garbenkohomologie.txt

=== Kohomologie von Topoi

Def.: Sei E Topos. Dann habe Gamma: Ab(E) -> Ab(Set), ist linksexakt. Der i-te
rechtsabgeleitete Funktor ist H^i.

Beob.: Ext^i(1, F) ~~ H^i(X, F).


=== Höhere direkte Bilder als Vergarbung von faserweiser Kohomologie

Es ist bekanntlich R^n f_*(E) = a(U <= Y |-> H^n(f^{-1}U, E)). Hier ein kurzer
Beweis:

Sei 0 --> E --> I^* eine injektive Auflösung. Dann gilt:

    R^n f_*(E) = H^n(f_* I^*) =  ("ker/im")
        a H^{n,pre}(f_* I^*) =
        a (U |-> H^n(Gamma(f^{-1}U, I^*))) =
        a (U |-> H^n(f^{-1}U, E)).

Im letzten Schritt geht ein, dass 0 --> E|_{f^{-1}U} --> I^*|_{f^{-1}U} eine
injektive Auflösung ist. Das weiß man, da der Rückzug längs offener
Einbettungen noch einen exakten Linksadjungierten besitzt, nämlich (__)_!.

Geht auch intern. Und zwar habe ich ja folgende Situation:

    Sh(X) --> Sh(Y) --> PSh(Y).

Nun kann man zunächst intern in PSh(Y) arbeiten und dort die Ableitung von
Ab(Sh(X)) --> Ab(Set_Box) --> Ab(Set) bestimmen. Diese existiert (wenn man
voraussetzt, dass es in Ab(Sh(X)) Injektive gibt). Nun zeigt man, dass auch die
Box-Übersetzung von "das berechnete Objekt ist die n-te Garbenkohomologie"
stimmt. Dazu ist nur zu zeigen, dass ein Objekt aus Ab(Sh(X)), welches aus
Sicht von PSh(Y) injektiv ist, auch aus Sicht von Sh(Y) injektiv ist. Das ist
klar, denn stimmen zwei Schnitte von Garben in X auf einer von einer
Überdeckung in Y zurückgezogenen Überdeckung überein, so sind sie schon gleich.


=== Kohomologie affiner Schemata

Sei X = Spec A ein noethersches affines Schema und F = M~ ein *quasikohärenter* O_X-Modul.

Sei 0 -> M -> I^* eine injektive Auflösung in der Kategorie der A-Moduln.

Dann zeigt man, dass die Tilde-Konstruktion eines injektiven Moduls eine
flasque Garbe liefert (Artin-Rees-Lemma) und daher für Auflösungen verwendet
werden kann.

Es ist also 0 --> F --> (I^*)^~ eine akzeptable Auflösung. Auf globalen
Schnitten ergibt das wieder die ursprüngliche Auflösung von M.

Siehe http://www.math.mcgill.ca/goren/SeminarOnCohomology/Sheaf_Cohomology.pdf
für mehr zu Kohomologie von Schemata.

Siehe https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S0004972700045238
für einen Beweis, der allgemeiner und elementarer ist.


=== Motivation: Lift von Schnitten

Sei E --> F ein surjektiver Morphismus von Vektorbündeln.

Dann habe die kurze exakte Sequenz

    0 --> K --> E --> F --> 0  (Kern vorne).

Aus der langen exakten Sequenz in Kohomologie erhält man einen Morphismus
Gamma(F) --> H^1(K). Ein globaler Schnitt von F lässt sich genau dann zu einem
globalen Schnitt von E liften, wenn sein Bild unter dieser Abbildung null ist.


=== Motivation für Garbenkohomologie

* Faserungen. Sei f : X --> Y eine Abbildung. Dann erwartet man eine Beziehung
  zwischen H(X), H(Y) und H(f^(-1)[y]) für y in Y. Doch H(f^(-1)[y]) hängt
  nicht konstant oder stetig von y ab.

  Daher benötigt man die höheren direkten Bilder und die Leray-Spektralsequenz:

      H^p(Y, R^q f_* E) ==> H^n(X, E).

* Oft ist man an H^0(F) oder h^0(F) interessiert, etwa für Schnitte von
  Untergarben der O(m)-Bündel, denn deren globale Schnitte sind Funktionen mit
  vorgegebenem Null- und Polstellenverhalten.

  Einfacher zu berechnen ist aber chi(F); dafür benötigt man natürlich die
  höhere Garbenkohomologie.

  Um zu beweisen, dass H^0 von kohärenten Garben auf projektiven Schemata
  kohärent ist, verwendet man eine Rückwärtsinduktion beginnend mit H^n für n
  groß. Vakil, Bemerkung nach Korollar 18.1.5.

* Garbenkohomologie misst fehlende Exaktheit.

* Gute Invarianten. Mit Garbenkohomologie kann man etwa über H^q(Omega^p)
  sprechen.

* Für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten lassen sich die H^n(X, C)
  noch in direkte Summanden zerlegen -- und zwar in die H^i(X, Omega^j).

* Klassifizierung von geometrischen Dingen.
  H^1(X, O_X^*) = Geradenbündel auf X
  H^1(X, T_X) = infinitesimale Deformationen von X = H^0(X, N)
  Obstruktionen zu solchen Deformationen liegen in H^1(X, N).

  H^1(X, AUT) misst Isomorphieklassen von Objekten, welche lokal trivial sind
  aber nicht unbedingt global. AUT ist die Automorphismengarbe.
  Einfaches Beispiel: AUT = GL(1, O_X) = O_X^*.
  http://mathoverflow.net/a/22921

  Allgemein: H^1(X, E) klassifiziert E-Torsorn (bis auf Isomorphie), falls E
  eine Garbe abelscher Gruppen ist. http://stacks.math.columbia.edu/tag/02FQ
  Geradenbündel sind dasselbe wie O_X^*-Torsorn.

  Die höheren Gruppen klassifizieren "(n-1)-gerbes". Siehe Kommentar von Marc
  Hoyuis bei http://mathoverflow.net/a/253261/31233.

* Auf irreduziblen Räumen gibt es wenige lokal konstante Garben.

* Anwendungen wie das Cousin-Problem, Chern-Klassen, ...

  Etwa ist das erste Cousin-Problem genau dann immer lösbar, wenn H^1(O) = 0,
  wobei O die Garbe der holomorphen Funktionen bezeichnet.

Shafarevich (Ed.), Algebraic Geometry II, Cohomology of Algebraic Varieties,
Seite 10.


=== Intuition zu Garbenkohomologie

* Wenn man Intuition zu H^1 hat, kann man wie folgt indirekt Intuition zu H^i,
  i > 1, bekommen:

  Sei F eine Garbe, zu der wir H^*(F) verstehen wollen. Finde eine Einbettung
  F --> A in eine azyklische Garbe. Dann gilt:

      H^(i+1)(F) ~~ H^i(A/F).

  http://mathoverflow.net/questions/11289/geometry-meaning-of-higher-cohomology-of-sheaves

* Messung von Nicht-Exaktheit...

  Intuitiver Grund für mangelnde Rechtsexaktheit: Surjektivität bedeutet lokale
  Urbildexistenz. Daraus folgt aber noch nicht globale Urbildexistenz.

* Dolbeaut: H^q(X, E) = H^{0,q}(X, E), also Vorstellung über harmonische
  (0,q)-Formen. http://mathoverflow.net/a/11314

* Čech-Methode: H^1 misst, inwieweit sich Schnitte längs surjektiver
  Garbenmorphismen nicht liften lassen. http://mathoverflow.net/a/125236

* Wenn H^1(X, O_X) = 0, dann ist Pic(X) diskret. Denn Pic(X) passt
  in die kurze exakte Sequenz

      0 --> H^1(X, O_X)/H^1(X, Z) --> Pic(X) --> NS(X) --> 0,

  wobei NS(X) = ker(H^2(X, Z) --> H^2(X, O_X)). Das stimmt zumindest über C,
  nutze die exponentielle Garbensequenz. Die vordere Gruppe ist divisibel,
  denn Hodge-Theorie zeigt, dass H^1(X, Z) in H^1(X, O_X) ein Gitter ist,
  weswegen die vordere Gruppe also die Struktur eines komplexen Torus hat.
  Die hintere Gruppe ist endlich erzeugt.

  Quelle: Beauville, Complex Algebraic Surfaces.


=== Konkretes und einfaches Beispiel

Sei X = S^1, F die Garbe der R-wertigen Funktionen und G die Garbe der
S^1-wertigen Funktionen. Dann ist der kanonische Morphismus F --> G ein
Epimorphismus, aber nicht surjektiv auf globalen Schnitten. Der Kokern auf
globalen Schnitten ist Z. Der verbindende Morphismus ist die Berechnung des
Abbildungsgrads!

Die Garbe der S^1-wertigen Funktionen kann man übrigens auch einfach als C/Z
beschreiben, also die Garbe der stetigen Funktionen modulo die konstante Garbe Z.

Das ganze funktioniert nicht nur für X = S^1, sondern auch für X = R^2 \ {0}.


=== Chern-Klassen

Sei 0 --> Z --> O_X --> O_X^* --> 0 die exponentielle Garbensequenz.

Dann wird H^0(X,O_X^*) --> H^1(X,Z) induziert, eine Art verallgemeinerter
Windungszahl. Sie misst, inwieweit X nicht zusammenziehbar ist.

Ferner wird Pic(X) = H^1(X,O_X^*) --> H^2(X,Z) induziert. Diese Abbildung
ordnet einem Geradenbündel seine erste Chern-Klasse zu.

Ferner gibt es d log : O_X^* --> Omega^1, f |--> df/f. Diese induziert eine
Abbildung Pic(X) = H^1(X,O_X^*) --> H^1(X,Omega^1). Letzteres ist nach
Hodge-Theorie eine Teilmenge von H^2(X,C); so liefert auch diese Abbildung die
erste Chern-Klasse.


=== Charakterisierung von Geradenbündeln im reellen Fall

Habe 0 --> O_X^+ --> O_X^* --> Z/(2) --> 0, wobei O_X = Garbe der
stetigen/glatten Funktionen, O_X^+ = Untergarbe der überall positiven
Funktionen und Z/(2) konstante Garbe. Die Abbildung schickt f
auf sign(f).

O_X^+ ist isomorph zu O_X (durch den Logarithmus) und hat daher keine
höhere Kohomologie (O_X ist fein).

Folglich haben wir in Kohomologie:

    0 --> H^1(X, O_X^*) --> H^1(X, Z/(2)) --> 0.

Speziell im Fall X = S^1 erhält man also, das es bis auf Isomorphie genau zwei
Vektorbündel gibt, denn H^1(S^1, Z/(2)) ~~ Z/(2).

Quelle: http://math.stackexchange.com/a/531547


=== Lange exakte Sequenz für Unterschemata

Sei i : Z --> X eine abgeschlossene Immersion. Dann hat man bekanntermaßen die
kurze exakte Sequenz

    0 --> I --> O_X --> f_* O_Z --> 0.

Daraus folgt

    0 --> I(X) --> O_X(X) --> O_Z(Z) --> H^1(X, I) --> ...

Wenn X affin ist, verschwindet der H^1-Term und man hat O_Z(Z) = O_X(X) / I(X),
wie zu erwarten.

Wenn X aber nicht affin ist, wäre das eine unsinnige Behauptung. Sei
beispielsweise Z = V(X_0^2) in P^1. Dann ist der Ring der globalen Schnitte
durch k[eps]/eps^2 gegeben, und nicht nur ein Quotient des Rings globaler
Schnitte auf X (welcher nur k ist).

Eine Anwendung: Sei X in P^n eine Hyperfläche vom Grad d. Dann hat man die
kurze exakte Sequenz

    0 --> O(-d) --> O_{P^n} --> O_X --> 0.

Mit der langen exakten Sequenz in Kohomologie folgt:

    H^0(X, O_X) = k.
    H^q(X, O_X) = 0 für 0 < q < dim X = n - 1.
    H^{n-1}(X, O_X) = H^n(P^n, O(-d)).


=== Ableitung von vergiss : Sh --> PSh

R^n vergiss F = (U |--> H^n(U; F)).


=== Verträglichkeit mit Kolimiten

"Filtrierte Kolimiten nehmen" ist exakt in der Kategorie der abelschen Gruppen.
Daher vertauscht "Kohomologie nehmen" mit "Filtrierte Kolimiten nehmen".
Siehe:
http://math.stackexchange.com/questions/401302/does-taking-the-direct-limit-of-chain-complexes-commute-with-taking-homology


=== Mayer--Vietoris

Sei X = U_0 cup U_1 eine offene Überdeckung. Für flabby Garben F hat man kurze
exakte Sequenzen

    0 --> F(X) --> F(U_0) oplus F(U_1) --> F(U_0 cap U_1) --> 0.

Da man durch flabby Garben auflösen kann, folgt eine lange exakte
Mayer--Vietoris-Sequenz:

    ... --> H^n(X,F) --> H^n(U_0,F) oplus H^n(U_1,F) --> H^n(U_0 cap U_1,F) --> ...

Die impliziert übrigens chi(U_0 cup U_1, F) = chi(U_0, F) + chi(U_1, F) -
chi(U_0 cap U_1, F).

Bei allgemeinen offenen Überdeckungen (nicht speziell binären) erhält man noch
eine Spektralsequenz:

    H^q(Überdeckung U, F) = product_{i_0 < ... < i_p} H^q(U_i0 cap ... U_ip, F)
        ==> H^{p+q}(X, F).

Die Mayer--Vietoris-Sequenz (für binäre Überdeckungen) entsteht wie folgt aus
der Grothendieck-Spektralsequenz. Betrachte die linksexakten Funktoren

    Sh(X) ---> PSh(X) ---> Ab,

wobei der letzte Funktor durch HH^0 (Čech-H^0) gegeben ist. Die Komposition ist
natürlich Gamma : Sh(X) --> Ab, die Rechtsableitungen also Garbenkohomologie.

Für eine Prägarbe E sieht die Čech-Kohomologie wie folgt aus:

    HH^0(E) = ker (E(A) oplus E(B) --> E(A cap B))
    HH^1(E) = cok (E(A) oplus E(B) --> E(A cap B))

Die Grothendieck-Spektralsequenz hat als E_2-Seite

    E^pq = R^p HH^0 (R^q vergiss E) = HH^p (U |-> H^q(U, E)),

denn R^p HH^0 = HH^p und R^q vergiss E = (U |-> H^q(U, E)). Also:

    In Spalte p = 0, Zeile q:
    ker (H^q(A) oplus H^q(B) --> H^q(A cap B))   [Garbe E unterdrückt]

    In Spalte p = 1, Zeile q:
    cok (H^q(A) oplus H^q(B) --> H^q(A cap B))

Also degeneriert die Sequenz auf der 2-Seite. Die kanonische Sequenz

    0 --> F^1 Z --> Z --> Z / F^1 Z --> 0

sieht für Z = H^n(X) so aus:

    0 --> cok(...) --> H^n(X) --> ker(...) --> 0.

Fügt man all diese Sequenzen zusammen, erhält man die Mayer--Vietoris-Sequenz:

    ... --> H^n(X) --> H^n(A) oplus H^n(B) --> H^n(A cap B) --> H^(n+1)(X) --> ...


=== Čech-zu-Garben

http://www.math.columbia.edu/~hansen/specseq.pdf
Seite 3


=== Lokale Kohomologie

If X is the complement of a closed subset in an affine variety, then higher
cohomology of any coherent sheaf is isomorphic to a shifted local cohomology
(with supports in the complement). In other words, H^i(X,O_X) = H^{i+1}_Z(X\Z,O) for
i>0. http://mathoverflow.net/a/53009/31233


=== Eigentlicher Basiswechsel (proper base change)

Siehe: Torsten Wedhorn. Manifolds, sheaves, and cohomology. Seite 86.
https://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/People/wedhorn/Lehre/SkriptMannigfaltigkeiten.pdf
Super erklärt, verständlicher Beweis!

Auch interessant: http://math.harvard.edu/~keerthi/files/perfect_complexes.pdf
Alle Aussagen folgen daraus, dass das höhere direkte Bild perfekte Komplexe
liefert.

Allgemeiner im Stacks Project:
http://stacks.math.columbia.edu/tag/09V4

* Sei f : X --> Y ein eigentlicher Morphismus affiner noetherscher Schemata.
  Dann gilt: R^i f_* F = H^i(X, F)~.
  https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/MasterJavanpeykar.pdf, Thm. 1.17.

* H^q(f^(-1)(V), F) = (R^q f_* F)(V) für V in Y offen, affin,
  f : X --> Y quasikompakt, F qcoh auf X; evtl auch noch X, Y separiert.

  Korollar: R^q f_* F = 0 für q > 0, falls f affin.

  Steht in Shafarevich, Seite 31.

* Dort steht auch etwas zur Kohomologie von direkten Bildern längs
  offener Immersionen.


=== Künneth

* Manchmal gilt: H^q(X x Y, E boxtensor F) = bigoplus H^i(X,E) tensor H^j(Y,F).

* Ebenso: H^1(X,F) tensor_A B = H^q(X x_A Spec B, F tensor_A B),
  falls A --> B flach.


=== Gruppenwirkung

H^*(X, F) trägt eine Ext^*(O_X,O_X)-Wirkung:
Habe Wirkung RHom(O_X,O_X) --> RHom(O_X,F).


=== Verschwindungsaussagen

* http://sbseminar.wordpress.com/2010/02/02/when-fine-just-aint-enough/

* http://mathoverflow.net/questions/11567/what-is-the-right-version-of-partitions-of-unity-implies-vanishing-sheaf-cohomo

* Eine klassische Anwendung: Seien C = V(F), D = V(G) transversale Kurven im P^2.
  Sei E = V(H) eine Kurve, die alle Schnittpunkte von C und D enthält.
  Dann gilt: H in (F,G).

  Das kann man so zeigen: Sei I die Idealgarbe von C cap D. Die Formen H vom
  Grad k, welche auf C cap D verschwinden, sind die globalen Schnitte von
  I(k) = I tensor O(k). Wenn deg F = m, deg G = n, hat diese Garbe die
  Auflösung

      0 --> O(k-m-n) --> O(k-m) oplus O(k-n) --> I(k) --> 0.

  (Die kommt von der Koszul-Auflösung von I = im(O(-m) oplus O(-n) --> O),
  getwistet um k. Beachte: Lambda^2(O(-m) oplus O(-n)) ~~ O(-m) tensor O(-n).)

  Nun hat man H^1(P^2, O(k-m-n)) = 0, also ist Abbildung nach I(k) hinein
  auf globalen Schnitten surjektiv. Das ist die Behauptung.

  Shafarevich (Ed.), Algebraic Geometry II, Cohomology of Algebraic Varieties,
  Seite 20.

* Auf Seite 28f. von Shafarevich steht ein Beweis des Serresschen
  Verschwindungssatzes.


=== Čech-Methoden

* http://mathoverflow.net/questions/4214/equivalence-of-grothendieck-style-versus-cech-style-sheaf-cohomology
  http://www3.nd.edu/~lnicolae/sheaves_coh.pdf

* http://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf
  http://stacks.math.columbia.edu/download/hypercovering.pdf

* http://en.wikipedia.org/wiki/%C4%8Cech_cohomology
  Unmögliche Figuren

* Stacks Project, Tag 01EQ: Habe eine natürliche Transformation
  C^*(fixe Überdeckung, __) --> RGamma(X, __) von Funktoren Mod(O_X) -->
  D^+(O_X(X)).

  Wenn H^i(U_{i_0 ... i_p}, F) = 0 für alle p >= und i > 0, sollte die
  Komponente dieser Trafo bei F ein Quasiisomorphismus sein.

  Vielleicht kann man das so zeigen: RGamma ist die Komposition der
  abgeleiteten Funktoren zu

      Mod(O_X) --vergiss--> PSh(O_X, UU) --☜^0--> Mod(O_X(X)),

  wobei PSh(O_X, UU) die Kategorie der O_X-Modulprägarben ist, welche aber nur
  auf den offenen Mengen der Überdeckung UU (und ihren Schnitten) zu definiert
  sein müssen.

  Um den Vergleich zum Stacks Project zu ziehen, hilft vielleicht, dass der
  Funktor PSh(X) --> PSh(UU) exakt ist.


=== Französische Adjektive

* flabby: Restriktionsabbildungen F(X) --> F(U), U offen, sind alle surjektiv.

* Flabby Garben sind Gamma-azyklisch.

* Injektive Garben in AbSh(X) sind alle flabby.
  Iversen, Thm. 3.5, Seite 93.

* Auf lokal noetherschen Schemata sind wohl die Halme injektiver Modulgarben
  wieder injektiv. Steht in Tohoku, Prop. 4.1.2, Seite 70.


=== Kohomologie mit kompaktem Träger

Literatur: Iversen.
Siehe auch:
https://amathew.wordpress.com/2011/06/15/verdier-duality-on-manifolds-how-to-get-classical-algebraic-topology-from-the-derived-category-stuff/

* Sei X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Sei omega_X die
  Orientierungsgarbe, das ist die Vergarbung der Prägarbe
  (U |-> H^n_c(U, k)) -- und tatsächlich ist das sogar selbst schon eine Garbe.

* Dann hat man H_c^r(X, k)^ = H^{n-r}(X, omega_X).

* Wenn X orientierbar ist, ist omega_X die konstante Garbe k;
  so erhält man Poincaré-Dualität zurück.


=== Dimensiontheorie

* In Grothendiecks Tohoku-Artikel steht (Kor. vor Thm. 3.6.5):
  Unter gewissen Voraussetzung genügt für dim(X) <= n, dass H^{>n}(X, Z_U) = 0
  für alle offenen Teilmengen U.


=== Die tolle lokal-zu-global Spektralsequenz

* H^p(X, EXT^q(A, B)) ==> Ext^n(A, B).

* Sei A eine lokal freie Garbe. Dann ist HOM(A, __) exact.
  Also verschwinden die höheren EXT^n(A, __).
  Die lokal-zu-global Spektralsequenz sagt dann:
      Ext^p(A, B) = H^p(X, HOM(A, B)).


=== Fixpunktformeln

http://math.univ-lyon1.fr/~fu/Exposes/PointFixe.pdf
von Lie Fu


=== Normalisierung einer Kurve

Sei n : C' --> C die Normalisierung einer Kurve C.

Dann zeigt die Leray-Spektralsequenz, dass R^i c_* O_{C'} = 0 für i > 0.
Also ist H^1(C, O_C) --> H^1(C, R n_* O_{C'}) surjektiv.


=== Kohomologiegarbe (Felix)

Sei E^* ein Komplex von (o.E.) injektiven Garben.

Dann gibt es H^n(E^*) = ker/im.

Auch gibt es die Garbifizierung der Prägarbe

    U |--> HH^n(U, E^*).

Diese beiden sind gleich.

Funktioniert dann natürlich auch für allgemeine Komplexe.


=== Nächste Schritte

* Was besagt das klassische Resultat für Ext^i auf P^n anschaulich?
* Welche der Kategorien Mod(O_X), Qcoh(O_X), Coh(O_X) besitzen genügend
  viele Injektive und Projektive, und weshalb?
* Welche Bedeutung hat es, dass H^* mit |_U kommutiert?
  Hat das überhaupt was mit Garbenkohomologie zu tun?

* Verstehen: Deformations are cohomological, M. Anel.

* Kokern-Beispiel oben nachrechnen.


=== Siehe auch

* http://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/ParkC/chB.ps
  Schöne Erklärungen

* https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256B/notes/cheat-cohom.pdf
  sagt auch was zu Riemann-Roch

* http://stacks.math.columbia.edu/download/coherent.pdf
  all-in-one result for projective space over a Noetherian ring

* Von Ariyan sehr empfohlen: Serre. Coherent Algebraic Sheaves.
  http://students.mimuw.edu.pl/~pta/fac/fac.pdf

* https://math.mit.edu/~notzeb/sheaf-coh.pdf