kompakte-objekte.txt

=== Kompakte Objekte allgemein

* Endliche Kolimiten kompakter Objekte sind kompakt. Liegt im Wesentlichen
  daran, dass in Set endliche Limiten mit filtrierten Kolimiten vertauschen.

* Faktorisiert die Identität M --> M über ein kompaktes Objekt U,

      M --iota--> U --pi--> M,

  dann ist M selbst kompakt, da es der Kolimes des Differenzkokerndiagramms

      U ====> U (id vs. iota pi)

  ist. Das stimmt in allen Kategorien, ein Beweis der universellen Eigenschaft
  geht so:

      Sei U --phi--> Z mit phi = phi iota pi.
      Definiere psi := phi iota : M --> Z.
      Dann kommutiert das Diagramm:
          psi pi = phi iota pi = phi.
      Außerdem war das die einzige Möglichkeit:
          Sei psi pi = phi. Dann folgt psi = psi pi iota = phi iota.

* Besitzt C endliche Kolimiten, so ist für jedes Objekt X das kanonische
  Diagramm C_fp/X --> X filtriert. (Siehe erzeuger-und-relationen.txt.)


=== Tiny Objekte

* Ein Objekt X heißt genau dann tiny, wenn Hom(X, __) mit beliebigen
  kleinen Kolimiten vertauscht.

* Retrakte von winzigen Objekten sind winzig.

* In PSh(C) ist jedes winzige Objekte Retrakt einer darstellbaren Prägarbe.
  Und umgekehrt sind Retrakte darstellbarer Prägarben winzig.

  Ist C Karoubi-vollständig, so sind die darstellbaren Prägarben genau die
  winzigen Objekte (siehe kategorientheorie.txt). In diesem Fall kann man also
  C aus PSh(C) rekonstruieren.

* In einer abelschen Kategorie ist ein Objekt genau dann winzig im
  Ab-angereicherten Sinn, wenn es kompakt und projektiv ist.
  https://qchu.wordpress.com/2015/05/07/tiny-objects/

* Für eine Ab-angereicherten Kategorie C sind die winzigen Objekte in [C^op, Ab]_Ab
  im Ab-angereicherten Sinn genau die Retrakte von endlichen Biprodukten von
  darstellbaren Prägarben.


=== Kompakte Objekte in A-Mod

Die Kategorie der A-Moduln ist lokal endlich präsentierbar.

* Sei M ein A-Modul. Nachweis, dass M Kolimes das kanonischen Diagramms ist:
  Sei (phi_U : U --> Z) ein Kokegel des kanonischen Diagramms.
  Dann definiere psi : M --> Z durch
      x |--> phi_U(x), wobei (U --> M) e.p. mit u \in U so, dass u |--> x.
  (Existenz eines solchen U gesichert: Wähle U als freien A-Modul vom Rang 1;
  und Wohldefiniertheit durch direkte Summe und Herausteilen.)

* Damit folgt: Kompakte Objekte in A-Mod sind endlich präsentiert.
  Denn die Identität M --> M faktorisiert über einen endlich präsentierten
  Modul U, stellt daher M als direkten Summanden eines endlich präsentierten
  Moduls dar und zeigt somit, dass M selbst endlich präsentiert ist.

  (Gelte pi . iota = id : M -N-> M. Dann ist N isomorph zu M oplus ker(pi),
  vermöge x |-> (pi(x), x - iota pi(x)) und (u,v) |-> (iota(u) + v).)

* Zur Rekonstruktion eines A-Moduls aus einem linksexakten Funktor
  F: C_fp^op --> Set muss man F((x,y) |-> x+y) und F(x |-> ax) für a \in A wissen.

* Heiße ein Objekt X tiny, wenn Hom(X, __) sogar mit allen Kolimiten
  vertauscht. Dann gibt es in Mod(A) keinerlei tiny Objekte:

  Sei M ein beliebiges tiny Objekt. Nach Voraussetzung ist

      Hom(M, M) |_| Hom(M, M) ---> Hom(M, M oplus M)

  bijektiv. Damit besitzt (x |-> (x,x)) ein Urbild. Also existiert eine lineare
  Abbildung f : M --> M sodass (x |-> (x,x)) = iota_i . f für i = 1 oder i = 2.
  Also x = 0 für alle x aus M. Also M = 0. Aber für M = 0 ist die Abbildung
  nicht injektiv.

  Natürlich ist hier die Ab-Anreicherung nicht beachtet.

  Geht viel allgemeiner: In jeder Kategorie mit Nullobjekt gibt es keine
  winzigen Objekte. Denn Hom(X, __) schickt das Nullobjekt (als leeren Kolimes)
  auf die leere Menge. Da nun jedes Objekt ein Morphismus ins Nullobjekt
  zulässt, ist also Hom(X, Y) für alle Y die leere Menge. Für Y = X ist das ein
  Widerspruch.

* Dualisierbare Moduln (im Sinne monoidaler Kategorien) sind kompakt.


=== Kompakte Objekte in A-Alg

Die kompakten Objekte in der Kategorie der A-Algebren sind gerade die endlich
präsentierten A-Algebren. (Der bekannte Beweis für A-Moduln funktioniert
genauso; nur nimm zum Nachweis der Wohldefiniertheit das Tensorprodukt statt
die direkte Summe.)


=== Logische Definition

Sei T eine geometrische Theorie über einer Signatur Sigma und M ein Modell von T
in Set. Dann kann man definieren (Caramello in ihrem Programm, Seite 11):

* M heißt genau dann endlich präsentierbar, wenn Hom(M, __) : T-mod(Set) --> Set
  filtrierte Kolimiten bewahrt.

* M heißt genau dann endlich präsentiert, wenn es eine geometrische Formel
  {vec x. phi} über Sigma und Elemente xi_i in MA_i (wobei die A_i die Sorten
  der vec x = (x_i)_i sind) gibt, sodass:

      Hom(M, N) ~~ { (b_1,...,b_n) in NA_1 x ... NA_n |
          (b_1,...,b_n) in [[vec x. phi]]_N }.

Ist T vom Prägarbentyp, so stimmen die beiden Definitionen überein.

Ferner ist in diesem Fall der klassifizierende Topos darstellbar als
[T-mod(Set)_fp, Set].


=== Kompakte Objekte in Set

* Endliche Mengen sind kompakt.

* Jede Menge X ist filtrierter Kolimes des kanonischen Diagramms aller
  Abbildungen U --> X, wobei U endlich ist. Das beweist man wie im Fall von
  A-Mod.

* Faktorisiert die Identität X --> X einer Menge über eine endliche Menge U,

      X --iota--> U --pi--> X,

  so ist X selbst endlich: Wir können X mit iota[X] identifizieren. Dann ist X
  eine herauslösbare Teilmenge von U:

      Sei u \in U. Betrachte iota(pi(u)), denn es gilt:
          u = iota(pi(u))  <==>  u \in X.
      Da U diskret ist, ist also "u \in X" entscheidbar.

* Folglich sind kompakte Mengen endlich.


=== Kompakte Objekte in Top

* Jeder nichtdiskrete Raum ist nicht aleph_0-kompakt in Top.
  Und ziemlich sicher auch nicht kappa-kompakt für jedes kappa.

* Daher ist Top nicht lokal präsentierbar. In lokal präsentierbaren
  Kategorien ist jedes Objekt kappa-kompakt für irgendein kappa.

* Es stimmt nicht, dass jedes Objekt in Top Kolimes von diskreten
  Räumen ist. (Egal ob filtriert oder nicht.) Denn solche sind als Quotienten
  von diskreten Räumen stets diskret.


=== Kompakte Objekte in Topoi

Nächste Schritte: ???


=== Kompakte Objekte in Sch/k

Was sind sie?


=== Verträglichkeit von globalen Schnitten mit filtrierten Kolimiten

* Kohärente Topoi sind stark kompakt (nLab/MV).

* Sh(Spec A) ist kohärent.

* Daher erhält Gamma(U, __) : Sh(X) --> Set, wenn U eine affinoffene
  Teilmenge ist, filtrierte Kolimiten.

* http://math.stackexchange.com/a/428556/61604:
  A right adjoint between l.f.p. categories preserves filtered colimits if and
  only if the left adjoint sends compact (a.k.a. finitely presentable) objects
  to compact objects. Ist leicht zu zeigen. :-)


=== Kompakte Objekte in derivierten Kategorien

Nach Bondal-van den Bergh (S. 8f):
* Sei X qc qs. Dann sind die kompakten Objekte in
  D_qcoh(X) genau die perfekten Komplexe.
* D_qcoh(X) wird von einem einzelnen perfekten Komplex erzeugt.
* Sei X sogar qc sep: Dann ist D(Qcoh(X)) --> D_qcoh(X) eine Äquivalenz.
* Sei X sogar glatt über einem Körper: Dann D^b(Coh(X)) ~ D_perf(X).

Daraus entnehme ich:
* D^b(Coh(X)) ist die Unterkategorie der kompakten Objekte von
  D^b(Qcoh(X)). Stimmt das? In http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf steht
  jedenfalls: D^b(Coh(X)) ist die Unterkategorie der kompakten Objekte der
  unbeschränkten derivierten Kategorie D(QCoh(X)), falls X separiert, von
  endlichem Typ über k und außerdem glatt ist (Seite 10).

  Falls X nicht glatt ist, gilt immer noch (wieder Seite 10):
  D(X)^c = D^perf(X) und D(X) ist kompakt erzeugt.

  Genau dann ist X glatt, wenn D^perf(X) = D^b(Coh(X)).
  http://www.math.uni-hamburg.de/home/sosna/diplom-online.pdf, Seite 14.

Ferner schreiben sie:
* Q qc qs. Dann D_qcoh(X) ~ D(Lambda) für eine DG-Algebra Lambda mit
  beschränkter Kohomologie.
Als Motto: "Quasikompakte quasiseparierte Schemata sind affin, in einem abgeleiteten
Sinn."

Kellers Überblicksartikel:
* K^b(proj R) --> Perf(R) (volle Unterkategorie der perfekten Komplexe in
  D(R-Mod)) ist eine Äquivalenz.
* Die Euler-Charakteristik K_0(Perf(R)) --> K_0(R-Mod) ist ein Iso.
  Folgerung: Ringe mit äquivalenter derivierter Kategorie haben isomorphe
  K_0-Gruppen.

Vergleiche http://stacks.math.columbia.edu/tag/08CL
zu perfekten Komplexen. Stimmt es, dass ein Komplex genau dann perfekt ist,
wenn er dualisierbar ist? Siehe auch: http://math.harvard.edu/~keerthi/files/perfect_complexes.pdf ]
Mehr zu perfekten Komplexen steht auch in Kashiwara/Schapira, Exercise I.30.

Sosna schreibt (http://www.math.uni-hamburg.de/home/sosna/diplom-online.pdf):
Ein Komplex K^* von O_X-Modulgarben ist genau dann perfekt, wenn es eine offene
Überdeckung von X gibt, sodass auf den Überdeckungsmengen K^*|_U quasiisomorph
zu einem beschränkten Komplex von lokal freien Moduln ist (endlicher Rang?).

Falls X glatt ist, so ist D^perf(X) äquivalent zu D^b(Coh(X)). Die Umkehrung
gilt ebenfalls (!). Zumindest laut Sosna. In
http://arxiv.org/pdf/1009.5577v2.pdf wird dagegen die Äquivalenz zur
Regularität von X behauptet.


=== Perfekte Komplexe

* X qc qs. Dann: This means that Dqc(X)=Ind(Dperf(X)) -- the quasicompact [dg
  enhanced throughout!!] derived category is the ind category (in the
  ∞-categorical sense) of the perfect one.
  http://mathoverflow.net/a/55218/31233

* Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory, Seite 202.


=== Endlichkeitsbedingungen an Schemata

Vakil 7.3.18: Ein Morphismus von Schemata X --> Y ist lokal von endlicher Präsentation
genau dann, wenn Hom_Y(__, X) mit projektiven Systemen von affinen Y-Schemata
vertauscht.

Das steht auch in EGA IV-8.14, siehe
http://mathoverflow.net/questions/66266/categorical-characterization-of-quasi-compact-schemes.

Nächste Schritte: Konsequenzen daraus ziehen!

Siehe Kommentar von Martin Brandenburg in
http://mathoverflow.net/questions/95064/finitely-presented-objects-in-the-category-of-quasi-coherent-sheaves?rq=1:
* O_X-Moduln von endlicher Präsentation sind kompakte Objekte in Qcoh(X).
  Die Umkehrung stimmt ebenfalls, falls X konzentriert ist.

Siehe Kommentar von Cisinski in
http://mathoverflow.net/questions/90055/categorical-interpretation-of-quasi-compact-quasi-separated-schemes?rq=1:
* Ein Schema ist genau dann qc qs, wenn der globale Schnittfunktor
  (auf mengenwertigen Garben) filtrierte Kolimiten erhält.


=== Kompaktheit topologischer Räume

Mulvey, A categorical characterization of compactness.