hilbertschema.txt

=== Grundwissen

* Definition als Funktor
* Anschauung der Punkte des Hilbertschemas
* Konstruktion des Modells mit kommutierenden Matrizen
* Überdeckung von X^[n] durch affine offene Mengen,
  indiziert durch die Zerlegungen von n
* Definition von X^[n]
* Tangentialraum des Hilbertschemas (über Garbenhom
  und über Pfeile in Young-Diagrammen)
* Hilbert-Chow-Morphismus (bezeugt Birationalität)
* X^[2] als Aufblasung von X^(2) (im Fall, dass X eine Fläche ist)
* Das punktuelle Hilbertschema
* Euler-Charakteristik des Hilbertschemas
* Kohomologiering des Hilbertschemas
* K-Theorie des Hilbertschemas
* Abgeleitete Kategorie des Hilbertschemas

Vortrag im Arbeitsseminar Geometrie/Topologie:
https://github.com/iblech/talk-hilbert-schemes


=== Kanonisches Bündel

* http://mathoverflow.net/a/55870/31233:
  omega_{X^[n]} = omega_X^[n], also das tautologische Bündel zu omega_X.
  Steht angeblich in Göttsches Buch über Hilbertschemata von Punkten.


=== Semi-orthogonale Zerlegung

Kann aus exzeptionellen Sequenzen von D^b(X) welche von D^b(X^[n]) gewinnen.
Siehe http://arxiv.org/pdf/1404.2105v1.pdf von Sosna und Andi.

http://arxiv.org/pdf/math/0612800v1.pdf wird dabei referenziert.


=== Klassifikation von Matrizen modulo Konjugation

* En k[X]-Modul der Länge n bis auf Isomorphie ist wohl dasselbe wie eine (n x n)-Matrix
  modulo Konjugation. Denn eine solche Matrix induziert auf k^n eine
  k[X]-Struktur der Länge n.

  Umgekehrt ist ein solcher Modul wohl automatisch endlich präsentiert (wenn
  das nicht automatisch folgt, sollte es vorausgesetzt werden) und daher bis
  auf Isomorphie von der Form oplus_i k[X]/(f_i). Dessen Länge, n, ist gleich
  der Summe der Grade der f_i (hier geht ein, dass wir k als algebraisch
  abgeschlossen voraussetzen müssen). Also lässt sich der Modul durch eine
  (n x n)-Matrix realisieren -- einfach eine Blockmatrix aus Begleitmatrizen
  aufbauen.

* Das Hilbertschema von n Punkten auf Spec k[X] klassifiziert nun
  nicht Länge-n-k[X]-Moduln, sondern nur Länge-n-Quotienten von k[X].
  Das sind wohl nur die (n x n)-Matrizen, deren Frobeniussche Normalform aus
  einem einzigen Kästchen besteht -- also nur die Begleitmatrizen. (In der
  Jordanform gesprochen: zu jedem Eigenwert nur ein Kästchen.)


=== X^[n] über die Proj-Konstruktion

* (C^2)^[n] lässt sich als relatives Proj über Sym^n C^2 realisieren.

* Das steht in https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf,
  Seite 14.


=== Universelle Familie

Sei wie in https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf
H_n = (C^2)^[n].

Habe pi : F --> H_n, die universelle Familie. F <= H_n x C^2.

Sei B := pi_* O_F. B ist lokal frei vom Rang n.


=== Spezielle Punkte von X^[n], X = C^2

* Ist lambda eine Partition von n, so kann man das monomiale Ideal

      I_lambda := (x^i y^j | (i,j) \not\in lambda)

  betrachten. Umgekehrt gehört jedes monomiale Ideal der Kodimension n zu genau
  einer Partition von n.

* C[x,y]/I_lambda ist ein dicker Punkt, der zu folgendem Grenzwertprozess
  gehört: Zeichne lambda als Diagramm und denke es dir wirklich in C^2
  eingebettet. Zum Beispiel:

  I = (x^3, y): * * *

  I = (x^2, xy, y^2): *
                      * *

  I = (x, y^2): *
                *

  In diesen Skizzen sitzt der Ursprung jeweils unten links.

  Skaliere nun diese Punktwolken mit komplexen Zahlen. Der dicke Punkt ist dann
  der Grenzwert für Skalierungsfaktor gegen Null.

* Das steht in https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf.


=== Beispiele für Punkte in X^[n], X = C^2

* I = (x,y) cap (x-3,y) = (x^2-3x, y) hat als Kobasis 1, x.

* I = (x,y)^2 = (x^2, xy, y^2) hat als Kobasis 1, x, y.

* I_t = (x,y) cap (x-t,y-alpha t) = (x^2-xt, alpha x - y).

* Der Grenzwert dieser I_t: I = (x^2, xy, y^2, alpha x - y).
  Es lässt sich auch schreiben als

      I = { f | f(0,0) = 0, grad f(0,0) senkrecht auf (1,alpha) }
        = { f | f(0,0) = 0, Df(0,0)(1,alpha) = 0 }.

  Achtung: Bejleri schreibt das etwas anders. Er hat vermutlich einen Fehler
  von 90 Grad. http://www.math.brown.edu/~dbejleri/Hilbert%20Schemes%20-%20Grad%20Student%20Seminar.pdf
  Nakajima gibt mir auf Seite 5 Recht.

* Weitere Beispiele ab Seite 16 von
  http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4230/h10/undervisningsmateriale/ALee_Hilbertschemes.pdf.

* Mehr zu Grenzwerten von Idealen findet sich in
  http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/09-10/Spring/18.726/l_6.pdf.

* Siehe auch http://www.math.rice.edu/~hassett/teaching/567spring07/567lec5.pdf.
  Ein Morphismus X \-> P^n x B --> B ist genau dann flach, wenn die Fasern alle
  dasselbe Hilbertpolynom haben (siehe Seite 6).


=== Modell mit kommutierenden Matrizen

Ein Modell für (C^2)^[n] ist

    { (M, N, i)
    | M, N (nxn)-Matrizen
    , [M,N] = 0
    , C^n = { f(M,N) i | f aus C[x,y] }
    } / GL_n.

Dabei wirkt die GL_n so: g * (M,N,i) = (g M g^(-1), g N g^(-1), g i).

Der Iso sieht so aus: Ein Ideal I aus (C^2)^[n] wird auf die Darstellung der
linearen Abbildung "multipliziere mit x", bzw. "mit y", bzw. "1" bezüglich
irgendeiner Basis von C[x,y]/I geschickt.

Umgekehrt geht ein Tripel (M,N,i) auf das Ideal { f in C[x,y] | f(M,N)i = 0 in C^n }.
Dieses hängt nicht von der Repräsentantenwahl ab und hat wirklich Kodimension n.
Denn:

    Nach Voraussetzung wird C^n als C-Vektorraum von den M^a N^b i, a,b >= 0,
    erzeugt. Dabei genügen irgendwelche n Stück, wobei man sogar zeigen kann,
    dass dabei die Indizes a,b so gewählt werden können, wie man umgekehrt aus
    einer Partition über ein Young-Diagramm Indizes extrahiert.
    
    Dann wird C[x,y]/I von den x^a y^b erzeugt, wobei die Indizes über dieselbe
    Indexmenge laufen: Ist f ein Polynom aus C[x,y], so lässt sich f(M,N)i als
    Linearkombination sum_ab alpha_ab M^a N^b i darstellen. Dann folgt
    f = sum_ab x^a y^b modulo I.

    Außerdem sind die x^a y^b über C linear unabhängig, mit einer ähnlichen
    Argumentation.

Somit wird phi : C[x,y]/I --> C^n, x^a y^b |-> M^a N^b i zu einem
wohldefinierten Isomorphismus von C-Vektorräumen, der auch noch mit den
Endomorphismen (x/M und y/N) vertauscht.

Etwas basisfreier: Ich sehe der kanonischen Abbildung C[x,y] --> C^n an,
dass sie surjektiv ist und dass ihr Kern genau I ist.

* f(M, N) i = 0 in C^n  <==>  f(M, N) = 0 in C^{n x n}.

  Damit kann man etwas leichter die Ideale zu Tripeln [M,N,i] bestimmen.

* Zu M = (alpha), N = (beta), i = (1) gehört das Ideal

      I = { f in C[x,y] | f(alpha,beta) = 0 },

  also das Ideal zum abgeschlossenen Punkt (alpha,beta).

* Hilbert-Chow: Sei [M,N,i] gegeben. Wir können annehmen, dass M und N
  beide obere Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen lambda_i, mu_i sind.
  Dann schickt der Hilbert-Chow-Morphismus [M,N,i] auf { (lambda_i,mu_i) }_i.
  Hier geht ein, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist.
  Wenn er nicht algebraisch abgeschlossen ist, könnte aber auf S^n(k^2) eine
  andere Darstellung haben, sodass das kein Problem ist.

* Die GL_n-Wirkung ist frei: Sei g M g^(-1) = M, g N g^(-1) = N, g i = i.
  Dann vertauscht g mit M und mit N. Für die Basisvektoren gilt:

      g M^a N^b i = M^a N^b g i = M^a N^b i,

  also ist g = id.

* Das Differential der Abbildung (M,N,i) |-> MN-NM hat angeblich konstanten Rang.
  So kann man also über das Modell zeigen, dass (C^2)^[n] glatt ist.
  (Behauptet Nakajima, Seite 12.)

* Das Modell kann man leicht auf (A^m)^[n] verallgemeinern.

* Das Modell kann man auch als GIT-Quotient interpretieren. So erhält man
  dann das Hilbertschema mit seiner Schemastruktur. Auch das symmetrische
  Produkt kann man als GIT-Quotienten realisieren.
  http://www.northeastern.edu/iloseu/Barbara_14_complete.pdf


=== Glattheit

* Schöner grafischer Beweis in
  http://www.math.brown.edu/~dbejleri/Hilbert%20Schemes%20-%20Grad%20Student%20Seminar.pdf.


=== Was ist die Rolle des Hilbertschemas im Vergleich zum naiven Quotienten?

* Ist X eine glatte projektive Varietät und G eine endliche Gruppe,
  die auf X wirkt, so ist X/G noch eine quasiprojektive Varietät, kann aber
  singulär sein.

* Der Hilbert-Chow-Morphismus Hilb^G(X) --> X/G soll eine Auflösung
  von X/G sein. In gewissen Fällen stimmt das; das sagt BKR. Dann ist es sogar
  eine krepante Auflösung und D^b(Hilb^G(X)) --> D^b_G(X) ist eine Äquivalenz.

* Definiert man Coh([X/G]) als Coh_G(X), so ist Hilb^G(X)
  deriviert äquivalent zu [X/G]. Hilb^G(X) ist also nicht gleich [X/G], aber
  zumindest deriviert äquivalent dazu.


=== Unterschemata von A^1 der Dimension 0

Sei k algebraisch abgeschlossen. Dann sind die null-dimensionalen Unterschemata
von A^1_k der Länge n durch Verschwindungsmengen

    V(f),

wobei f ein normiertes Polynom vom Grad n ist, gegeben.


=== Universelle Unterschemata

Habe (A^1)^[n] = A^n. Das universelle Unterschema von (A^1)^[n] x A^1 ist
gegeben durch

    { (a_0,...,a_(n-1), x) | x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0 = 0 }.


=== Hilbertpolynom

Sei Z ein abgeschlossenes Unterschema von P^N. Dann habe auf Z das
Geradenbündel O(1) als Rückzug des Geradenbündels auf P^N.

Dann ist das Hilbertpolynom von Z definiert durch

    P_Z(m) := chi(Z, O(m)).

Allgemeiner ist für eine kohärente Garbe E auf P^N das Hilbertpolynom durch

    P_E(m) := chi(E tensor O(m))

definiert.

* Wenn Z eine Kurve ist, gilt P_Z(m) = deg(O(1)) * m + chi(Z, O_Z).

* Für genügend große m gilt: P_Z(m) = h^0(Z, O(m)).
  (Serres Verschwindungstheorem.)

* http://rigtriv.wordpress.com/2008/10/09/the-hilbert-polynomial-explained/

* Beweis, dass das Hilbertpolynom wirklich ein Polynom ist:
  Durch Induktion über N.

  Für N = 0 ist es klar, dann ist das Hilbertpolynom konstant.

  Die kurze exakte Sequenz zum Unterschema P^(N-1) in P^N liefert die exakte
  Sequenz

      0 --> E(-1) --> E --> E tensor O_{P^(N-1)} --> 0

  und daher chi(E(u)) - chi(E(u-1)) = chi_{P^(N-1)}(E|_{P^(N-1)}(u)).
  Das gilt, falls E ein Vektorbündel ist. Im Allgemeinen Fall kann man aber
  auflösen und die Additivität des Hilbertpolynoms ausnutzen.

* Numerische Berechnung: http://www4.ncsu.edu/~jdhauens/Hilbert/


=== Tangentialraum

Siehe quot-schemata.txt.


=== Mor-Schema

Zumindest, falls O_X(X) ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum ist, gilt wohl:

    Mor(X, A^1) = Spec Sym^* O_X(X)^vee.


=== Hilbertschema einer Kurve C

http://scgp.stonybrook.edu/archives/7535, erster Vortrag.

* Minute 10: Länge-d-Unterschemata von C <--> effektive Cartier-Divisoren
  von C von Grad d


=== Hilbertschema des affinen Raums

Mark E. Huibregtse.
The cotangent space at a monomial ideal of the Hilbert scheme of points of an
affine space.
http://arxiv.org/abs/math/0506575

An elementary, explicit, proof of the existence of Hilbert schemes of points.
http://www.math.kth.se/~skjelnes/Pdffiler/elementaryhilb.pdf


=== Das punktuelle Hilbertschema

* http://www.math.u-psud.fr/~merker/CMI-ENS-Exchange/2010/expose-bozec.pdf

  Habe eine Stratifizierung von S^[n] indiziert durch die Partitionen von n:
  S^[n]_lambda.

  Der Hilbert-Chow-Morphismus stellt dann (bzgl. der analytischen oder étalen
  Topologie) die S^[n]_lambda als Totalräume von Faserbündeln von S^(n)_lambda
  mit Faser H_n1 x ... H_nr dar, wenn lambda = (n1 >= ... >= nr). Die H_i sind
  die punktuellen Hilbertschema.


=== Euler-Charakteristik

* (C^2)^[n]. http://www.math.colostate.edu/~johnson/Talks/TopGHilbImperial.pdf
  http://paul-johnson.staff.shef.ac.uk/Talks/TopGHilbImperial.pdf

  Habe Wirkung von (C^*)^2 auf C^2; diese steigt zu einer Wirkung von (C^2)^[n] ab.

  Die Fixpunkte dieser Wirkung sind gerade die Ideale, die von Monomen erzeugt
  werden.

  Da chi(C^*) = chi((C^*)^2) = 0, tragen die nicht-einpunktigen Orbits nichts
  zur Euler-Charakteristik bei.

  Also ist chi((C^2)^[n]) = Anzahl der Ideale mit Kolänge n, die von Monomen
  erzeugt werden = p(n).


=== Kohomologie

* Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

* In /The cup product of Hilbert schemes for K3 surfaces/ von Lehn und Sorger
  wird zu Beginn erwähnt, dass es einen Iso folgender Form gibt:

      bigoplus_n H^*(X^[n]; Q) ---> S^*(t^{-1} Q[t^{-1}] tensor H^*(X; Q))

  Ihr Hauptresultat ist eine Verfeinerung davon, nämlich ein Iso graduierter
  Ringe:

      (H^*(X; Q)[2])^[n] ---> H^*(X^[n]; Q)[2n]

  Kürzer und unpräziser: H^*(X^[n]) = H^*(X)^[n].

* Dieser Artikel wird in http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/ar/montreal.ps
  als [27] referenziert.


=== K-Theorie

* Die äquivariante K-Theorie von Hilb^[n](A^2) (bzgl. der Toruswirkung) wird
  ausgerechnet in:
  http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.dmj/1359036936
  The elliptic hall algebra and the K-theory of the Hilbert scheme of A^2
  Olivier Schiffmann, Eric Vasserot.


=== Derivierte Kategorie

Laut [Ploog] sagt [Haiman], dass Hilb_n(X) ~~ S_n-Hilb(X^n).

Falls omega_X ~~ O_X, hat man eine Injektion

    Aut(D^b(X)) --> Aut(D^b(Hilb_n(X))).

Andi beschreibt diese wie folgt: Sei Psi in Aut(D^b(X)). Schreibe P in
D^b(X x X) für einen Fourier-Mukai-Kern von Psi. Dann trägt Psi^{\box n} in
D^b(X^n x X^n) eine natürliche S_n-Linearisierung (durch Vertauschung der
Box-Faktoren). Daher induziert es eine S_n-äquivariante derivierte
Autoäquivalenz von X^n, also ein Element von Aut(D^b_(S^n)(X^n)). Diese Gruppe
ist isomorph zu Aut(D^b(X^[n])).

(Achtung: Benötige evtl., dass X von Dimension 2 ist.)

* X^[n] ist deriviert äquivalent zu X^n//S_n, wenn ich die derivierte Kategorie
  von letzterem als D_{S^n}(X^n) definiere. Das sagt gerade BKR.

* BKR schickt O_{X^[n]} auf O_{X^n} (mit kanonischer S_n-Linearisierung). Daher
  gilt:

      H^m(X^[n], O_{X^[n]}) = H^m_{S^n}(X^n, O_{X^n}).

* Äquivalenzen: http://arxiv.org/pdf/1301.4970.pdf (Andi Krug)


=== G-Hilbertschema

https://publikationen.uni-tuebingen.de/xmlui/bitstream/handle/10900/49066/pdf/diss.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Dissertation von Mark Blume.


=== Verträglichkeit mit abgeschlossenen Einbettungen

"die Aussage, dass abgeschlossene Einbettungen von Schemata abgeschlossene
Einbettungen der entsprechenden Hilbertschemata induzieren ist z.B. ein sehr
einfaches Korollar zu dieser Konstruktion, aber das ist ja auch sonst nicht
schwer zu zeigen..."

An elementary, explicit proof of the existence of Hilbert schemes of
points (http://arxiv.org/pdf/math/0506161v1.pdf)


=== Literatur

* Simons Masterarbeit
* Nakajima
* Lothar Göttsche. Hilbert schemes: local properties and Hilbert scheme of
  points. http://users.ictp.it/~gottsche/hilblec.ps.gz
* http://www.algant.eu/documents/theses/habibi.pdf
  Orientiert sich an Göttsche im fünften Kapitel, arbeitet aber ein paar Details
  aus.
* Lehn. Lectures on Hilbert schemes.
  http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/ar/montreal.ps
* http://math.stanford.edu/~vakil/727/, dort der Link
  http://math.stanford.edu/~vakil/727/roy.pdf
* http://alg.math.uni-augsburg.de/forschung/spring-school-on-algebraic-geometry-2010/Picard-Vortrag.pdf
* Strømme. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/bcp/bcp36/bcp36111.pdf
* http://arxiv.org/pdf/math/0304302.pdf gut!
* Resultants and the Hilbert scheme of points on the line.
* https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/bertin_rev.pdf
  äußerst gut.


=== Sichten

* http://mathoverflow.net/questions/155383/a-question-on-the-morphism-between-hilbert-schemes?rq=1

* http://mathoverflow.net/questions/152210/projective-schemes-with-a-fixed-hyperplane-section

* http://www4.ncsu.edu/~jdhauens/Hilbert/
  http://mathoverflow.net/questions/134460/a-question-on-the-hilbert-scheme-i-nx-beta?rq=1
  http://mathoverflow.net/questions/116993/hilbert-polynomial-of-x-times-p1
  http://arxiv.org/abs/1407.0233
  http://mathoverflow.net/questions/93330/why-is-the-fundamental-group-of-a-compact-riemann-surface-not-free/93340#93340

* http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/
  scheint sehr gut zu sein!


=== Nächste Schritte

* Die zwei äquivalenten Definition des Punktefunktors zum Hilbertschema
  verstehen: Unterschemata bzw. Quotienten von O_???

* Kohomologiering

* Bedeutung für die enumerative Geometrie von Kurven
  http://arxiv.org/pdf/math/0304302.pdf