koerper-mit-einem-element.txt

* http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FCOM%2FCOM143_03%2FS0010437X06002624a.pdf&code=fab3b10933d327629f1f376d4cb1ef35
  M. J. Shai Haran. Non-additive geometry.

* https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
* http://math.ucr.edu/home/baez/week259.html
* https://golem.ph.utexas.edu/category/2007/04/the_field_with_one_element.html
* http://www.neverendingbooks.org/looking-for-f_un
* https://sbseminar.wordpress.com/2007/08/14/the-field-with-one-element/
* http://mathoverflow.net/questions/69389/riemann-hypothesis-via-absolute-geometry
* http://www.neverendingbooks.org/DATA3/ncg.pdf
* http://www.alainconnes.org/docs/rhfinal.pdf
* http://arxiv.org/abs/math/0407093
* http://arxiv.org/abs/0909.0069 (Mapping F_1-land: An overview of geometries
  over the field with one element), gelobt von
  https://webusers.imj-prg.fr/~alberto.vezzani/Files/Research/tesi_vezzani.pdf
* http://de.arxiv.org/pdf/0906.3146v1

Die Wikipedia gibt mehrere Gründe, wieso ein Körper mit einem Element so
interessant wäre. Einer ist der folgende: Seit langer Zeit ist die
Riemannsche Vermutung für Kurven über endlichen Körpern bewiesen (Weil,
Carens Bachelor-Arbeit). Die Riemannsche Vermutung für den Ring der
ganzen Zahlen ist natürlich noch offen. Aber die Krull-Dimension von Z
ist ebenfalls 1! Die ganzen Zahlen sind also eine Kurve im geometrischen
Sinn. Wenn nun Z eine Algebra über einem Körper wäre, hätte man einen
Beweis der Riemannschen Vermutung für Z.

John Baez, der berühmte theoretische Physiker und Erfinder des Blogs,
schreibt über den Körper mit einem Element:

"Like a genie that talks its way out of a bottle, a sufficiently powerful
mathematical phantom can talk us into letting it exist by promising to
work wonders for us. Great examples include the number zero, irrational
numbers, negative numbers, imaginary numbers, and quaternions. At one
point all these were considered highly dubious entities. Now they're
widely accepted. They 'exist'. Someday the field with one element will
exist too!"


=== Modellansatz

F_1, aufgefasst als kommutative algebraische Theorie, hat als Modelle
("Moduln") punktierte Mengen.


=== Lambda-Ring-Ansatz

* Eine F_1-Algebra ist ein Lambda-Ring.

* F_1 selbst ist Z versehen mit der kanonischen Lambda-Ring-Struktur (alle
  lambda_p Identitäten).

* Die Idee ist, dass ein Ring mit Lambda-Struktur ein Abstiegsdatum
  auf F_1 angibt.

* https://ncatlab.org/nlab/show/Borger%27s+absolute+geometry


=== Sammelsurium von Aussagen

* F_{1^n} tensor_{F_1} Z = Z[T]/(T^n - 1)

  http://www.ihes.fr/~soule/f1-soule.pdf, Seite 2

* Die Zeta-Funktion von Z hat unendlich viele Nullstellen. Daher ist F_1 --> Z
  möglicherweise nicht vom endlichen Typ. Somit ist fraglich, wie sehr
  Spec(Z) x_{Spec(F_1)} Spec(Z) tatsächlich als Varietät angesehen werden kann.

* GL_n(F_1) = S_n. http://math.stackexchange.com/a/568738/61604

  PSL_n(F_1) könnte A_n sein. http://arxiv.org/abs/math/0407093

* "Letting A = Z and k F_1 (yeah, that sounds right), I think the analogy is
  that finite abelian groups are closed under Pontrjagin duality. Hm, now I
  wonder what other "F_1-algebras" have interesting finite representation
  theory." http://mathoverflow.net/a/39770/31233


=== Was macht Z komplizierter als k[X]?

Kai hat eben zum Essen eine spannende Frage mitgebracht: Was macht Z
eigentlich komplizierter als k[X]? Wo doch beides eindimensionale
noethersche euklidische Ringe sind und sich daher ihre geometrischen
Theorien in vielen Aspekten ähneln? Wieso ist Fermats letzter Satz für k[X]
eine einfache Übungsaufgabe, während er für Z nichttrivial ist?

* Die Restklassenkörper von k[X] sind, zumindest wenn man k als
  algebraisch abgeschlossen voraussetzt, alle zueinander isomorph. Die
  von Z sind es dagegen nicht.

* Die affine Gerade Spec(k[X]) kann man bekanntlich zur projektiven
  Gerade kompaktifizieren. Das geht mit Spec(Z) grundsätzlich schon
  auch; allerdings ist die Konstruktion komplizierter, und, noch
  wichtiger: Der Anteil über dem Punkt im Unendlichen einer Modulgarbe
  über der Kompaktifizierung ist ein analytisches Objekt.

* Der Polynomring k[X] trägt bekanntlich eine Kogruppenstruktur,
  die Spec(k[X]) zu einem Gruppenobjekt in der Kategorie der k-Schemata
  macht: (Rationale) Punkte von A^1 kann man miteinander addieren.

  Der Ring Z besitzt keine solche Kogruppenstruktur; entsprechend ist
  Spec(Z) kein Gruppenschema. Wegen des nächsten Punkts sollte man
  diesen Mangel aber nicht zu sehr Z selbst anlasten.

* Der Polynomring k[X] ist eine Algebra über einem Körper. Der Ring der
  ganzen Zahlen ist es auch -- er ist eine Algebra über F_1, dem Körper
  mit einem Element -- die Theorie dazu ist aber noch nicht hinreichend
  leistungsfähig.

  Der Vergleich im letzten Punkt war deswegen nicht ganz fair: Wir haben
  Spec(k[X]) als Objekt in der Kategorie der k-Schemata angesehen,
  Spec(Z) dagegen als Objekt in der Kategorie der Z-Schemata. In der
  Welt der F_1-Schemata wäre die Antwort möglicherweise eine andere.

* Das Produkt von Spec(k[X]) mit sich selbst in der Kategorie der
  k-Schemata gibt Spec(k[X,Y]), wie man es auch von der Dimensionszahl
  erwartet: A^1 x A^1 ~~ A^2. Dagegen ist das Produkt von Spec(Z) mit
  sich selbst in der Kategorie der Schemata lediglich wieder Spec(Z).

  Das ist wieder ein unfairer Vergleich, weil man das Produkt in der
  Kategorie der F_1-Schemata nehmen sollte. Alexander Smirnov berichtete
  in seinem Vortrag im April, dass bisher bei jedem der mehreren
  Zugänge zum Körper mit einem Element das Produkt von Spec(Z) mit sich
  selbst entweder nicht bekannt oder kein interessantes zweidimensionales
  Objekt ist.

  [ Möglicherweise gibt es auch einen tieferen Grund für dieses
  Scheitern. Es gibt Indizien dafür, dass der Strukturmorphismus F_1 --> Z
  (anders als k --> k[X]) nicht vom endlichen Typ ist. Das hängt damit
  zusammen, dass die ζ-Funktion unendlich viele Nullstellen hat. ]

* Über k[X] gibt es eine schöne Schnitttheorie. Über Z nicht. Hier
  müssen wir wieder auf das Eintreffen von F_1 warten.

Übrigens relativiert sich der zuerst genannte Punkt im Hinblick auf F_1
etwas: Nur dann sind alle Restklassenkörper von k[X] isomorph, wenn k
algebraisch abgeschlossen ist. Der Umstand, dass die Restklassenkörper
von Z alle paarweise nicht isomorph sind, könnte man also F_1 in die
Schuhe schieben: Der Körper mit einem Element ist nicht algebraisch
abgeschlossen. Vielleicht sollte man über seinem Abschluss arbeiten.