koalgebra.txt

=== Literatur

* https://www.tu-braunschweig.de/Medien-DB/iti/survey_full.pdf


=== Dualität

Seite 7 von Adámek/Milius:

algebra for a functor                      coalgebra for a functor
initial algebra                            terminal coalgebra
least fixed point                          greatest fixed point
congruence relation                        bisimulation equivalence relation
equational logic                           modal logic
recursion: map out of an initial algebra   corecursion: map into a terminal coalgebra
Foundation Axiom                           Anti-Foundation Axiom
iterative conception of set                coiterative conception of set
set with operations                        set with transitions and observations
useful in syntax                           useful in semantics
bottom-up                                  top-down


=== Analytische Funktoren

Ein analytischer Funktor ist einer von der Form

    X |--> endliches Koprodukt über X^k/G,

wobei k irgendwelche natürliche Zahlen und G irgendwelche Untergruppen der
jeweiligen S_k durchläuft.

* Der (kovariante) Potenzmengenfunktor (auch nicht P_fin) ist nicht analytisch,
  der Multimengenfunktor aber schon.

* Analytische Funktoren auf Set haben stets initiale Algebren.


=== Kartesisch monoidalen Kategorien vs. symmetrisch monoidale Kategorien

Der Vergissfunktor von kartesisch monoidalen Kategorien zu symmetrisch
monoidalen Kategorien is koreflektiv. Sein Rechtsadjungierter ist
V |--> Kategorie der Komonoide.


=== Wirkung von Koalgebren auf Algebren

Ist C eine Koalgebra und A eine Algebra (in Ab), so ist {C,A} := Hom(C,A)
wieder eine Algebra (Hom in Ab). Für f, g in {C,A} ist ihr Produkt als

    C ---> C tensor C ---> A tensor A ---> A
     Komult.       f tensor g         Mult.

definiert.

* Ist C die Koalgebra der (n x n)-Komatrizen, ist ist {C,A} die Algebra
  der (n x n)-Matrizen mit Einträgen aus A.