gruppenkohomologie.txt

Motivation: Studium von Fixpunkten von Gruppenwirkungen auf Moduln

Gruppenkohomologie von G ~~ singuläre Kohomologie von BG
(z.B. Z bzw. S^1, Z/(2) bzw. RP^infty)

Def.: Kategorie der G-Moduln (d.h. Z[G]-Moduln)

Def.: Funktor ( )^G: G-Mod --> Ab, M |--> M^G
Beob.: ist linksexakt, aber i.A. nicht rechtsexakt
Bem.: (__)^G ~~ [Z, __]

Def.: H^i(G; M) = R^i ( )^G (M).

Konkreter: C^n(G; M) = Abb(G^n, M) mit nicht ganz offensichtlichem Differential

Dann ergibt sich:
* H^0(G; M) = M^G
* H^1(G; M) = crossed homos G --> M/principal crossed homos
  speziell wenn G trivial auf M operiert: H^1(G; M) ~~ Hom_G(G, M)
* wenn G trivial auf M operiert:
  H^2(G; M) ~~ zentrale Erweiterungen von G durch M

Nächste Schritte:
* Nützlichkeit kategorieller Definition untersuchen:
  G-Modul besteht aus abelscher Gruppe M mit Gruppenhomo G --> Aut(M);
  M^G ist Differenzkern aller Abbildungen M --> M, die von den Gruppenelementen
  induziert werden.
* Topos-Verallgemeinerungen?