klassische-algebra.txt

=== Elementarsymmetrische Funktionen

Es gilt: e_i(x_1^(-1), ..., x_n^(-1)) = e_(n-i)(x_1,...,x_n) / e_n(x_1,...,x_n).


=== Alternierende Polynome

Es gilt:

    k[x_1,...,x_n, y_1,...y_n]_alternierend =
    Lambda^n k[x,y].

Das sagt https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf,
Seite 4.


=== Aut(G) zyklisch ==> G abelsch

Habe G --> Aut(G), g |-> conj_g. Der Kern besteht gerade aus den Elementen des
Zentrums. Habe also Inklusion

    G / Z(G) --> Aut(G).

Somit ist auch G/Z(G) zyklisch. Sei [v] ein Erzeuger. Seien g, h aus G
beliebig. Dann gilt:

    g = v^n u, h = v^m w für gewisse Zentrumselemente u, v,

    also gh = v^n u v^m w = v^n v^m uw = v^m v^n uw = v^m w v^n u = hg.


=== 5/8

* Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei willkürlich herausgegriffene
  Gruppenelemente miteinander kommutieren (das ist die Zahl (Anzahl
  Konjugationsklassen) / (Anzahl Gruppenelemente)), größer als 5/8 ist, so ist
  die Gruppe abelsch.

  https://mathoverflow.net/q/91685/31233


=== Untergruppen vom Index 2

Enthalte G/H zwei Elemente im starken Sinn, also G/H = { A, B } mit A != B.
Sei ohne Einschränkung A = [1]. Also A = H. Dann kann man zeigen:

* B = G \ H.
* Jedes Element aus G liegt in H oder nicht in H.
* Für g aus H gilt gH = H = Hg.
* Für g nicht aus H gilt gH = G \ H = Hg. Für die letzte Identität
  muss man das Argument "gH = G \ H" für Rechtsnebenklassen wiederholen.
  Von denen gibt es auch genau zwei, wie die Bijektion G/H --> H\G, gH |->
  Hg^(-1) zeigt.


=== Der Fixpunktsatz für p-Gruppen

https://qchu.wordpress.com/2013/07/09/the-p-group-fixed-point-theorem/
mit erstaunlichen Korollaren


=== Kreisteilungspolynome

For the factorization of xn−1, the first n where an irreducible factor has a
coefficient besides 0, 1, or −1 is n=105. The point is that the possible
nonzero coefficients only depend up to sign on the odd prime factors of n (not
their multiplicities or any factors of 2), and for n a product of two different
odd primes the irred. factors have only coeff. 0, 1, and −1. So the first
possible n to be a counterexample would be n=3⋅5⋅7=105, and that is a
counterexample. 
http://math.stackexchange.com/questions/48301/examples-of-results-failing-in-higher-dimensions#comment322324_48349

* Das Kreisteilungspolynom Phi_{p^k - 1} besitzt einen (sogar mehrere)
  über F_p irreduzible Faktoren vom Grad k. All diese können zur Konstruktion
  von F_{p^k} verwendet werden. Gibt es genau k von diesen? So viele
  Automorphismen haben ja die F_{p^k}.


=== Anwendungen der Sylow-Sätze

* Mit Sylow I kann man FTA zeigen: https://mathoverflow.net/a/10626/31233
  (via Felix)


=== Artin--Wedderburn-Theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Artin%E2%80%93Wedderburn_theorem

The theorem states that an (Artinian) [1] semisimple ring R is isomorphic to
a product of finitely many ni-by-ni matrix rings over division rings Di, for
some integers ni, both of which are uniquely determined up to permutation of
the index i. In particular, any simple left or right Artinian ring is
isomorphic to an n-by-n matrix ring over a division ring D, where both n and D
are uniquely determined.[2]


=== Fundamentalsatz der Algebra

* Beweis über den Lefschetzschen Fixpunktsatz:

  One cute application is to the fundamental theorem of algebra: a linear map
  f:Cn+1→Cn+1 has an eigenvector iff the induced map on projective spaces has a
  fixed point. CPn has Euler characteristic n+1 and GLn(C) is path-connected,
  so the conclusion follows by the Lefschetz fixed point theorem. The
  corresponding calculation for real projective spaces is enlightening as to
  "why" FTA fails over the reals: RPn has Euler characteristic 0 if n is odd
  and 1 if n is even..

  http://mathoverflow.net/a/127087

* Beweis über eine witzige Induktion:

  To show that every real polynomial p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0 has n roots in the
  complex numbers C, write n=2k⋅u with u odd, and induct on k. For k=0, the
  degree is odd, and you have a root in R. For k>0, let (a1,…,an) be the roots
  of p in some extension field; prove that the polynomial with roots bij=ai+aj
  has real coefficients and use the induction hypothesis on (n2) to show that
  the bij are in C. Do the same for cij=aiaj, and then compute ai and aj from
  bij, cij using square roots only.

  http://mathoverflow.net/a/166014/31233


=== Descartes Vorzeichenregel

https://arxiv.org/pdf/1309.6664v3.pdf
ausführliche historische Diskussion und Analyse mehrerer Beweise


=== Grade von Realteil und Imaginärteil

* Ist |z|^2 rational, so ist der Grad von Re(z) höchstens der von z.
  Denn Re(z) = 1/2 (z + |z|^2/z) liegt in Q(z).

* Für den Imaginärteil y stimmt es auch (danke an Felix!):

  Schritt 1:

            Q(z,i)
     1oder2/      \ also hier n/2 oder n
          /        \
         Q(z)       Q(i)
           \      /
          n \   / 2
              Q

  Schritt 2:

            Q(y,i)
         2 /      \ also hier auch ?
          /        \
        Q(y)        Q(i)
          \       /
          ? \   / 2
              Q

  Schritt 3:

           Q(z,i)
          /   | \ diese Inklusion hier besteht, da y = (z - |z|^2/z) / (2i)
         /    |  \
      Q(x,i)  |   Q(y,i)
          \   |  /
           \  | / ? (nach Schritt 2)
            Q(i)

      Der Gesamtgrad hier ist (nach Schritt 1) n/2 oder n.
      Damit ist ? ein Faktor von n/2 oder n.
      Insbesondere ist ? kleiner oder gleich n.

* Ohne die Rationalitätsvoraussetzung ist es falsch:
  Sei z = sqrt[3](2). Dann hat z Grad 3. Aber Im(z) hat Grad 6.


=== Semidirektes Produkt von Gruppen

Möchte eine gegebene Wirkung H --> Aut(N) in eine Konjugationswirkung
verwandeln.


=== Irreduzible Polynome

* Phi_90 ist modulo jeder Primzahl reduzibel.
  https://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/mascot/ma3a6/sol3.pdf


=== Eisenstein

* Ist f(X) eisensteinsch bei p, so ist p in Q(alpha), wobei alpha eine
  der Nullstellen von f(X) ist, rein verzweigt (d.h. r = 1, f = 1).

* Insbesondere ist p Teiler der Diskriminante von f(X).


=== Polarisationsformel

https://math.stackexchange.com/questions/1951228/how-is-a-quadratic-form-and-symmetric-bi-linear-form-determine-each-other

Sei Q : R^2 --> R, (x,y) |--> (x^3/y, falls y != 0; 0, sonst).

Für B(u,v) := (Q(u+v) - Q(u-v)) / 4 gilt dann
B(e_1, e_1 + e_2) = 2, aber B(e_1, e_1) + B(e_1, e_2) = 1/2.

Die Funktion B ist also nicht bilinear.


=== Nächste Schritte

* Unter welchen Voraussetzungen ist eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe
  auch konstruktiv wieder zyklisch?