hyperkaehler.txt

=== Kählerform

Sei g symmetrische Bilinearform auf TX, also ein symmetrisches Element in
Omega tensor Omega.

Sei J eine fast-komplexe Struktur auf X.

* Gelte: g(Jx, Jy) = g(x,y).

* Setze omega(x,y) := g(Jx, y).

  Dann ist omega schiefsymmetrisch: omega(x,y) = -omega(y,x).

* Auch die C-lineare Erweiterung von omega auf (TX)_C ist in diesem
  Sinne schiefsymmetrisch, und daher ein Tensor in Lambda^2(Omega_C).

* Schreibe g_ij := g(del/del z_i, del/del z_j),
  g_iJ := g(del/del z_i, del/del z_j-bar) usw., wobei sich "g" auf die
  C-lineare Fortsetzung bezieht.

  Dann gilt: g_ij = 0, g_IJ = 0.

* Daher gilt: omega = sum_{i < j}
      (omega_ij dz_i dz_j + omega_iJ dz_i dz_J + omega_IJ dz_I dz_J).

  Wegen omega_ij = i g_ij = 0, omega_IJ = -i g_IJ = 0 vereinfacht sich das zu:

      omega = i sum_{i < j} g_iJ dz_i dz_J.

  Also ist omega eine (1,1)-Form. Hier bezieht sich "omega" wieder auf die
  C-lineare Fortsetzung.

* Motto: Beziehung zwischen g und J induziert Beziehung zwischen omega und J;
  das wiederum liefert Information über den Typ.


=== Nächste Schritte

* Beweis ausformulieren: Fasern eines Vektorbündels in gewöhnlicher vs. in
  O_X-Modul-Sicht.

* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit eines Levi-Civita-Zusammenhangs
  (in interner Sprache).

* Beispiel für g (riemannsche Metrik) im Falle von Untermannigfaltigkeiten.