grassmannsche.txt

=== Punktefunktor

Gr(r,n):

    X |--> { O^{n+1} --> E | E lokal vom Rang r } / ~~


=== Plücker-Einbettung

Gr(r,n) --> P^N gegeben durch

    (O^(n+1) --> E) |--> (Lambda^r O^(n+1) --> Lambda^r E).

Siehe Mumford, Lectures on curves on algebraic surfaces, Seite 32f.


=== Kotangentialgarbe

Sei G die Grassmannsche von m-dimensionalen Quotienten eines Vektorraums V.
Dann gibt es auf G die kanonische kurze exakte Sequenz

    0 --> A --> O_G tensor V --> B --> 0.

Die Faser von B an einem Quotienten Q ist dabei gerade dieser Quotient,
und auf Faserniveau ist die Abbildung O_G tensor V --> B gerade die
Projektionsabbildung. Die Faser von A ist der Raum der Elemente von V,
die im Quotienten verschwinden. (Wenn V = W^ und l \subseteq W ein UVR der
Dimension m ist, so ist W^ --> l^ ein Quotient vom Rang m. Die Faser von B
an dieser Stelle ist dann l^ und die von A ist l^\perp = { theta aus W^ |
theta_l = 0 }.)

In fünf Schritten kann man sehen, dass Omega_G ~~ Hom(B, A).
Diese Erkenntnis verallgemeinert die Euler-Sequenz.

1. Für beliebiges f = (f1, f2) : T --> G x G gilt folgende Kette von
Äquivalenzen:
* f faktorisiert über Delta in G x G
* f1 = f_2
* f1^*(B) = f2^*(B) als Quotienten von O_G tensor V
  (universelle Eigenschaft von G!)
* f1^*(A) --> O_G tensor V --> f2^*(B) verschwindet
* f^*(pi1^*(A) --> pi2^*(B)) verschwindet

2. Also ist Delta das Verschwindungsschema von pi1^*(A) --> pi2^*(B),
umgeschrieben das von Hom(pi2^*(B), pi2^*(A)) --> O_(GxG).

3. Daher gibt es eine kanonische Surjektion Hom --> I_Delta,
wobei I_Delta die Idealgarbe zu Delta in G x G bezeichnet.

4. Geht man noch weiter zu I_Delta/I_Delta^2 und schränkt sich auf Delta ~~ G ein,
so erhält man eine Surjektion Hom(B,A) --> Omega_G. (Dabei verwende spezielle
Darstellung der Kotangentialgarbe!)

5. Da beide Moduln lokal frei vom Rang m(n-m) sind, ist diese Surjektion ein Iso.

Quelle: Manfred Lehn in Barcelona (Compactifying Moduli Spaces)
http://www.crm.cat/en/Activities/Documents/quadern-web.pdf

Bem.: Der wichtige Morphismus auf G x G sieht im Fall V = W^ faserweise so aus:

    l_1^\perp ^--> V -->> l_2^,  theta |--> theta|_{l_2}.

In Tensordarstellung sieht er so aus:

    sum_i del/del-x_i tensor y_i,

        faserweise sum [w_i]_{l_1} tensor theta_i|_{l_2},

wobei w_0, ..., w_n eine Basis von W, theta_0, ..., theta_n die zugehörige
Dualbasis von W^ = V, y_i die entsprechenden Schnitte von B (in der Faser
über l gegeben durch theta_i|_l) und del/del-x_i die entsprechenden Schnitte
von A^ sind (in der Faser über l gegeben durch [w_i]|_l, als Element von
(l^\perp)^ ~~ W/l).


=== Nächste Schritte

* Das Ergebnis über die Kotangentialgarbe anschaulich verstehen.