)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?computepi">github compute_pi.py</a> (pagina 400)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Mandelbrot">github Mandelbrot.py</a> (pagina 401)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Koch">github Koch.py</a> (pagina 402)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://paolini.github.io/AnalisiUno?Fourier">github Fourier.py</a> (pagina 403)</li>
+<!--MYQRCODE--><li><a href="http://pagine.dm.unipi.it/paolini/didattica/appunti/logica.pdf"> appunti di logica</a> (pagina 405)</li>
 </ul>
 </p>
 
diff --git a/make-docs.sh b/make-docs.sh
index 74ea588..9898bfa 100644
--- a/make-docs.sh
+++ b/make-docs.sh
@@ -2,6 +2,9 @@ out=README.md
 
 echo "writing file" ${out}
 
+# truncate
+echo "" > ${out}
+
 grep "%% README" chapters/AnalisiUno-00*.tex | cut -f1 -d"%" | sed "s/\\\\emph{\\([^}]*\\)}/\\*\\1\\*/g" >> ${out}
 
 out=docs/index.html