phd_ms.tex

\chapter{Le modèle standard}\label{chapitre_ms}

\section{Présentation générale}

Le modèle standard de la physique des particules est une théorie qui vise à décrire, mathématiquement, les interactions/forces fondamentales qui dictent les propriétés de l'univers ainsi que son contenu. Ce modèle repose sur la mécanique quantique, la théorie de la relativité restreinte et la notion de champs quantiques.\\

D'après nos connaissances actuelles, il existe quatre interactions fondamentales dans l'univers :

\paragraph{L'interaction électromagnétique (EM)} Il s'agit d'une interaction qui s'exerce sur les particules qui possèdent une charge électrique. Elle est responsable de la cohésion de la matière. Elle est de portée infinie, mais globalement, son effet à grande échelle est négligeable à cause de la conservation de la charge électrique. L'interaction électromagnétique est véhiculée par une particule, le photon $ \gamma $.

\paragraph{L'interaction forte} Il s'agit d'une interaction qui s'exerce sur les quarks qui composent les baryons (3 quarks : neutrons, protons, etc\dots) et les mésons (2 quarks : $ \pi^0 $, $ \eta $, etc\dots). Elle est responsable de la cohésion des noyaux d'atomes en s'opposant à l'interaction électromagnétique. Son intensité est très forte, elle est de portée infinie, néanmoins, des mécanismes en réduisent la portée à moins que $ 10^{-15}m $. L'interaction forte est véhiculée par huit particules, les gluons $ g $.

\paragraph{L'interaction faible} Il s'agit d'une interaction qui s'exerce sur toutes les particules. Elle intervient dans les processus de désintégration $ \beta^\pm $ et dans la fusion des noyaux d'atomes. Son intensité est très faible et elle est de portée finie. L'interaction faible est véhiculée par trois particules massives, deux chargées, les $ W^+ $ et $ W^- $ et une neutre, le $ Z $.

\paragraph{L'interaction gravitationnelle} Il s'agit d'une interaction qui s'exerce sur toutes les particules (plus particulièrement sur la densité de masse $ \rho $ ou sur la densité d'énergie $ \epsilon $, avec $ \epsilon=\rho\,c^2 $, où $ c $ est la vitesse maximale de propagation de l'information dans le vide). Son intensité est extrêmement faible, mais elle est de portée infinie ce qui en fait l'interaction dominante aux échelles cosmologiques. Elle n'est cependant pas décrite par le modèle standard de la physique de particules. L'interaction gravitationnelle serait véhiculée par une particule hypothétique, le graviton.\\

Nous pouvons comparer l'intensité des quatre interactions fondamentales avec leur constante de couplage : $ (\alpha_{forte}\approx0.118)>(\alpha_{EM}\approx\frac{1}{137})>(\alpha_{faible}\lessapprox10^{-5})>(\alpha_{grav.}\approx10^{-40}) $.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccc}

      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \includegraphics[height=8.0cm, keepaspectratio]{phd_ms/particules}
      \end{minipage}

      & \hspace{1cm} &

      \begin{minipage}{0.48\textwidth}
        \includegraphics[height=6.0cm, keepaspectratio]{phd_ms/higgs}
      \end{minipage}

      \\

      (a) & & (b)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{zoo}Tableau des particules élémentaires prédites et observées du modèle standard (a). Un boson de Higgs (non observé) (b).}
\end{figure}

Nous définissons par fermions (en hommage à Enrico Fermi) les particules sujettes au principe d'exclusion de Pauli, à savoir, deux fermions ne peuvent occuper simultanément un même état quantique. Il s'agit des quarks et des leptons. Il existe trois générations de fermions. La première, la plus légère en masse, est constituée des quarks \emph{down} et \emph{up} (notés $ d $ et $ u $) puis des électrons (notés $ e $) et des neutrinos électroniques (notés $ \nu_e $) pour les leptons. La seconde est constituée des quarks \emph{strange} et \emph{charmed} (notés $ s $ et $ c $) puis des muons (notés $ \mu $) et des neutrinos muoniques (notés $ \nu_\mu $) pour les leptons. Et enfin la troisième, la plus lourde en masse, est constituée des quarks \emph{bottom} et \emph{top} (notés $ b $ et $ t $) puis des taus (notés $ \tau $) et des neutrinos tauiques (notés $ \nu_\tau $) pour les leptons. La matière ordinaire est uniquement constituée des fermions de la première génération, car ils sont stables.\\

Nous définissons par bosons (en hommage à Satyendranath Bose) les particules qui véhiculent les interactions. Nous avons déjà présenté le photon $ \gamma $, les huit gluons $ g $, les bosons $ W^\pm $, le boson $ Z $ et le graviton. Il reste à présenter une particule, le boson de Higgs (en hommage à Peter Ware Higgs). Il n'a pas encore été observé, mais constitu un pilier du modèle standard de la physique des particules. Son existence permettrait d'expliquer l'origine de la masse des particules.\\

Il faut encore préciser qu'à chaque particule est associée une antiparticule qui a des nombres quantiques opposés (charge, nombre leptonique et baryonique, saveur, isospin, etc\dots), mais qui conserve la même masse et le même spin. Certaines particules, comme le photon, sont leurs propres antiparticules.\\

La figure \ref{zoo} montre l'ensemble des particules du modèle standard de la physique des particules. Sont également indiqués la masse, la charge électrique et le spin.\\

Dans la suite de ce chapitre, nous allons réaliser une dérivation mathématique du modèle standard de la physique des particules afin de donner quelques éléments de phénoménologie. Ensuite, nous donnerons un bref aperçu de l'état des lieux de la recherche du boson de Higgs.

\newpage

\section{Le lagrangien du modèle standard}

Cette section est consacrée à la construction mathématique de la théorie du modèle standard de la physique des particules. Dans un premier temps, nous allons introduire la théorie lagrangienne des champs qui offre un cadre un naturel et polyvalent. Puis nous allons voir comment la notion de bosons et de fermions apparaît directement à partir de considérations simples de théorie des groupes. Ensuite, nous introduirons le concept central de champs de jauge ce qui permettra la construction de l'électrodynamique quantique, de la chromodynamique quantique et enfin de l'interaction électrofaible. Finalement, nous décrirons le modèle de Higgs qui permet d'expliquer l'origine des masses des particules. Le lecteur pourra se reporter à \cite{Aitchison1}\cite{Aitchison2} pour une dérivation et une interprétation plus approfondie du modèle standard de la physique des particules.

\subsection{Théorie lagrangienne des champs}

\subsubsection{Coordonnées généralisées}

En mécanique, on emploie la notion de \emph{particule} ou \emph{point matériel}, c'est-à-dire d'objet d'extension spatiale infiniment petite auquel est associé différentes propriétés intrinsèques comme la masse, la charge électrique, etc\dots\\

Le mouvement d'une particule est identifié par son \emph{vecteur de position} (tenseur de rang 1) noté $ \vec r $ et de coordonnées $ r^i $. La \emph{vitesse} d'une particule est définie par :
\begin{displaymath}
  \vec v\equiv\dot{\vec r}\equiv\frac{d\vec r}{dt}
\end{displaymath}

Pour déterminer la position de $ N $ particules dans un espace de dimension $ d $, il faut connaître $ N $ vecteurs positions soit $ d\times N $ coordonnées. 

\newtheorem*{th2_1}{Définition}
\begin{th2_1}
  En présence de $ k $ contraintes particulières, on dit que le système possède $ d\times N-k $ \emph{degrés de liberté} (DDL).
\end{th2_1}

\newtheorem*{th2_2}{Définition}
\begin{th2_2}
  Un système qui possède $ n $ degrés de liberté possède $ n $ \emph{coordonnées généralisées} $ q^i $ ($ i=1,\dots,n $) qui caractérisent complètement la position et $ n $ \emph{vitesses généralisées} $ \dot q^i=\frac{dq^i}{dt} $.
\end{th2_2}

\begin{figure}[!ht]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.3]{phd_ms/meca1}
\end{figure}

\textbf{Exemples} :
\begin{itemize}
  \item Un pendule plan, 1 DDL suivant $ \vec u_\theta $ : $ \{q^1=\theta\} $,  $ \{\dot q^1=r\dot\theta\} $.
  \item Un skieur, 2 DDL suivant $ \vec u_x $ et $ \vec u_y $ : $ \{q^1=x $, $ q^2=y\} $,\\$ \phantom{zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz}\{\dot q^1=\dot x $, $ \dot q^2=\dot y\} $.
\end{itemize}

\newpage

\subsubsection{Principe de moindre action et lagrangien}

La formulation la plus générale des lois du mouvement est celle du principe de moindre action où le contenu physique est caractérisé par une fonction scalaire appelée lagrangien (noté $ L $). Comme l'univers est homogène et isotrope et que les lois de la physique ne changent pas au cours du temps, le lagrangien ne dépend que de la position $ q^i $ et de sa dérivée $ \dot q^i $ :
\begin{displaymath}
  L\left(q^1,\dots,q^n;\dot q^1,\dots,\dot q^n\right)\equiv L\left(q^i,\dot q^i\right)
\end{displaymath}

On suppose qu'aux instants $ t=t_1 $ et $ t=t_2 $ le système occupe des positions connues caractérisées par les vecteurs de position $ q^i(t_1) $ et $ q^i(t_2) $.

\newtheorem*{th2_3}{Définition}
\begin{th2_3}
  On appelle \emph{action lagrangienne} la fonctionnelle définie telle que :
  \begin{equation}
    \boxed{S\equiv\int_{t_1}^{t_2}dt\,L\left(q^i,\dot q^i\right)}
  \end{equation}
\end{th2_3}

\newtheorem*{th2_4}{Principe de moindre action}
\begin{th2_4}
  Entre les deux positions $ q^i(t_1) $ et $ q^i(t_2) $, le système se meut de façon à ce que l'action $ S $ soit extrémale\footnote{Ici par extrémale, il faut entendre la plus grande possible.}.
\end{th2_4}

\subsubsection{Equations d'Euler-Lagrange}

\indent Soit $ S $ l'action d'une particule le long d'une trajectoire physique (trait plein).\\
\indent Soit $ S' $ une action telle que $ S'=S+\delta S $ (trait pointillé).\\
\begin{figure}[!ht]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.15]{phd_ms/meca2}
\end{figure}

Pour que $ S $ et $ S' $ coïncident il faut : $ \delta S=0 $ :
\begin{eqnarray*}
  \delta S & = & \delta\int_{t_1}^{t_2}L\left(q^i,\dot q^i\right)dt \\
           & = & \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta\dot q_i\right)dt\\
           & = & \underbrace{\left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i\right]_{t_1}^{t_2}}_0-\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i-\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i\right)dt\\
           & = & \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)\delta q_i\,dt=0
\end{eqnarray*}

$ \forall\,\delta q_i $, $ t_1 $, $ t_2 $, $ \delta S=0 $ implique :
\begin{equation}\label{euler_lagrange1}
  \boxed{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0}
\end{equation}\\

Ce sont les équations d'Euler-Lagrange, elles permettent de déterminer les équations du mouvement d'un système quelconque.

\newpage

Observons l'équation \ref{euler_lagrange1}, elle contient $ n $ équations différentielles d'ordre deux en $ q^i $ ($ i=1,\dots,n $). De telles équations s'intègrent et donnent des solutions uniques pour des conditions initiales $ q^i(t_0=0) $ et $ \dot q^i(t_0=0) $ connues.

\newtheorem*{th2_5}{Définition}
\begin{th2_5}
  On appelle \emph{moment conjugué} à $ q^i $ la quantité :
  \begin{equation}
    \boxed{p^i\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}}
  \end{equation}
\end{th2_5}

\newtheorem*{th2_6}{Définition}
\begin{th2_6}
  On appelle \emph{force} la quantité :
  \begin{equation}
    \boxed{F^i\equiv\frac{\partial L}{\partial q_i}}
  \end{equation}
\end{th2_6}

Les équations d'Euler-Lagrange peuvent se réécrire :
\begin{equation}
  \boxed{\dot p^i=F^i}
\end{equation}

Une force implique une variation de moment. Sous forme vectorielle, $ \frac{d\vec p}{dt}=\vec F $, les équations d'Euler-Lagrange sont appelées équations de Newton.\\

Une difficulté apparaît, la dimension de temps est traitée différemment des dimensions d'espace. C'est pourquoi, il est préférable de décrire les particules en terme de champs, grandeurs définies en tout point de l'espace-temps, plutôt qu'en terme d'entités ponctuelles :
\begin{equation}
  \begin{array}{l}
    q^i(t)\rightarrow\phi(q^\alpha)\\
    \\
    \dot q^i(t)\rightarrow\partial_\mu\phi(q^\alpha)
  \end{array}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
  S & = & \int_{t_1}^{t_2}dt\,\underbrace{L\left(q^i,\dot q^i\right)}_{\int d^3x\,\mathcal{L}\left(\phi(q^i,t),\partial_\mu\phi(q^i,t)\right)}\nonumber\\
    & \equiv & \int d^4x\,\mathcal{L}\left(\phi(q^i,t),\partial_\mu\phi(q^i,t)\right)
\end{eqnarray}

\noindent où $ \mathcal{L} $ est appelé densité de lagrangien (simplement lagrangien par la suite). Par application du principe de moindre action, nous obtenons :
\begin{eqnarray*}
  \delta S & = & \delta\int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}\left(\phi(q^\alpha),\partial_\mu\phi(q^\alpha)\right)d^4x \\
           & = & \int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\phi\right)}\delta\left(\partial_\mu\phi\right)\right)d^4x\\
           & = & \underbrace{\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\phi\right)}\delta\phi\right]_{t_1}^{t_2}}_0-\int_{t_1}^{t_2}\left(\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\phi\right)}\delta\phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi\right)d^4x\\
           & = & \int_{t_1}^{t_2}\left(\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\phi\right)}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\right)\delta\phi\,d^4x=0
\end{eqnarray*}

$ \forall\,\delta\phi $, $ t_1 $, $ t_2 $, $ \delta S=0 $ implique :
\begin{equation}\label{euler_lagrange2}
  \boxed{\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\phi\right)}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0}
\end{equation}\\

Ce sont les équations de champ d'Euler-Lagrange, elles permettent de déterminer les équations de champ d'un système quelconque.

\newpage

\subsection{Scalaires et spineurs}

Les symétries d'espace utilisées en théorie quantique des champs pour construire le modèle standard de la physique des particules sont celles de la relativité restreinte. Elles forment le groupe de Poincaré qui est un groupe de Lie non compact à 10 dimensions constitué des sous-groupes suivants : le groupe abélien des translations dans le temps (un générateur $ P^0 = H $) et l'espace (trois générateurs $ P^i $), le groupe des rotations d'espace (trois générateurs $ J^i $) et enfin le groupe des boosts de Lorentz (trois générateurs $ K^i $). Il est possible de former un nouveau générateur $ J^{\mu\nu} $ tel que $ J^i=\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}J_{jk} $ et $ K^i=J^{0i} $ qui satisfait à l'algèbre de Lie $ SO(3,1) $ :
\begin{displaymath}
  \begin{array}{cc}
    J^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}
      0 & K_x & K_y & K_z \\
      -K_x & 0 & J_z & -J_y \\
      -K_y & -J_z & 0 & J_x \\
      -K_z & J_y & -J_x & 0 \\
    \end{array}\right)
  &
    \begin{array}{l}
      \left[P^\mu,P^\nu\right]=0 \\
      \left[J^{\mu\nu},P^\rho\right]=i(\eta^{\nu\rho}P^\mu-\eta^{\mu\rho}P^\nu) \\
      \left[J^{\mu\nu},J^{\rho\sigma}\right]=i(\eta^{\nu\rho}J^{\mu\sigma}-\eta^{\mu\rho}J^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}J^{\nu\rho}-\eta^{\nu\sigma}J^{\mu\rho})\\
    \end{array}
  \end{array}
\end{displaymath}

En introduisant $ \vec J_+=\frac{1}{2}(\vec J+i\vec K) $ et $ \vec J_-=\frac{1}{2}(\vec J-i\vec K) $, les relations de commutation se découplent pour donner :
\begin{displaymath}
  \left[J^i_+,J^j_+\right]=i\,\varepsilon^{ijk}J_{+k}\hspace{0.33cm};\hspace{0.33cm}\left[J^i_-,J^j_-\right]=i\,\varepsilon^{ijk}J_{-k}\hspace{0.33cm};\hspace{0.33cm}\left[J^i_+,J^j_-\right]=0\hspace{0.33cm}\Rightarrow\hspace{0.33cm}2\times\bar2
\end{displaymath}

Nous reconnaissons les commutateurs du groupe $ SU(2) $. Les représentations irréductibles du groupe de Lorentz correspondent au couple $ (j_+,j_-) $ de dimension $ (2j_++1)(2j_-+1) $ où les valeurs propres de $ J^2_\pm $ sont $ j_\pm(j_\pm+1) $. Elles conduisent aux définitions des \emph{scalaires} et des \emph{spineurs} : $ (0,0) $ représente un scalaire noté $ \phi $, $ (\frac{1}{2},0) $ représente un \emph{spineur de Weyl} sans point sur l'indice $ \alpha $ et noté $ \xi_\alpha $ $ (\alpha=1,2) $, enfin, $ (0,\frac{1}{2}) $ représente un \emph{spineur} de \emph{Weyl} avec point sur l'indice $ \alpha $ et noté $ \bar\xi_{\dot\alpha} $ $ (\dot\alpha=1,2) $. Les scalaires (notés $ \phi $) sont associés aux bosons et commutent (équation \ref{scalaire_commutation}). Les spineurs de Weyl (notés $ \xi $ et $ \chi $) sont associés aux fermions et anticommutent (équation \ref{spineur_commutation}).

\begin{equation}\label{scalaire_commutation}
  \left[\phi_1,\phi_2\right]=0\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\left[\phi^\dag_1,\phi^\dag_2\right]=0
\end{equation}
\begin{equation}\label{spineur_commutation}
  \left\{\xi^\alpha,\chi^\beta\right\}=0\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\left\{\bar\xi^{\dot\alpha},\bar\chi^{\dot\beta}\right\}=0
\end{equation}

\subsection{Champs scalaires (spin $ 0 $)}

Les champs scalaires permettent de décrire les particules sans spin (par exemple les pions neutres ou bien les sleptons en supersymétrie). Le lagrangien ne peut dépendre que du champ et de ses dérivées. Il doit être invariant relativiste et hermitien. Les quantités $ \phi^2 $ et $ \partial_\mu\phi\partial^\mu\phi $ sont respectivement de bons candidats comme lagrangien de masse et comme lagrangien cinétique :
\begin{equation}\label{lagrangien_scalaire}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{masse}\propto m\phi^2}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\boxed{\mathcal{L}_\mathrm{cin\acute{e}tique}\propto\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi}
\end{equation}

\subsection{Champs vecteurs (spin $ 1 $)}

Nous verrons que les champs vecteurs permettent de décrire les bosons de jauge qui véhiculent les interactions. De même que pour le champ scalaire, le lagrangien ne peut dépendre que du champ et de ses dérivées. Il doit être invariant relativiste et hermitien. Les quantités $ \partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu $ et $ \partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu $ sont de bons candidats. En introduisant le tenseur de Faraday $ F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu $, le lagrangien peut s'écrire :
\begin{displaymath}\label{lagrangien_vecteur}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{cin\acute{e}tique}\propto\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu=\frac{1}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}
\end{displaymath}

\newpage

\subsection{Champs spineurs (spin $ \frac{1}{2} $)}

Nous verrons que les champs spineurs permettent de décrire les fermions, c'est-à-dire les particules qui constituent la matière et qui satisfont au principe d'exclusion de Pauli.

\subsubsection{Lagrangien de masse}

Cherchons comment se transforme un spineur sous une transformation de Lorentz :
\begin{equation}
  \xi_\alpha\to\xi^{'}_\alpha=(M)^{\ \beta}_\alpha\xi_\beta\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\xi^\alpha\to\xi^{'\alpha}=(M^{-1})^{T\alpha}_{\ \ \beta}\xi^\beta
\end{equation}
\begin{equation}
  \bar\eta_{\dot\alpha}\to\bar\eta^{'}_{\dot\alpha}=(N)^{\ \dot\beta}_{\dot\alpha}\bar\eta_{\dot\beta}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\eta^{\dot\alpha}\to\bar\eta^{'\dot\alpha}=(N^{-1})^{T\dot\alpha}_{\ \ \dot\beta}\bar\eta^{\dot\beta}
\end{equation}

Au premier ordre, $ M(\vec\theta,\vec\beta)=\bbone_2-i\frac{\vec\sigma}{2}.\vec\theta-\frac{\vec\sigma}{2}.\vec\beta $, $ N=M^* $ où $ \vec\sigma $ représente les \emph{matrices de Pauli}. Remarquant que $ i\sigma^2=\varepsilon $ $ (\varepsilon^{12}=-\varepsilon^{21}=1) $, on montre simplement que $ (M^{-1})^T=(i\sigma^2)M(i\sigma^2)^T $. Il vient que le tenseur de Levi-Civita sert à monter ou descendre des indices des spineurs de Weyl. Il en découle directement les égalités suivantes :
\begin{equation}
  \varepsilon^{\alpha\beta}=\varepsilon^{\dot\alpha\dot\beta}=-\varepsilon^{\beta\alpha}=-\varepsilon^{\dot\beta\dot\alpha}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\varepsilon^{\alpha\beta}=\varepsilon^{\dot\alpha\dot\beta}=-\varepsilon_{\beta\alpha}=-\varepsilon_{\dot\beta\dot\alpha}
\end{equation}
\begin{equation}
  \boxed{\xi^\alpha=\varepsilon^{\alpha\beta}\xi_\beta\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\eta^{\dot\alpha}=\varepsilon^{\dot\alpha\dot\beta}\bar\eta_{\dot\beta}}
\end{equation}
\begin{equation}
  \bar\eta_{\dot\alpha}=\left(\eta_\alpha\right)^*\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\eta^{\dot\alpha}=\left(\eta^\alpha\right)^*
\end{equation}
\begin{equation}
  \chi\xi=\chi^\alpha\xi_\alpha=\varepsilon^{\alpha\beta}\chi_\beta\xi_\alpha=-\varepsilon^{\beta\alpha}\chi_\beta\xi_\alpha=\varepsilon^{\beta\alpha}\xi_\alpha\chi_\beta=\xi\chi
\end{equation}
\begin{equation}
  \bar\chi\bar\xi=\bar\xi\bar\chi
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(\chi\xi\right)^\dag=\left(\chi^\alpha\xi_\alpha\right)^\dag=\bar\xi_{\dot\alpha}\bar\chi^{\dot\alpha}=\bar\chi_{\dot\alpha}\bar\xi^{\dot\alpha}=\bar\chi\bar\xi
\end{equation}

Comme $ \chi\xi+\bar\chi\bar\xi $ est invariant relativiste et hermitien, il est un bon candidat comme terme de masse dans un lagrangien :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{masse}\propto m\left(\chi\xi+\bar\chi\bar\xi\right)}
\end{equation}

\subsubsection{Lagrangien cinétique}

Introduisons les vecteurs et tenseurs formés à partir des matrices de Pauli :
\begin{equation}
  \left(\sigma^\mu\right)_{\alpha\dot\beta}=\left(\bbone_2;+\sigma^i\right)_{\alpha\dot\beta}\hspace{0.33cm}\mathrm{;}\hspace{0.33cm}\left(\bar\sigma^\mu\right)^{\dot\alpha\beta}=\left(\bbone_2;-\sigma^i\right)^{\dot\alpha\beta}
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(\sigma^{\mu\nu}\right)^{\ \beta}_\alpha=\frac{1}{4}\left[\left(\sigma^\mu\right)_{\alpha\dot\alpha}\left(\bar\sigma^\nu\right)^{\dot\alpha\beta}-\left(\sigma^\nu\right)_{\alpha\dot\alpha}\left(\bar\sigma^\mu\right)^{\dot\alpha\beta}\right]
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(\bar\sigma^{\mu\nu}\right)^{\dot\alpha}_{\ \dot\beta}=\frac{1}{4}\left[\left(\bar\sigma^\mu\right)^{\dot\alpha\alpha}\left(\sigma^\nu\right)_{\alpha\dot\beta}-\left(\bar\sigma^\nu\right)^{\dot\alpha\alpha}\left(\sigma^\mu\right)_{\alpha\dot\beta}\right]
\end{equation}
L'opérateur formé de la contraction de l'impulsion avec les matrices de Pauli $ \left\{p_\mu\propto i\partial_\mu\right\}\sigma^\mu $ est naturellement hermitien car $ p_\mu $ est hermitien et $ \sigma_\mu $ est hermitien. De plus, il est invariant relativiste et se transforme de la façon suivante : $ p'_\mu\sigma^\mu=M\,p_u\sigma^\mu M^\dag $ soit encore avec les indices $ p'_\mu\left(\sigma^\mu\right)_{\alpha\dot\alpha}=(M)^{\ \beta}_\alpha(M)^{\ \dot\beta}_{\dot\alpha}\,p_u\left(\sigma^\mu\right)_{\beta\dot\beta} $. On montre également, de façon immédiate, que :
\begin{equation}
  \left(\chi\sigma^\mu\bar\xi\right)^\dag=\xi\sigma^\mu\bar\chi
\end{equation}

Comme $ \chi\sigma_\mu\partial^\mu\bar\xi $ est invariant relativiste et hermitien, il est un bon candidat comme terme cinétique dans un lagrangien :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{cin\acute{e}tique}\propto i\chi\sigma_\mu\partial^\mu\bar\xi+\mathrm{h.c.}}
\end{equation}

Remarque : Si on pose $ \theta^i=\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}\theta_{jk} $ et $ \beta^i=\theta^{i0} $ alors $ M(\vec\theta,\vec\beta)=\exp\left(-\frac{i}{2}S_{\mu\nu}\theta^{\mu\nu}\right)\approx\bbone_2-i\frac{\vec\sigma}{2}.\vec\theta-\frac{\vec\sigma}{2}.\vec\beta $ et $ S^{\mu\nu}=i\sigma^{\mu\nu} $ pour la représentation $ (\frac{1}{2},0) $, $ S^{\mu\nu}=i\bar\sigma^{\mu\nu} $ pour la représentation $ (0,\frac{1}{2}) $.\\

On montre aussi les égalités suivantes :
\begin{equation}
  \chi\sigma^{\mu\nu}\xi=-\xi\sigma^{\mu\nu}\chi\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\chi\bar\sigma^{\mu\nu}\bar\xi=-\bar\xi\bar\sigma^{\mu\nu}\bar\chi
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(\chi\sigma^{\mu\nu}\xi\right)^\dag=\bar\chi\bar\sigma^{\mu\nu}\bar\xi
\end{equation}
et
\begin{equation}
  \sigma^\mu\bar\sigma^\nu+\sigma^\mu\bar\sigma^\nu=2g^{\mu\nu}
\end{equation}
\begin{equation}
  \bar\sigma^\mu\sigma^\nu+\bar\sigma^\mu\sigma^\nu=2g^{\mu\nu}
\end{equation}

\subsubsection{Matrices de Dirac}

Les particules physiques seront représentées par un bispineur formé de deux spineurs de Weyl, l'un de la représentation $ (\frac{1}{2},0) $ et l'autre de la représentation $ (0,\frac{1}{2}) $ :
\begin{equation}
  \Psi=\left(\begin{array}{c}
    \chi_\alpha \\
    \bar\eta^{\dag\dot a} \\
  \end{array}\right)
  \hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}
  \bar\Psi=\left(\begin{array}{cc}
    \chi^\alpha & \bar\eta^\dag_{\dot a} \\
  \end{array}\right)\equiv\Psi^\dag\gamma^0
\end{equation}

On introduit alors les matrices de Dirac dans la représentation de Weyl :
\begin{equation}
  \gamma^\mu=\left(\begin{array}{cc} 0 & \left(\sigma^\mu\right)_{\alpha\dot\beta} \\ \left(\bar\sigma^\mu\right)^{\dot\alpha\beta} & 0 \\ \end{array}\right)\hspace{0.33cm};\hspace{0.33cm}\gamma^5=\frac{i}{2!}\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta=\left(\begin{array}{cc} -\bbone_2 & 0 \\ 0 & +\bbone_2 \\ \end{array}\right)
\end{equation}%=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3
\begin{equation}
  \sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma^\mu,\gamma^\nu\right]=2i\left(\begin{array}{cc} \left(\sigma^{\mu\nu}\right)^{\ \beta}_\alpha & 0 \\ 0 & \left(\bar\sigma^{\mu\nu}\right)^{\dot\alpha}_{\ \dot\beta} \\ \end{array}\right)
\end{equation}

Les matrices de Dirac satisfont à l'algèbre de Clifford, en effet, l'anticommutateur de deux matrices $ \gamma $ donne : $ \left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu} $. Il est possible de réécrire les lagrangiens précédents en utilisant des bispineurs :
\begin{equation}\label{lagrangien_spineur}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{masse}\propto m\bar\Psi\Psi}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\boxed{\mathcal{L}_\mathrm{cin\acute{e}tique}\propto i\bar\Psi\gamma_\mu\partial^\mu\Psi\equiv i\bar\Psi\slashed\partial\Psi\equiv i\partial_\mu j^\mu}
\end{equation}

\noindent où $ j^\mu $ s'interprète comme une densité de courant fermionique.

\subsubsection{Projecteurs}

Introduisons les opérateurs suivants formés à partir de la matrice $ \gamma^5 $:
\begin{equation}\label{projecteurs}
  P_L=\frac{1-\gamma^5}{2}=\left(\begin{array}{cc} \bbone_2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right)\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}P_R=\frac{1+\gamma^5}{2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & \bbone_2 \\ \end{array}\right)
\end{equation}

Ils ont toutes les caractéristiques de projecteurs, en effet, il est immédiat de montrer que $ P^2_{L,R}=P_{L,R} $ et que $ P_L+P_R=\bbone_4 $. Pour un bispineur, ces opérateurs permettent de sélectionner les composantes de chiralité gauche ($ L $) pour $ P_L $ et droite ($ R $) pour $ P_R $. En posant:
\begin{equation}
  \Psi\equiv\left(\begin{array}{c}
    \Psi_L \\
    \Psi_R \\
  \end{array}\right)
\end{equation}

\noindent il vient alors :
\begin{equation}
  \boxed{\Psi_L=P_L\Psi\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\Psi_R=P_R\Psi}
\end{equation}

\newpage

\subsection{Transformations de jauge}

La notion d'invariance de jauge fut introduite en 1929 par Hermann Weyl dans une tentative d'unification de l'électromagnétisme et de la gravitation. Ce fut un échec, mais l'idée fut reprise par Paul Dirac puis généralisée par Chen Ning Yang et Robert Mills. Plus tard, les théories de jauge permirent la construction du modèle standard.

\subsubsection{Invariance de jauge locale abélienne}

Afin d'illustrer le concept d'invariance de jauge locale abélienne, nous partons du lagrangien d'une particule fermionique (équation \ref{lagrangien_spineur}). Il est simple de montrer que ce lagrangien reste invariant par une transformation de phase appliquée sur les champs fermioniques :
\begin{equation}
  \Psi(x)\rightarrow\Psi'(x)=e^{-ig\chi}\Psi(x)\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}\bar\Psi(x)\rightarrow\bar\Psi'(x)=e^{+ig\chi}\bar\Psi(x)\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\Psi(x)\Psi(x)=\bbone
\end{equation}

\noindent avec $ g $ une constante de couplage et $ \chi $ une constante arbitraire, d'où :
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L'}&=&e^{+ig\chi}\bar\Psi(x)\left(i\slashed\partial-m\right)e^{-ig\chi}\Psi(x)\nonumber\\
                                    &=&\underbrace{e^{+ig\chi}e^{-ig\chi}}_{\bbone}\bar\Psi(x)\left(i\slashed\partial-m\right)\Psi(x)=\mathcal{L}\nonumber
\end{eqnarray}

On dit que le lagrangien $ \mathcal{L} $ est invariant par transformation de \emph{jauge globale}. Qu'en est-il si le paramètre $ \chi $ est une fonction des coordonnées :
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L'}&=&e^{+ig\chi(x)}\bar\Psi(x)\left(i\slashed\partial-m\right)e^{-ig\chi(x)}\Psi(x)\nonumber\\
                                    &=&e^{+ig\chi(x)}\bar\Psi(x)\left(i\slashed\partial e^{-ig\chi(x)}\right)\Psi(x)+\mathcal{L}\neq\mathcal{L}\nonumber
\end{eqnarray}

On dit que le lagrangien $ \mathcal{L} $ n'est pas invariant par transformation de \emph{jauge locale}. Afin d'y remédier, modifions-le en utilisant la nouvelle dérivée :
\begin{equation}
  \boxed{D_\mu\equiv\partial_\mu+igA_\mu(x)}
\end{equation}

\noindent à la place de $ \partial_\mu $ où $ A_\mu $ est un champ dit de jauge. $ D_\mu $ est appelé \emph{dérivée covariante}. L'objectif est d'absorber le terme $ i\slashed\partial e^{-ig\chi(x)} $. Il suffit alors d'imposer les transformations suivantes:
\begin{equation}
  \Psi(x)\rightarrow e^{-ig\chi(x)}\Psi(x)
\end{equation}
\begin{equation}
  D_\mu(x)\rightarrow e^{-ig\chi(x)}D_\mu(x)
\end{equation}
\begin{equation}\label{jauge_photon}
  A_\mu(x)\rightarrow A_\mu(x)+\frac{1}{g}\partial_\mu\chi(x)
\end{equation}

Vérifions que le lagrangien d'un boson jauge vecteur (équation \ref{lagrangien_vecteur}) reste invariant par la transformation de jauge ci-dessus (équation \ref{jauge_photon}):
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L'}&=&F'_{\mu\nu}F'^{\mu\nu}\nonumber\\
                                    &=&\left[D_\mu(A_\nu(x)+\partial_\nu\chi(x))-D_\nu(A_\mu(x)+\partial_\mu\chi(x))\right]^2\nonumber\\
                                    &=&\left[\underbrace{\partial_\mu A_\nu(x)-\partial_\nu A_\mu(x)}_{F_{\mu\nu}}+\underbrace{\partial_\mu\partial_\nu\chi(x)-\partial_\nu\partial_\mu\chi(x)}_{0}\right]^2=\mathcal{L}\nonumber
\end{eqnarray}

Nous avons finalement :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}\propto\bar\Psi\left(i\slashed D-m\right)\Psi=\bar\Psi\left(i\slashed\partial-m\right)\Psi-g\bar\Psi\slashed A\Psi}
\end{equation}

Il apparaît alors un terme d'interaction entre-deux fermions via $ \Psi $ et $ \bar\Psi $ et un boson de jauge via $ A^\mu $. Ce dernier est forcément de masse nulle car l'ajout d'un terme de masse $ m^2A_\mu A^\mu $ briserait l'invariance de jauge du lagrangien. Nous verrons ultérieurement que ce modèle simple permet la description de l'interaction électromagnétique.

\subsubsection{Invariance de jauge locale non abélienne}

Soit $ U $ un groupe Lie (unitaire et continu) quelconque de dimension finie $ dim(U) $. Le champ fermionique se transforme par $ U $ comme précédemment :
\begin{equation}
  \Psi(x)\rightarrow\Psi'(x)=U(x)\Psi(x)\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}\bar\Psi(x)\rightarrow\bar\Psi'(x)=\bar\Psi(x)U^\dag(x)\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\bar\Psi(x)\Psi(x)=\bbone
\end{equation}

L'opérateur $ U $ peut s'exprimer de la façon suivante :
\begin{equation}
  U(x)=\exp\left(-ig\sum^{dim(U)}_{a=1}\chi_a(x)T^a\right)\equiv\exp\left(-ig\vec\chi(x).\vec T\right)\equiv\exp\left(-ig\chi(x)\right)
\end{equation}

\noindent où $ g $ représente une constante de couplage, $ \chi_a(x) $ représente les coordonnées du groupe et $ T_a $ représente les générateurs du groupe avec $ a=1\ldots dim(U) $. Le commutateur des générateurs permet de faire apparaître les coefficients de structure du groupe $ C^{\ \ c}_{ab} $ qui satisfont à la relation de Jacobi :
\begin{equation}
  \left[T_a,T_b\right]=iC^{\ \ c}_{ab}\,T_c\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}C^{\ \ c}_{ab}=-C^{\ \ c}_{ba}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}C^{\ \ a}_{mn}C^{\ \ b}_{ap}+C^{\ \ a}_{np}C^{\ \ b}_{am}+C^{\ \ a}_{pm}C^{\ \ b}_{an}=0
\end{equation}

Le lagrangien (équation \ref{lagrangien_spineur}) est invariant de jauge locale non abélienne si nous le modifions en utilisant la nouvelle dérivée :
\begin{equation}
  \boxed{D_\mu\equiv\partial_\mu+igW^a_\mu(x)T_a\equiv\partial_\mu+ig\vec W_\mu(x).\vec T\equiv\partial_\mu+igW_\mu(x)}
\end{equation}

\noindent à la place de $ \partial_\mu $ où $ W^a_\mu $ est un vecteur de champs dit de jauge. $ D_\mu $ est appelé \emph{dérivée covariante}. Il suffit alors d'imposer les transformations suivantes:
\begin{equation}
  \Psi(x)\rightarrow e^{-ig\vec\chi(x).\vec T}\Psi(x)
\end{equation}
\begin{equation}
  D_\mu(x)\rightarrow e^{-ig\vec\chi(x).\vec T}D_\mu(x)
\end{equation}
\begin{equation}
  A_\mu(x)\rightarrow A_\mu(x)+\frac{1}{g}\partial_\mu\vec\chi(x).\vec T
\end{equation}

Nous avons finalement :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}\propto\bar\Psi\left(i\slashed D-m\right)\Psi=\bar\Psi\left(i\slashed\partial-m\right)\Psi-g\sum^{dim(U)}_{a=0}\bar\Psi\slashed W_aT^a\Psi}
\end{equation}

Le tenseur de Faraday qui intervient dans le lagrangien d'une particule vecteur (équation \ref{lagrangien_vecteur}) prend une forme plus compliquée :
\begin{eqnarray}
  F_{\mu\nu} & = & D_\mu W_\nu-D_\nu W_\mu\nonumber\\
             & = & \left(\partial_\mu+igW_\mu\right)W_\nu-\left(\partial_\nu+igW_\nu\right)W_\mu\nonumber\\
             & = & (\partial_\mu W_\nu-\partial_\nu W_\mu)+ig\left[W_\mu,W_\nu\right]\nonumber
\end{eqnarray}

\noindent soit encore :
\begin{equation}\label{tenseur_faraday_non_abelien}
  \boxed{F^a_{\mu\nu}=(\partial_\mu W^a_\nu-\partial_\nu W^a_\mu)-gC^{\ \ a}_{bc}W^b_\mu W^c_\nu}
\end{equation}\\

Ces résultats, découverts dans les années 1950, sont connus sous le nom de \emph{théorie de Yang-Mills}. Les principales conséquences sont : i) le nombre de bosons de jauge est la dimension du groupe de jauge. ii) Contrairement à la théorie de jauge abélienne, la théorie de jauge non abélienne autorise le couplage des bosons de jauge entre eux (équation \ref{tenseur_faraday_non_abelien}).

\newpage

\subsection{Électrodynamique quantique}

L'électrodynamique quantique (QED) est la première théorie quantique des champs vérifiée expérimentalement. Son développement fut initié par Paul Dirac en 1927. Son premier grand succès fut la découverte du positron en 1932 par Carl David Anderson. Richard Feynman la qualifiait de \og\,bijou de la physique \fg.

Les équations de Maxwell, publiées dans leur forme définitive en 1873, ont enseigné que la lumière et l'électromagnétisme sont étroitement liés et qu'une transformation de jauge du potentiel vecteur $ A_\mu=(\phi,A_i) $ similaire à celle de l'équation \ref{jauge_photon} laisse invariants les résultats physiques. Il est simple de montrer que les équations de Maxwell sans source peuvent être dérivées à partir du lagrangien d'un champ vecteur (équation \ref{lagrangien_vecteur}). L'expérience a montré qu'il existe trois générations de fermions chargés appelés \emph{leptons}. Ils correspondent respectivement aux électrons ($ e $), aux muons ($ \mu $) et aux taus ($ \tau $), ils ont une charge électrique élémentaire $ q=-e\approx-1,6\times10^{-19} C $ et sont tels que $ m_e=0.510998910\pm0.000000013\MeV < m_\mu=105.658367\pm0.000004\MeV < m_\tau=1776.82\pm0.16\MeV $. Avec les leptons, les composantes \og sources \fg\ des équations de Maxwell peuvent être dérivées à partir du lagrangien d'un champ spineur (équation \ref{lagrangien_spineur}). Au final le lagrangien QED est :
\begin{equation}\label{lagrangien_qed}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{QED}=\left[\sum_{l=e,\mu,\tau}\bar l\left(i\slashed\partial-m_l\right)l-e\,\bar l\slashed A l\right]-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}
\end{equation}

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

  \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{qed_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$e^-$}{i1}
        \fmflabel{$e^+$}{i2}
        \fmflabel{$\gamma$}{o1}
        \fmflabel{$-ie\gamma_\mu\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{qed_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$\mu^-$}{i1}
        \fmflabel{$\mu^+$}{i2}
        \fmflabel{$\gamma$}{o1}
        \fmflabel{$-ie\gamma_\mu\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{qed_graph3}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$\tau^-$}{i1}
        \fmflabel{$\tau^+$}{i2}
        \fmflabel{$\gamma$}{o1}
        \fmflabel{$-ie\gamma_\mu\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
\end{figure}

Remarque : L'électrodynamique quantique est une théorie renormalisable (voir \cite{Aitchison2} volume II, chapitre 11).

\subsection{Chromodynamique quantique}

La chromodynamique quantique fut proposée en 1973 par Hugh David Politzer, Frank Wilczek et David Gross pour tenter de comprendre la structure des hadrons (baryons et mésons). Les expériences ont montré qu'ils sont composés de \emph{quarks} et qu'ils sont soumis à l'interaction forte. Il est admis qu'il existe six saveurs de quarks réparties en deux familles. La première pour les quarks de charge électrique $ +\frac{2}{3}e $ et la seconde pour les quarks de charge électrique $ -\frac{1}{3}e $. De même que pour les leptons, les quarks sont classés en trois générations : $ \binom{u}{d} $, $ \binom{c}{s} $ et $ \binom{t}{b} $.

De plus, l'expérience montre qu'il existe des baryons constitués de trois quarks de même saveur, citons l'exemple du $ \Delta^{++} $ formé de trois quarks $ u $. Comme cette particule est un fermion, elle doit satisfaire au principe d'exclusion de Pauli qui impose une fonction d'onde antisymétrique. Il fut nécessaire d'introduire un degré quantique supplémentaire : la \emph{couleur}. Un quark est associé à une couleur (rouge, bleu, jaune par exemple) elle-même associée à une représentation fondamentale du groupe $ SU(3)_\mathrm{C} $. Dans la nature, seules des particules non colorées sont observées. Elles sont donc constituées de trois quarks avec trois couleurs différentes (rouge+bleu+jaune=noir) pour les baryons ou bien de deux quarks avec une couleur et sont anti-couleur (rouge+anti-rouge=noir, etc\ldots) pour les mésons. Comme le groupe $ SU(3) $ possède huit générateurs, il existe huit bosons de jauge appelés \emph{gluons}.

Au final le lagrangien QCD est :
\begin{equation}\label{lagrangien_qcd}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{QCD}=\left[\sum_{q=u,d,c,s,t,b}\sum_{\alpha,\beta=r,b,j}\bar q^\alpha_a\left(i\slashed\partial-m_q\right)\delta^\beta_\alpha q^a_\beta-g_s\,\bar q^\alpha_a\slashed G^\beta_\alpha q^a_\beta\right]-\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}F^{\mu\nu}_a}
\end{equation}

\noindent avec $ \slashed G^\beta_\alpha=\gamma_\mu G^\mu_a(\frac{T^a}{2})^\beta_\alpha $ où $ \frac{T^a}{2} $ sont les générateurs de $ SU(3)_\mathrm{C} $ et $ a=1\ldots\left\{dim(SU(3)_\mathrm{C})=8\right\} $. Les gluons changent la couleur des quarks.\\

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

  \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{qcd_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{gluon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$q$}{i1}
        \fmflabel{$\bar q$}{i2}
        \fmflabel{$g$}{o1}
        \fmflabel{$-ig_s\frac{T^a}{2}\gamma_\mu\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{qcd_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{gluon}{i1,v1,i2}
        \fmf{gluon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$g1$}{i1}
        \fmflabel{$g2$}{i2}
        \fmflabel{$g3$}{o1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{qcd_graph3}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{gluon}{i1,v1,i2}
        \fmf{gluon}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$g1$}{i1}
        \fmflabel{$g2$}{i2}
        \fmflabel{$g3$}{o1}
        \fmflabel{$g4$}{o2}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
\end{figure}

Remarque 1 : La chromodynamique quantique est une interaction à portée limitée à cause du confinement des quarks dans les hadrons et de l'effet d'hadronisation\footnote{Du fait de l'importance de l'interaction forte, pour séparer deux quarks, il faut apporter une énergie plus grande que la masse des deux quarks si bien que de nouveaux quarks et de nouveaux états liés sont créés.}. En effet, nous pouvons faire l'analogie avec l'électromagnétisme, cette interaction est de portée infinie tandis que l'interaction électromagnétique de Van der Waals intermoléculaire est de portée finie.\\

Remarque 2 : La chromodynamique quantique est une théorie renormalisable (voir \cite{Aitchison2} volume II, chapitre 15).

\subsection{Interaction électrofaible}

L'histoire de l'interaction faible commence dés 1896 par la découverte de la radioactivité naturelle par Antoine Henri Becquerel. L'existence du neutrino fut postulée pour la première fois en 1930 par Wolfgang Pauli pour expliquer le spectre continu de la désintégration $ \beta^- $ ainsi que l'apparente non-conservation du moment cinétique :
\begin{equation}
  n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e
\end{equation}

Le premier modèle effectif fut élaboré par Enrico Fermi en 1933 pour décrire la radioactivité $ \beta^- $ ainsi que le désintégration $ \beta^+ $ qui venait d'être découverte en 1933, par Irène Curie et Frédéric Joliot, juste après la découverte du neutron en 1932 par James Chadwick.

Par la suite, les expériences ont permis de découvrir un certain nombre de propriétés de l'interaction faible : i) Pour les particules (resp. antiparticules) la composante droite (resp. gauche) n'a pas de charge faible. ii) Pour les particules (resp. antiparticules) la composante gauche (resp. droite) a une charge faible et interagit par paires de particules. iii) Si on introduit la notion d'isospin faible $ I^\mathrm{W} $ dont la troisième composante $ I^\mathrm{W}_3 $ est interprétée comme la charge faible, les particules peuvent être classées en doublets d'isospin faible :
\begin{equation}
  \Psi_1\equiv\binom{\nu_e}{e}_\mathrm{L}\ ;\ \binom{\nu_\mu}{\mu}_\mathrm{L}\ ;\ \binom{\nu_\tau}{\tau}_\mathrm{L} ;\ \binom{u}{d}_\mathrm{L}\ ;\ \binom{s}{c}_\mathrm{L}\ ;\ \binom{t}{b}_\mathrm{L}\hspace{0.33cm}\mathrm{pour}\hspace{0.33cm}\binom{I^\mathrm{W}_3=+\frac{1}{2}}{I^\mathrm{W}_3=-\frac{1}{2}}
\end{equation}

\noindent et en singulets d'isospin faible :
\begin{equation}
  \begin{array}{ccccccccccccc}
    \Psi_2 & \equiv & (\nu_e)_R & ; & (\nu_\mu)_R & ; & (\nu_\tau)_R & ; & (u)_R & ; & (s)_R & ; & (t)_R\hspace{0.33cm}\mathrm{pour}\hspace{0.33cm}(I^\mathrm{W}_3=0)\\
    \Psi_3 & \equiv & (  e  )_R & ; & (  \mu  )_R & ; & (  \tau  )_R & ; & (d)_R & ; & (c)_R & ; & (b)_R\hspace{0.33cm}\mathrm{pour}\hspace{0.33cm}(I^\mathrm{W}_3=0)
  \end{array}
\end{equation}

En 1953, la formule de Gell-Mann-Nishijima fut découverte. Elle introduit un nouveau nombre quantique interne appelé \emph{hypercharge} (notée $ Y $) qui relie la charge électrique à la troisième composante de l'isospin faible :
\begin{equation}
  \boxed{Q=I_3+\frac{1}{2}Y}
\end{equation}

En 1960, le modèle de Glashow, Salam et Weinberg (modèle GSW) fut établi. Il est basé sur le groupe de jauge $ G $ formé du produit direct des groupes de jauge $ SU(2) $ pour l'isospin faible et $ U(1) $ pour l'hypercharge :
\begin{equation}
  \boxed{G=SU(2)_L\times U(1)_Y}
\end{equation}

En posant $ g $, $ g' $, des constantes de couplage, $ Y_j $, une phase d'isospin et $ \frac{\sigma^a}{2} $, les générateurs du groupe $ SU(2) $ où $ \sigma^a $ sont les matrices de Pauli, il est alors possible d'écrire le lagrangien de l'interaction électrofaible :
\begin{eqnarray}\label{lagrangien_electrofaible}
  \mathcal{L}_\mathrm{GSW} & = & \sum^3_{j=1}i\bar\Psi_j\slashed D\Psi^j-\frac{1}{4}W^a_{\mu\nu}W^{\mu\nu}_a-\frac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}\nonumber\\
                           & = & \left[ \sum^3_{j=1}i\bar\Psi_j\slashed\partial\Psi^j-g\bar\Psi_j\frac{\sigma^a}{2}\slashed W_a\Psi^j-g'Y_j\bar\Psi_j\slashed B\Psi^j\right]-\frac{1}{4}W^a_{\mu\nu}W^{\mu\nu}_a-\frac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}
\end{eqnarray}

\subsubsection{Les courants chargés}

Le lagrangien de l'interaction électrofaible (équation \ref{lagrangien_electrofaible}) contient une composante faisant intervenir des courants chargés :
\begin{equation}
  \mathcal{L}_\mathrm{CC}=\frac{g}{2}\bar\Psi_1\gamma^\mu\left(\sigma_1W^1_\mu+\sigma_2W^2_\mu\right)\Psi^1
\end{equation}

Si on introduit les bosons $ W^\pm $ en posant $ W^\pm_\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(W^1_\mu\mp iW^2_\mu\right) $ alors $ \sigma_1W^1_\mu+\sigma_2W^2_\mu=\sqrt{2}\left(\begin{array}{cc}0&W^-_\mu\\W^+_\mu&0\end{array}\right) $, le lagrangien se réécrit :
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}_\mathrm{CC} & = & \frac{g}{\sqrt{2}}\left(\bar f_L\ \bar f'_L\right)\gamma^\mu\left(\begin{array}{cc}0&W^-_\mu\\W^+_\mu&0\end{array}\right)\binom{f_L}{f'_L}\nonumber\\
                          & = & \frac{g}{\sqrt{2}}\left[\bar f_L\gamma^\mu W^-_\mu f'_L+\bar f'_L\gamma^\mu W^+_\mu f_L\right]
\end{eqnarray}

En utilisant l'expression du projecteur vers la composante de chiralité gauche (équation \ref{projecteurs}), le lagrangien se réécrit sous sa forme définitive :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{CC}=\frac{g}{2\sqrt{2}}\left[\bar f\gamma^\mu(1-\gamma^5)W^-_\mu f'+\bar f'\gamma^\mu(1-\gamma^5)W^+_\mu f\right]}
\end{equation}

\subsubsection{Le courant neutre}

Le lagrangien de l'interaction électrofaible (équation \ref{lagrangien_electrofaible}) contient une composante faisant intervenir un courant neutre :
\begin{equation}
  \mathcal{L}_\mathrm{CN}=\sum^3_{j=1}\bar\Psi_j\gamma^\mu\left(g\frac{\sigma_3}{2}W^3_\mu+g'Y_iB_\mu\right)\Psi^j
\end{equation}

Si on introduit le boson $ Z $ et le photon $ A $ en posant :
\begin{equation}
  \left(\begin{array}{c}W^3_\mu\\B_\mu\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}+\cos\theta_W&+\sin\theta_W\\-\sin\theta_W&+\cos\theta_W\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}Z_\mu\\A_\mu\end{array}\right)
\end{equation}

\newpage

\noindent où $ \theta_W $ est un angle de mélange appelé angle de Weinberg, $ \sin\theta_W=0.23120\pm0.00015 $ expérimentalement \cite{LEPEWWG}. Remarquant de plus que le lagrangien peut se scinder en deux composantes, l'une ne faisant intervenir que le boson $ Z $ et l'autre ne faisant intervenir que le photon $ A $ : $ \mathcal{L}_\mathrm{CN}=\mathcal{L}^Z_\mathrm{CN}+\mathcal{L}^A_\mathrm{CN} $, on peut écrire :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}^Z_\mathrm{CN}=\sum^3_{j=1}\bar\Psi_j\gamma^\mu\left(g\frac{\sigma_3}{2}\cos\theta_W-g'Y_i\sin\theta_W\right)Z_\mu\Psi^j}
\end{equation}
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}^A_\mathrm{CN}=\sum^3_{j=1}\bar\Psi_j\gamma^\mu\left(g\frac{\sigma_3}{2}\sin\theta_W+g'Y_i\cos\theta_W\right)A_\mu\Psi^j}
\end{equation}

Comme nous souhaitons que l'interaction électrofaible contienne l'interaction électromagnétique, le lagrangien $ \mathcal{L}^A_\mathrm{CN} $ doit être équivalent au lagrangien de la QED (équation \ref{lagrangien_qed}). Il suffit pour cela d'imposer la relation suivante :
\begin{equation}
  e\,Q_j\equiv g\frac{\sigma_3}{2}\sin\theta_W+g'Y_j\cos\theta_W
\end{equation}

\noindent où $ e $ est la charge électrique élémentaire et $ e\,Q_j $ la charge électrique du fermion $ j $. Par identification, on arrive aux résultats suivants :
\begin{equation}
  Y_1=Q_f-\frac{1}{2}\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}Y_2=Q_f\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}Y_3=Q_{f'}
\end{equation}
\begin{equation}\label{relation_couplages}
  e=g\sin\theta_W=g'\cos\theta_W=\frac{gg'}{\sqrt{g^2+g'^2}}\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}Z_\mu=\frac{g'B_\mu-gA^3_\mu}{\sqrt{g^2+g'^2}}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}A_\mu=\frac{g'B_\mu+gA^3_\mu}{\sqrt{g^2+g'^2}}
\end{equation}

En utilisant l'expression du projecteur vers la composante de chiralité gauche (équation \ref{projecteurs}), et après développement, le lagrangien $ \mathcal{L}^Z_\mathrm{CN} $ se réécrit sous sa forme définitive :
\begin{eqnarray}
           \mathcal{L}^Z_\mathrm{CN}=\frac{e}{\sin\theta_W\cos\theta_W} \left[\bar f\phantom{'}\gamma^\mu\left(+\frac{1}{4}-Q_{f\phantom{'}}\sin^2\theta_W-\frac{\gamma^5}{4}\right)f\phantom{'}\right.+\phantom{Z_\mu}\nonumber\\
  \phantom{\mathcal{L}^Z_\mathrm{CN}=\frac{e}{\sin\theta_W\cos\theta_W}}\left.\bar f         ' \gamma^\mu\left(-\frac{1}{4}-Q_{f         ' }\sin^2\theta_W+\frac{\gamma^5}{4}\right)f         ' \right]          Z_\mu
\end{eqnarray}

\subsubsection{Diagrammes de Feynman}

Les couplages élémentaires entre un doublet de fermions gauche et un boson de jauge sont les suivants :
\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{fmffile}{gsw_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$f$}{i1}
        \fmflabel{$\bar f'$}{i2}
        \fmflabel{$W$}{o1}
        \fmflabel{$-i\frac{e}{\sqrt{2}\sin\theta_W}\gamma_\mu\frac{1-\gamma^5}{2}$\ }{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{gsw_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$f$}{i1}
        \fmflabel{$\bar f$}{i2}
        \fmflabel{$Z$}{o1}
        \fmflabel{$-i\frac{e}{\sin\theta_W\cos\theta_W}\gamma_\mu\frac{c^f_V-c^f_A\gamma^5}{2}\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \hspace{1.0cm} &

    \begin{fmffile}{gsw_graph3}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$f$}{i1}
        \fmflabel{$\bar f$}{i2}
        \fmflabel{$\gamma$}{o1}
        \fmflabel{$-ieQ_f\gamma_\mu\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
\end{figure}

Remarque : Dans le modèle standard de la physique de particule, comme les neutrinos n'interagissent que via l'interaction faible, leur composante droite n'existe pas.

\newpage

Les couplages élémentaires entre les bosons de jauge sont les suivants :
\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{gsw_graph4}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$W^+$}{i1}
        \fmflabel{$W^-$}{i2}
        \fmflabel{$\gamma,Z$}{o1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \hspace{1.0cm} &

    \begin{fmffile}{gsw_graph5}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{photon}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$W^+$}{i1}
        \fmflabel{$W^-$}{i2}
        \fmflabel{$W^+,\gamma,\gamma,Z$}{o1}
        \fmflabel{$W^-,\gamma,     Z,Z$}{o2}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
\end{figure}

\subsection{La matrice CKM}

Pour des quarks, l'expérience montre que les processus qui ne conservent pas la saveur sont défavorisés par rapport à ceux qui la conservent. En 1963, Nicola Cabibbo propose \cite{PhysRevLett.10.531} une explication pour les processus avec $ |\Delta S|=1 $ ($ S $ est l'étrangeté). Comme les quarks $ u $ et $ s $ ont les mêmes nombres quantiques, exception faite de la masse et de l'étrangeté, on peut supposer que les états propres de saveur soient en réalité une combinaison linéaire des quarks $ d $ et $ s $ :
\begin{equation}
  \left(\begin{array}{c}d'\\s'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}+\cos\theta_C&+\sin\theta_C\\-\sin\theta_C&+\cos\theta_C\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}d\\s\end{array}\right)
\end{equation}

\noindent où $ \theta_C $ est appelé angle de Cabibbo. Ce mélange peut se généraliser à toutes les générations de quarks en introduisant la matrice unitaire de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa \cite{PTP.49.652} (CKM) :
\begin{equation}\label{matrice_ckm}
  M_\mathrm{CKM}=\left(
  \begin{array}{ccc}
    c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}}\\
    -s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & +c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
    +s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13}
  \end{array}
  \right)
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(\begin{array}{c}d'\\s'\\b'\end{array}\right)=M_\mathrm{CKM}\left(\begin{array}{c}d\\s\\b\end{array}\right)
\end{equation}

\noindent où $ \theta_{12} $, $ \theta_{12} $, $ \theta_{23} $ sont des angles de mélange, $ \delta $ une phase de violation CP, $ s_{ij}\equiv\sin\theta_{ij} $ et enfin $ c_{ij}\equiv\cos\theta_{ij} $. Les valeurs expérimentales des angles de mélange ont été déterminées expérimentalement \cite{Nakamura:1299148} :
\begin{equation}
  M_\mathrm{CKM}=\left(
  \begin{array}{ccc}
    0,97383^{+0,00024}_{-0,00023} & 0,2272^{+0,0010}_{-0,0010} & (3,96^{+0,09}_{-0,09})\times 10^{-3}\\
    0,2271^{+0,0010}_{-0,0010} & 0,97296^{+0,00024}_{-0,00024} & (42,21^{+0,10}_{-0,80})\times 10^{-3}\\
    (8,14^{+0,32}_{-0,64})\times 10^{-3} & (41,61^{+0,12}_{-0,78})\times 10^{-3} & 0,999100^{+0,000034}_{-0,000004}
  \end{array}
  \right)
\end{equation}

\subsection{Des bosons massifs}

En théorie quantique des champs, nous avons vu que pour assurer l'invariance de jauge d'un lagrangien, les bosons de jauge doivent être nécessairement de masse nulle. C'est le cas, par exemple, du photon et des huit gluons. En 1983, après la découverte des bosons $ W^\pm $ et $ Z $ au Cern, et conformément aux hypothèses, il fut confirmé que ces trois particules sont massives. Actuellement, la masse mesurée du $ W^\pm $ est $ M_W=80.403(29)\GeV $ et la masse mesurée du $ Z $ est $ M_Z=91.1876(21)\GeV $.

Le premier modèle expliquant l'acquisition de masse par les particules fut proposé en 1964 parallèlement par Robert Brout, François Englert, Gerry Guralnik, Carl Richard Hagen et Tom Kibble (figure \ref{photographie} a) ainsi que par Peter Ware Higgs (figure \ref{photographie} b). Ce modèle est désormais connu sous le nom de \emph{mécanisme de Higgs}. C'est un pilier du modèle standard de la physique des particules, cependant, une des ses principales prédictions, le \emph{boson de Higgs}, n'a toujours pas été vérifiée expérimentalement à cause des contraintes technologiques. Sa recherche fait l'objet du dernier chapitre de cette thèse.

\subsection{Le mécanisme de Higgs}

Nous allons montrer que le mécanisme de Higgs \cite{PhysRevLett.13.508}\cite{PhysRevLett.13.321} permet l'acquisition de masse par brisure spontanée de la symétrie $ SU(2)_L\times U(1)_Y $. Commençons par introduire un doublet de champs scalaires complexes d'isospin faible avec une hypercharge $ Y=\frac{1}{2} $ :
\begin{equation}
  \boxed{\Phi_L=\binom{\Phi^+}{\Phi^0}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{\Phi_1+i\Phi_2}{\Phi_3+i\Phi_4}}
\end{equation}

Introduisons également le lagrangien $ \mathcal{L}_\mathrm{Higgs} $ du champ $ \Phi_L $ ainsi que le potentiel $ V_\mathrm{Higgs} $ du champ $ \Phi_L $ :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{Higgs}=\left(D_\mu\Phi_L\right)^\dag\left(D^\mu\Phi_L\right)-V_\mathrm{Higgs}(\Phi^\dag_L\Phi_L)}
\end{equation}
\begin{equation}
  \boxed{V_\mathrm{Higgs}(\Phi^\dag_L\Phi_L)\equiv\mu^2\Phi^\dag_L\Phi_L+\lambda(\Phi^\dag_L\Phi_L)^2}
\end{equation}

Pour que le potentiel $ V_\mathrm{Higgs} $ soit borné et possède un ou plusieurs états fondamentaux, il faut nécessairement $ \lambda $ positif. Deux situations sont à distinguer selon les cas où le paramètre $ \mu^2 $ est respectivement positif ou négatif (figure \ref{potientiel_higgs}). Regardons par exemple les solutions de l'équation $ dV_\mathrm{Higgs}(\Phi^\dag_L\Phi_L)/d\Phi_3=0 $, $ \Phi_{1,2,4}=0 $ :
\begin{itemize}
  \item $ \mu^2>0 $ $ \Rightarrow $ un minimum trivial $ \left<0\right|\Phi_L\left|0\right>=0 $
  \item $ \mu^2<0 $ $ \Rightarrow $ $ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{un\ extremum\ trivial\ }\left<0\right|\Phi_L\left|0\right>=0 \\ \mathrm{un\ extremum\ non\ trivial\ }\boxed{\left<0\right|\Phi_L\left|0\right>=-\frac{\mu^2}{\lambda}\equiv v^2} \end{array}\right. $
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccc}
    \includegraphics[height=4.1cm, keepaspectratio]{phd_ms/potentiel_higgs_1}
    &\ \ \ \ \ \ \ &
    \includegraphics[height=4.0cm, keepaspectratio]{phd_ms/potentiel_higgs_2}
    \\
    (a)
    &\ \ \ \ \ \ \ &
    (b)
    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{potientiel_higgs}(a) Représentation du potentiel de Higgs avec $ \mu^2>0 $. (b) Représentation du potentiel de Higgs avec $ \mu^2<0 $}
\end{figure}

Introduisons maintenant une transformation de jauge locale qui laisse invariant le lagrangien $ \mathcal{L}_\mathrm{Higgs} $ :
\begin{equation}
  \Phi'_L\rightarrow\Phi_L=\exp\left(i\frac{\sigma^a}{2}\frac{\chi_a(x)}{v}\right)\Phi'_L
\end{equation}

Il est possible de faire un choix de jauge pour obtenir la configuration particulière du champ $ \Phi_L $ suivante (astuce diabolique !) :
\begin{equation}
  \boxed{\Phi'_L\rightarrow\Phi_{0,L}\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{0}{v+h(x)}}
\end{equation}

Cette configuration brise la symétrie $ SU(2)_L $. Nous voyons ainsi apparaître $ h(x) $ le champ scalaire associé au \emph{boson de Higgs}. Regardons maintenant comment sont générées les masses des bosons $ W^\pm $ et $ Z $ en ne concevant que les termes de masses du lagrangien $ \mathcal{L}_\mathrm{Higgs} $ dans la limite où $ h(x) \rightarrow 0 $ :
\begin{equation}
  \mathcal{L}_\mathrm{M_W,M_Z}\equiv\lim_{h(x) \rightarrow 0}(D_\mu\Phi_{0,L})^\dag(D^\mu\Phi_{0,L})
\end{equation}

\newpage

\begin{eqnarray*}
  D_\mu\Phi_{0,L} & = & \left[\partial_\mu+ig\frac{\sigma^a}{2}W^a_\mu+ig'\left\{Y=\frac{1}{2}\right\}B_\mu\right]\binom{0}{\frac{v}{\sqrt{2}}}\\
                  & = & \left[i\frac{g}{2}\left(\begin{array}{cc} +W^3_\mu & W^1_\mu-iW^2_\mu \\ W^1_\mu+iW^2_\mu & -W^3_\mu \end{array}\right)+i\frac{g'}{2}\left(\begin{array}{cc} B_\mu & 0 \\ 0 & B_\mu \end{array}\right)\right]\binom{0}{\frac{v}{\sqrt{2}}}\\
                  & = & \frac{i}{2}\frac{v}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} gW^1_\mu-igW^2_\mu \\ g'B_\mu-gW^3_\mu \end{array}\right)
\end{eqnarray*}

En utilisant les expressions de l'équation \ref{relation_couplages}, on obtient :
\begin{displaymath}
  D_\mu\Phi_{0,L}=\frac{i}{2}\frac{v}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} \sqrt{2}gW^+_\mu \\ \sqrt{g^2+g'^2}Z_\mu \end{array}\right)\mathrm{,}
\end{displaymath}

\noindent et finalement :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{M_W,M_Z}=\left(\frac{vg}{2}\right)^2W^-_\mu W^{-\mu}+\left(\frac{vg}{2}\right)^2W^+_\mu W^{+\mu}+\left(\frac{v\sqrt{g^2+g'^2}}{2}\right)^2Z_\mu Z^\mu}
\end{equation}
\begin{equation}
  \boxed{M_{W^\pm}=\frac{vg}{2}\hspace{0.33cm}\mathrm{,}\hspace{0.33cm}M_Z=\frac{v\sqrt{g^2+g'^2}}{2}\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}M_A=0}
\end{equation}
\begin{equation}
  \boxed{\frac{M_{W^\pm}}{M_Z}=\cos\theta_W<1}
\end{equation}

Si on développe le lagrangien $ \mathcal{L}_\mathrm{Higgs} $ sans faire tendre le champs de Higgs vers zéro, il apparaît la masse du boson de Higgs :
\begin{equation}
  \boxed{M_\mathrm{Higgs}=\sqrt{-2\mu^2}}
\end{equation}

La masse du boson de Higgs est un paramètre libre du modèle standard de la physique des particules. Il reste maintenant à déterminer comment les fermions acquièrent une masse. Examinons le couplage trilinéaire de Yukawa entre le doublet des leptons et le champ $ \Phi_{0,L} $  dans la limite où $ h(x) \rightarrow 0 $ :
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}_\mathrm{Yukawa\,leptons} & = & \sum_{l=e,\mu,\tau}-\lambda_l\left[\left(\bar\nu_l\ \ \bar l_L\right)\binom{0}{\frac{v}{\sqrt{2}}}l_R+\bar l_R\left(0\ \ \frac{v}{\sqrt{2}}\right)\binom{\nu_l}{l_L}\right]\nonumber\\
                              & = & \sum_{l=e,\mu,\tau}-\lambda_l\frac{v}{\sqrt{2}}\left(\bar l_Ll_R+\bar l_R l_L\right)\nonumber
\end{eqnarray}

\noindent c'est-à-dire :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{Yukawa\,leptons}=\sum_{l=e,\mu,\tau}-\lambda_l\frac{v}{\sqrt{2}}\bar ll}
\end{equation}

\noindent et en utilisant la matrice CMK (équation \ref{matrice_ckm}):
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{Yukawa\,quarks}=\sum_{q=u,d,c,s,t,b}-\lambda_q\frac{v}{\sqrt{2}}\bar qq}
\end{equation}

\noindent où les coefficients $ \lambda_l $ et $ \lambda_q $ sont appelés les couplages de Yukawa. Au final, le modèle de Higgs permet d'expliquer l'origine des masses des bosons $ W^\pm $ et $ Z $ ainsi que celles de tous les fermions. Il faut cependant noter que dans le modèle standard minimal de la physique des particules, les neutrinos ont une masse nulle. Des mesures expérimentales ont cependant montré qu'ils ont une très faible de masse inférieure à l'électron volt.

\newpage

\subsection{Le mécanisme See-Saw}

Le mécanisme See-Saw (mécanisme balançoire) permet de construire un lagrangien de masse pour les Neutrinos. Introduisons $ n $ neutrinos stériles non interagissant $ \nu_s $ en plus des trois familles de neutrinos interagissant $ \nu $ :
\begin{equation}
  \nu_s=\left(\begin{array}{c}\nu_{s,1}\\\vdots\\\nu_{s,n}\end{array}\right)\hspace{0.33cm}\mathrm{et}\hspace{0.33cm}\nu=\left(\begin{array}{c}\nu_1\\\nu_2\\\nu_3\end{array}\right)
\end{equation}

Il est possible de construire deux types de termes de lagrangiens de masse, un premier de Dirac et un second de Majorana\footnote{A l'inverse des particules de Dirac, les particules de Majorana sont leurs propres antiparticules.} :
\begin{equation}
  \mathcal{L}_D=\bar\nu_{s,i}\left(\mathcal{M}_D\right)^{ik}\nu_k
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal{L}_M=\bar\nu_{s,i}\left(\mathcal{M}_M\right)^{ij}\nu^C_{s,j}
\end{equation}

\noindent où l'indice $ C $ indique l'opérateur conjugaison de charge. Le lagrangien de masse le plus général qu'il soit possible d'écrire est une combinaison de $ \mathcal{L}_D $ et $ \mathcal{L}_M $ :
\begin{eqnarray}
  \mathcal{L}_\mathrm{See-Saw} &       =       & \sum^{n}_{i,j=0}\sum^{3}_{k,l=0}\left[\bar\nu_{s,i}\left(\mathcal{M}_D\right)^{ik}\nu_k+\bar\nu_k\left(\mathcal{M}_D\right)^{ki}\nu_{s,i}\right.\nonumber\\
                               &       -       & \frac{1}{2}\left(\bar\nu_{s,i}\left(\mathcal{M}_{M,s}\right)^{ij}\nu^C_{s,j}+\nu_{s,i}\left(\mathcal{M}_{M,s}\right)^{ij}\bar\nu^C_{s,j}\right)\nonumber\\
                               &       -       & \frac{1}{2}\left(\bar\nu_{k\phantom{,i}}\left(\ \mathcal{M}_D\ \right)^{kl}\nu^C_{l\phantom{,j}}+\nu_{k\phantom{,i}}\left(\ \mathcal{M}_D\ \right)^{kl}\bar\nu^C_{l\phantom{,j}}\right)\nonumber\\
                               & \left.\right] & + \ \ \mathrm{h.c.}\nonumber\\
                               &     \equiv    & -\frac{1}{2}\left(\bar\nu\ \ \bar\nu^C_s\right)\underbrace{\left(\begin{array}{cc}m^M_L&m^D_L\\m^D_L&m^M_R\end{array}\right)}_{\mathcal{M}_\mathrm{See-Saw}}\binom{\nu^C}{\nu_s}+\mathrm{h.c.}
\end{eqnarray}

Les masses physiques s'obtiennent en diagonalisant la matrice $ \mathcal{M}_\mathrm{See-Saw} $. Considérons simplement une matrice $ 2\times2 $, les valeurs propres sont :
\begin{equation}
  m_\pm=\frac{1}{2}\left(m^M_L+m^M_R\right)\pm\frac{1}{2}\sqrt{\left(m^M_L+m^M_R\right)^2-4\left(m^M_Lm^M_R-m^Dm^D\right)}
\end{equation}
et les vecteurs propres sont :
\begin{equation}
  \binom{\nu_-}{\nu_+}=\left(\begin{array}{c}\left(\nu_L+\nu^C_L\right)+\frac{m^D_L}{m^M_R}\left(\nu_R+\nu^C_R\right)\\\left(\nu_R+\nu^C_R\right)-\frac{m^D_L}{m^M_R}\left(\nu_L+\nu^C_L\right)\end{array}\right)
\end{equation}

Si nous supposons que $ m_-=0 $, alors $ m^M_Lm^M_R = m^Dm^D $ et seuls les neutrinos $ \nu_+ $ ont une masse non nulle. Le mécanisme See-Saw est nommé ainsi, car une grande valeur de $ m^M_R $ entraine une petite valeur de $ m^M_L $ sans qu'il soit nécessaire de faire un ajustement fin des paramètres libres. En supposant $ m^D\ll m^M_R $ et $ m^M_R $ de l'ordre de l'échelle de grande unification $ \Lambda_\mathrm{GUT}\sim10^{16}\GeV $ il vient $ m_+\approx m^M_L+m^M_R<1\eV $. Finalement, le lagrangien de masse complet des leptons s'écrit :
\begin{equation}
  \boxed{\mathcal{L}_\mathrm{Yukawa\,leptons}=\sum_{l=e,\mu,\tau}-\lambda_l\frac{v}{\sqrt{2}}\bar ll-\lambda_{\nu_l}\frac{v}{\sqrt{2}}\bar\nu_l\nu^C_l}
\end{equation}

\newpage

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{cc}
    \includegraphics[height=5cm, keepaspectratio]{phd_ms/groupe_1}
    &
    \includegraphics[height=5cm, keepaspectratio]{phd_ms/groupe_2}
    \\
    (a)
    &
    (b)
    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{photographie}(a) Photographie de Tom Kibble, Gerry Guralnik, Carl Richard Hagen, François Englert et Robert Brout lors de la remise du Prix Sakurai 2010. (b) Photographie de Peter Ware Higgs.}
\end{figure}

\subsection{Le secteur de Higgs}

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

  \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{higgs_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$W$}{i1}
        \fmflabel{$W$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$i\frac{e}{\sin\theta_W}M_Wg_{\mu\nu}\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \hspace{2.0cm} &

    \begin{fmffile}{higgs_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$Z$}{i1}
        \fmflabel{$Z$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$i\frac{e}{\sin\theta_W\cos\theta_W}M_Zg_{\mu\nu}\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \\

    (a) &  & (b)

    \\ & & \\

    \begin{fmffile}{higgs_graph3}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$f$}{i1}
        \fmflabel{$\bar f$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$-i\frac{e}{2\sin\theta_W}\frac{m_f}{M_W}$}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \hspace{2.0cm} &

    \begin{fmffile}{higgs_graph4}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1}
        \fmf{dashes}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{v1,o1}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$H$}{i1}
        \fmflabel{$H$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$-i\frac{3e}{2\sin\theta_W}\frac{M_\mathrm{Higgs}}{M_W}\ $}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \\

    (c) &  & (d)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{Couplages trilinéaires du boson de Higgs avec les bosons $ W^\pm $ et $ Z $, (a) et (b), avec les fermions (couplages de Yukawa), (c) et autocouplage (d).}
\end{figure}

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccccc}

    \begin{fmffile}{higgs_grap5}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$W$}{i1}
        \fmflabel{$W$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
        \fmflabel{$\ i\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W}g_{\mu\nu}$}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \ &

    \begin{fmffile}{higgs_graph6}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{photon}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$Z$}{i1}
        \fmflabel{$Z$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
        \fmflabel{$\ i\frac{e^2}{2\sin^2\theta_W\cos^2\theta_W}g_{\mu\nu}$}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    & \ &

    \begin{fmffile}{higgs_graph7}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{dashes}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$H$}{i1}
        \fmflabel{$H$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
        \fmflabel{$\ -i\frac{3e^2}{4\sin\theta_W}\frac{M^2_\mathrm{Higgs}}{M^2_W}$}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \\

    (a) & & (b) & & (c)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{Couplages quadrilinéaires du boson de Higgs avec les bosons $ W^\pm $ et $ Z $, (a) et (b) et autocouplage, (c).}
\end{figure}

\subsection{La gravitation}

D'un point de vue classique, la gravitation est décrite par la théorie de la relativité générale. Elle fut établie en 1915 par Albert Einstein et permet une description remarquable de l'univers et des objets astrophysiques. D'un point de vue quantique, il n'existe actuellement aucune théorie complètement satisfaisante même si de bons candidats existent, citons par exemple la supergravité, la théorie des supercordes ou encore la gravitation à boucles. Il faut cependant noter que l'interaction gravitationnelle entre des particules fondamentales est extrêmement faible, au moins trente ordres de grandeur de moins que l'interaction faible. Dans la pratique, la gravitation est tout simplement ignorée.

Mathématiquement, le célèbre théorème de topologie \emph{no-go} de Sidney Coleman et Jeffrey Mandula affirme qu'il n'existe pas de représentation unitaire de dimension finie pour un groupe non compact. C'est pourquoi une description de la gravitation n'est pas possible dans le cadre du modèle standard.

\subsection{Tableaux récapitulatifs}

\begin{table}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
      \hline
      Interactions & Forte & Électromagnétique & Faible & Gravitationnelle \\
      \hline
      \hline
      Boson & 8 gluons & 1 photon & $ Z $ et $ W^\pm $ & graviton(s) \\
      \hline
      $ \mathrm{Spin}^\mathrm{Parite} $ & $ 1^- $ & $ 1^- $ & $ 1^- $, $ 1^+ $ & $ 2^+ $ \\
      \hline
      Masse $ [\GeV] $ & 0 & 0 & $ 80 $ et $ 91 $ & 0 \\
      \hline
      Portée $ [m] $ & $ \infty $\footnotesize, confinée $ <10^{-15} $ & $ \infty $ & $ <10^{-18} $ & $ \infty $ \\
      \hline
      Source & couleur & charge électrique & charge faible & énergie/masse \\
      \hline
      Couplage & $ \alpha_S\lessapprox0.118 $ & $ \alpha\approx\frac{1}{137} $ & $ \alpha_W\lessapprox10^-5 $ & $ \sim4.6\times10^{-40} $ \\
      \hline
    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{Tableau récapitulatif des interactions fondamentales.}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
  \begin{bigcenter}
    \includegraphics[height=8.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/valeurs}
  \end{bigcenter}
  \caption{Tableau récapitulatif des paramètres du modèle standard \cite{LEPEWWG} (juillet 2010). Mesures effectuées par les expériences LEP, SLC et Tevatron, prédiction théorique et différence absolue en unité de l'erreur de mesure totale $ \sigma $.}
\end{table}

\newpage

\section{La masse du boson de Higgs}

Le modèle standard a été testé avec grande précision, néanmoins, le boson de Higgs n'a pas encore été observé à cause de sa faible section efficace d'interaction. L'objectif de cette section est de rappeler théoriquement des limites inférieure et supérieure à la masse du boson de Higgs puis de faire l'état des lieux des limites expérimentales établies auprès d'expériences comme le Large Electron Positron collider (LEP) au Cern et le Tevatron au Fermilab.

\subsection{Limites théoriques}

\subsubsection{Argument de trivialité}

Le calcul des corrections radiatives qui interviennent dans le calcul de section efficace du processus $ HH\to HH $ fait intervenir des corrections divergentes qui nécessitent une renormalisation de la constante de couplage $ \lambda $ (figure \ref{higgs_autocouplage} (b)).

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{higgs_theo_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{dashes}{i1,v1,i2}
        \fmf{dashes}{o1,v1,o2}
        \fmfdot{v1}
        \fmflabel{$H$}{i1}
        \fmflabel{$H$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
        \fmflabel{$\ \propto\lambda$}{v1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{higgs_theo_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{dashes}{i1,v1,o1}
        \fmf{dashes}{i2,v2,o2}
        \fmf{dashes,tension=0.5,left=0.75,label=$H$}{v1,v2}
        \fmf{dashes,tension=0.5,right=0.75,label=$H$}{v1,v2}
        \fmfdot{v1}
        \fmfdot{v2}
        \fmflabel{$H$}{i1}
        \fmflabel{$H$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    &

    \begin{fmffile}{higgs_theo_graph3}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1,i2}
        \fmfright{o1,o2}
        \fmf{dashes}{i1,v1}
        \fmf{dashes}{i2,v2}
        \fmf{dashes}{o1,v4}
        \fmf{dashes}{o2,v3}
        \fmf{fermion,tension=0.5,label=$t$,l.side=left}{v1,v2,v3}
        \fmf{fermion,tension=0.5,label=$t$,l.side=left}{v3,v4,v1}
        \fmfdot{v1}
        \fmfdot{v2}
        \fmfdot{v3}
        \fmfdot{v4}
        \fmflabel{$H$}{i1}
        \fmflabel{$H$}{i2}
        \fmflabel{$H$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \\

    (a) & (b) & (c)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_autocouplage}Quelques diagrammes contribuants à l'autocouplage quadrilinéaire du boson de Higgs : zéro boucle, (a), une boucle, (b) et (c).}
\end{figure}

Selon Landau, Abrikosov et Khalatnikov, dans le cadre des théories de champs renormalisables, la relation entre la charge observable $ g(\Lambda) $ et la charge nue $ g(\Lambda_0) $, est donnée par l'expression \cite{Aitchison2} :
\begin{equation}
  g(\Lambda)=\frac{g(\Lambda_0)}{1-\beta_2g(\Lambda_0)\ln\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2_0}}\hspace{0.33cm}\mathrm{soit\ encore}\hspace{0.33cm}\frac{1}{g(\Lambda)}=\frac{1}{g(\Lambda_0)}-\beta_2\ln\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2_0}
\end{equation}

\noindent où $ \Lambda_0 $ est une énergie de référence. Pour déterminer cette formule, il faut résoudre les équations du groupe de renormalisation (RGE) en ne gardant que le terme d'ordre $ 2 $ :
\begin{equation}
  \beta(t)\equiv\frac{dg(t)}{dt}=\Lambda\frac{dg(\Lambda)}{d\Lambda}=\beta_2g^2(\Lambda)\cancel{+\beta_3g^3(\Lambda)+\ldots}
\end{equation}

\noindent en posant :
\begin{equation}
  \hspace{0.33cm}t\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2_0}\Rightarrow dt=\frac{d\Lambda}{\Lambda}
\end{equation}

Dans le cadre du modèle standard, pour le couplage $ \lambda $, les RGE du secteur de Higgs pur sont connues jusqu'à trois boucles et s'écrivent :
\begin{equation}
  \frac{d\lambda}{dt}=\frac{3}{4\pi^2}\lambda^2-\frac{39}{32\pi^4}\lambda^3+\frac{7176+4032\zeta(3)}{(16\pi^2)^3}\lambda^4
\end{equation}

\noindent ce qui mène à :
\begin{equation}
  \boxed{\frac{1}{\lambda(\Lambda)}=\frac{1}{\lambda(v)}-\frac{3}{4\pi^2}\ln\frac{\Lambda^2}{v^2}}
\end{equation}

\newpage

Précédemment, nous avons montré que le couplage $ \lambda $ est positif. Lorsque $ \Lambda\to+\infty $, pour respecter la condition $ \lambda(\Lambda)>0 $, il faut imposer $ \lambda(\Lambda_0)\to0 $. La théorie devient alors triviale c'est-à-dire une théorie de champs libres. Pour résoudre ce paradoxe, il faut supposer l'existence d'une énergie limite $ \Lambda_{cut} $ au-delà de laquelle le modèle n'est plus valide. Cette coupure fournit alors une limite supérieure au couplage $ \lambda $, mais aussi une limite supérieure à la masse de boson de Higgs :
\begin{equation}
  \boxed{M^2_\mathrm{Higgs}=2\lambda v^2<\frac{8\pi^2v^2}{3\ln\frac{\Lambda^2_{cut}}{v^2}}}
\end{equation}

En prenant $ \Lambda_{cut} $ à l'échelle d'énergie de grande unification $ \Lambda_\mathrm{GUT}\sim10^{16}\GeV $ :
\begin{equation}
  \boxed{M_\mathrm{Higgs}<\sqrt{\frac{8\pi^2v^2}{3\ln\frac{\Lambda^2_\mathrm{GUT}}{v^2}}}=160\GeV}
\end{equation}

En prenant $ \Lambda_{cut} $ à l'échelle d'énergie du modèle standard $ \Lambda_\mathrm{MS}\sim10^{3}\GeV $ :
\begin{equation}
  \boxed{M_\mathrm{Higgs}<\sqrt{\frac{8\pi^2v^2}{3\ln\frac{\Lambda^2_\mathrm{MS}}{v^2}}}=600\GeV}
\end{equation}

En l'absence de la découverte d'un boson de Higgs léger ($ M_\mathrm{Higgs}<1\TeV $), les signes d'une nouvelle physique devraient apparaître à l'échelle du $ \TeV $. La figure \ref{prediction} montre les bornes supérieure et inférieure de la masse du boson de Higgs en fonction l'échelle d'énergie $ \Lambda_\mathrm{cut} $.

\subsubsection{Argument de stabilité du vide}

Considérons maintenant la prise en compte d'une boucle de quarks top (figure \ref{higgs_autocouplage} (c)). Dans la limite où $ \lambda $ est petit, l'équation du groupe de renormalisation s'écrit :
\begin{equation}
  \frac{d\lambda}{dt}=\frac{1}{8\pi^2}\left[\frac{3}{16}\left(2g^4+\left(g^2+g'^2\right)^2\right)-3\lambda^4_t\right]
\end{equation}

\noindent où $ \lambda_t $ est le couplage de Yukawa du quark top. Cette équation donne :
\begin{equation}
  \boxed{\lambda(\Lambda)=\lambda(\Lambda_0)+\frac{1}{8\pi^2}\left[\frac{3}{16}\left(2g^4+\left(g^2+g'^2\right)^2\right)-3\lambda^4_t\right]\ln\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2_0}}
\end{equation}

Pour que $ \lambda(\Lambda) $ reste positif, la masse du boson de Higgs doit satisfaire à :
\begin{equation}
  \boxed{M^2_\mathrm{Higgs}>\frac{v^2}{4\pi^2}\left[3\lambda^4_t-\frac{3}{16}\left(2g^4+\left(g^2+g'^2\right)^2\right)\right]\ln\frac{\Lambda^2_\mathrm{cut}}{v^2}}
\end{equation}

En prenant $ \Lambda_{cut} $ à l'échelle d'énergie de grande unification $ \Lambda_\mathrm{GUT}\sim10^{16}\GeV $ :
\begin{equation}
  M^2_\mathrm{Higgs}>140\GeV
\end{equation}

En prenant $ \Lambda_{cut} $ à l'échelle d'énergie du modèle standard $ \Lambda_\mathrm{MS}\sim10^{3}\GeV $ :
\begin{equation}
  M^2_\mathrm{Higgs}>50\GeV
\end{equation}

La figure \ref{prediction} montre les bornes supérieure et inférieure de la masse du boson de Higgs en fonction l'échelle d'énergie $ \Lambda_\mathrm{cut} $.

\newpage

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}
    \includegraphics[width=7cm, keepaspectratio]{phd_ms/prediction}
  \end{bigcenter}
  \caption{\label{prediction}Bornes théoriques supérieure et inférieure de la masse du boson de Higgs en fonction de l'échelle d'énergie $ \Lambda $ obtenues à partir des arguments de trivialité et de stabilité du vide. La masse du quark top est $ m_t=175\GeV $, et $ \alpha_S=0.118 $.}
\end{figure}

\subsection{Limites expérimentales}

\subsubsection{Limites indirectes}

Les analyses menées auprès du LEP, du SLC et du Tevatron ont permis de mesurer les paramètres du secteur électrofaible avec une précision suffisante pour tester le modèle standard au-delà du premier ordre des perturbations. En 1994, Martinus Veltmanavant et Gerard't Hooft ont montré qu'il est possible d'effectuer une mesure indirecte de la masse du quark top ainsi que du boson de Higgs à partir des corrections radiatives de la masse du boson $ Z $. Les diagrammes de Feynman de la figure \ref{higgs_correction} montrent les deux principales contributions. La première (figure \ref{higgs_correction} (a)) est proportionnelle à $ m^2_t $. La seconde (figure \ref{higgs_correction} (b)) est proportionnelle à $ \ln(M_\mathrm{Higgs}) $. Le prédiction théorique de la masse $ m_t $ fut confirmée par la découverte du quark top auprès des expériences CDF en 1994 puis DØ en 1995.

La figure \ref{higgs_exp1} (a) montre \cite{LEPEWWG} la comparaison entre la détermination indirecte de la masse du boson de Higgs (LEP1, SLD) et la détermination directe de la masse du boson de Higgs (LEP2, Tevatron). Ces résultats tendent à favoriser une faible masse.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{ccc}

    \begin{fmffile}{higgs_exp_graph1}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1}
        \fmfright{o1}
        \fmf{photon}{i1,v1}
        \fmf{photon}{v2,o1}
        \fmf{fermion,left,tension=0.5,label=$t$}{v1,v2}
        \fmf{fermion,left,tension=0.5,label=$t$}{v2,v1}
	\fmfdot{v1,v2}
        \fmflabel{$Z$}{i1}
        \fmflabel{$Z$}{o1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}


    & \hspace{1cm} &

    \begin{fmffile}{higgs_exp_graph2}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
        \fmfleft{i1}
        \fmfright{o1}
        \fmf{photon}{i1,v1}
        \fmf{photon}{v2,o1}
        \fmf{photon,left,tension=0.5,label=$Z$}{v1,v2}
        \fmf{dashes,left,tension=0.5,label=$H$}{v2,v1}
	\fmfdot{v1,v2}
        \fmflabel{$Z$}{i1}
        \fmflabel{$Z$}{o1}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

    \\

    (a) & & (b)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_correction}Principales corrections radiatives à la masse du boson $ Z $ sensibles à la masse du quark top (a) et à la masse du boson de Higgs (b).}
\end{figure}

Parallèlement, un ajustement global des paramètres du secteur électrofaible a été réalisé. La figure \ref{higgs_exp1} (b) montre \cite{LEPEWWG} la distribution $ \Delta\chi^2=\chi^2-\chi^2_\mathrm{min} $ en fonction de la masse du boson de Higgs. Elle impose les contraintes $ M_\mathrm{Higgs}=96^{+60}_{-38}\GeV $ et $ M_\mathrm{Higgs}<219\GeV $ à $ 95\% $ de niveau de confiance. Ces résultats tendent toujours à favoriser une faible masse.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{tabular}{cc}

    \includegraphics[width=6.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/exp1}

    &

    \includegraphics[width=6.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/exp2}

    \\

    (a) & (b)

    \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_exp1}(a) Régions de masse du boson de Higgs possibles obtenues par détermination indirecte (ligne pointillée) et par détermination directe (ligne pleine) dans l'espace $ m_t $-$ m_W $. (b) Distribution $ \Delta\chi^2=\chi^2-\chi^2_\mathrm{min} $ issue de l'ajustement global des paramètres du secteur électrofaible en fonction de la masse du boson de Higgs. La région de gauche est exclue par détermination directe LEP.}
\end{figure}

\subsubsection{Limites directes}

\paragraph{a) Résultats LEP}

L'étude du Higgs-strahlung $ e^+e^-\to Z^*\to ZH $ (figure \ref{higgs_strahlung}) permet l'explorer les régions de très faible masse en mesurant l'énergie de recul qu'acquirent les bosons $ Z $ excités en rayonnant un boson de Higgs. Durant la première phase de prise de données du LEP, aucun signal ne fut détecté dans aucune des quatre expériences Aleph, Delphi, Opal et L3. Durant la seconde phase de prise de données du LEP, avec une énergie dans le centre de masse atteignant $ 209\GeV $ et une luminosité intégrée de $ 2.4\,\mathrm{fb}^{-1} $, le Higgs-strahlung fut le canal principal de production. La combinaison des résultats des quatre expériences permit d'établir la contrainte $ M_\mathrm{Higgs}>114.4\GeV $ à $ 95\% $ de niveau de confiance.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

    \begin{fmffile}{higgs_exp_graph4}
      \fmfframe(1,7)(1,7){
       \begin{fmfgraph*}(110,62)
         \fmfleft{i1,i2}
         \fmfright{o1,o2}
         \fmf{fermion}{i1,v1,i2}
         \fmf{photon,label=$Z^*$,label.side=right}{v1,v2}
         \fmf{photon}{v2,o1}
         \fmf{dashes}{v2,o2}
        \fmflabel{$e$}{i1}
        \fmflabel{$e$}{i2}
        \fmflabel{$Z$}{o1}
        \fmflabel{$H$}{o2}
       \end{fmfgraph*}
      }
    \end{fmffile}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_strahlung}Production du boson de Higgs par Higgs-strahlung.}
\end{figure}

Le boson de Higgs se désintégrant principalement en paire de quarks $ b $, particules les plus lourdes accessibles d'un point de vue de la cinématique. Les trois principales topologies qui furent étudiées, en s'appuyant sur utilisation d'algorithmes d'étiquetage des quarks b, sont $ Z^*\to b\bar bq\bar q $, $ Z^*\to b\bar b\nu\bar\nu=b\bar bMET $ et $ Z^*\to b\bar bl^+l^- $. Les états finaux faisant intervenir des taus furent également pris en compte. Durant les derniers mois de prise de données, un petit excès à $ 1.7\sigma $ fut observé à une masse invariante de $ \sim115\GeV $. Excès insuffisant pour conclure à une indication ($ 3\sigma $) ou une découverte ($ 5\sigma $). La figure \ref{event_display} montre le candidat $ HZ $ de plus grand poids observé dans l'expérience Aleph.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}
    \includegraphics[width=13cm, keepaspectratio]{phd_ms/aleph}
  \end{bigcenter}
  \caption{\label{event_display}Candidat $ HZ $ de plus grand poids observé dans l'expérience Aleph. Il contient deux jets issus de vertex déplacés avec masse invariante de $ 114.3\GeV $ et deux jets légers issus d'un boson $ Z $ avec une masse invariante de $ 91\GeV $.}
\end{figure}

\newpage

\paragraph{b) Résultats Tevatron}

Plus récemment, les expériences DØ et CDF au Tevatron ont accumulé suffisamment de statistique afin de poser des limites en s'appuyant sur l'étude des canaux $ H\to WW $, $ H\to ZZ $, $ WH\to l\nu b\bar b $, $ WH/ZH\to qqb\bar b $, $ WH/ZH\to METb\bar b $, $ ZH\to llb\bar b $, $ H\to\gamma\gamma $, $ H\to\tau\tau $, $ H\to b\bar b $, etc... Les résultats sont représentés sur la figure \ref{higgs_exp2}. La région qui s'étend de $ 158\GeV $ à $ 175\GeV $ est exclue à $ 95\% $ de niveau de confiance \cite{FermilabHiggs}.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}
    \includegraphics[width=9.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/exp3}
  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_exp2}Limites d'exclusion à $ 95\% $ de niveau de confiance LEP+Tevatron sur la section efficace de production du boson de Higgs divisée par à la section efficace du modèle standard.}
\end{figure}

\paragraph{c) Résultats Atlas (2010)}

Durant l'année 2010, l'expérience Atlas a collecté une luminosité intégrée de $ \sim35\textrm{ pb}^{-1} $. Il a été possible d'étudier les canaux $ H\to\gamma\gamma $, $ H\to ZZ^{(*)}\to llll $, $ H\to ZZ^{(*)}\to l\nu l\nu $ $ H\to ZZ^{(*)}\to llqq $, $ H\to WW^{(*)}\to l\nu l\nu $ et, $ H\to WW^{(*)}\to l\nu qq $. Les résultats sont représentés pour trois générations de quarks et de leptons, figure \ref{higgs_exp4} (a) et pour quatre générations de quarks et de leptons, figure \ref{higgs_exp4} (b). Dans le premier cas, la sensibilité n'est pas encore suffisante pour exclure quoi que ce soit, cependant, on s'attend à retrouver prochainement les résultats du LEP et du Tevatron, voir chapitre \ref{chapitre_higgs}.

\begin{figure}[!ht]
  \begin{bigcenter}

  \begin{tabular}{cc}
    \includegraphics[width=8.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/exlusion_a}
    &
    \includegraphics[width=8.5cm, keepaspectratio]{phd_ms/exlusion_b}
    \\
    (a) & (b)

  \end{tabular}

  \end{bigcenter}
  \caption{\label{higgs_exp4}Limites d'exclusion à $ 95\% $ de niveau de confiance Atlas (2010) sur la section efficace de production du boson de Higgs divisée par à la section efficace du modèle standard avec une luminosité intégrée de $ 35\textrm{\,pb}^{-1} $. Pour trois générations de quarks et de leptons (a) et pour quatre générations de quarks et de leptons (b).}
\end{figure}

Les résultats 2011, obtenus avec une luminosité intégrée de $ \sim2fb^{-1} $, seront exposés au dernier chapitre de cette thèse.

\section{Les limites du modèle standard}

Par construction, le modèle standard de la physique des particules ne peut être considéré comme une théorie définitive. Comme nous l'avons déjà mentionné, sa première limitation réside en son incapacité à décrire l'interaction gravitationnelle à cause du célèbre théorème de topologie \emph{no go}. Il ne permet pas non plus de justifier le nombre de générations de particules si bien, qu'actuellement, des investigations sont menées afin de découvrir une hypothétique quatrième génération de particules. Ses $ 19 $ paramètres libres et indépendants, en apparence, lui confèrent un caractère \emph{ad-hoc} et inélégant. Les équations des groupes de renormalisation ne conduisent pas à l'unification des trois interactions quelque soit l'échelle d'énergie $ \Lambda $. Le problème de hiérarchie est sans doute la difficulté la plus limitante à haute énergie. En effet, les corrections radiatives d'auto-interaction de la masse du boson de Higgs ont tendance à diverger et requièrent un ajustement fin des paramètres libres du modèle standard. Une autre difficulté concerne la nature de la matière noire que constitue à peu près $ 20\% $ de la masse totale de l'univers. Le modèle standard ne propose aucune réponse à ce sujet. Les limitations exposées dans cette section ne sont pas exhaustives et suggèrent l'apparition d'une \emph{nouvelle physique} au-delà de quelques $ \TeV $.