funktionalanalysis.txt

=== Räume stetiger Funktionen

* Wikipedia (/Banachraum/) sagt: Genau dann sind C^0(K) und C^0(L) zueinander
  isomorph, wenn K und L zueinander homöomorph sind. Dabei müssen K und L
  kompakte Hausdorffräume sein. Es stimmt nicht mehr, wenn sie es nicht sind.

  Stimmt das? Das Theorem von Milutin scheint dem zu widersprechen.


=== Isomorphie zwischen unendlichdimensionalen Banachräumen

C^1 ~~ C^0 x R^n, vermöge f |--> (f', f(0)).

Genauso mit H^1 und H^0 = L^2.

Philipp: "Von daher ist es also sehr anschaulich, dass C^1 und C^0 sehr "ähnlich
groß" sind: Jede C^1 Funktion besteht zwar aus zwei C^0-Funktionen (sich
selbst und ihre Ableitung), aber die geteilte Information ist größtenteils
redundant."


=== Distributionen

* Bernd Schmidt: "Man kann jede Funktion ableiten."

* Distributionen bilden tendenziell Koalgebren:
  https://qchu.wordpress.com/2016/03/19/coalgebras-of-distributions/

* https://drive.google.com/file/d/1iFz3n8gnOKLTL-sPqdFT_0N7Va0cvtjC/view
  Paolo Giordano, A conceptual introduction to Schwartz distributions
  and Colombeau generalized functions, ko-universelle Lösung


=== Absolutstetige Funktionen

Nach Wikipedia ist eine Funktion f : [a,b] --> R genau dann absolutstetig, wenn
eine Lebesgue-integrierbare Funktion g : [a,b] --> R mit

    f(x) = f(a) + int_a^x g(t) dt

für alle x in [a,b] existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn f fast überall
ableitbar ist, die Ableitung f' Lebesgue-integrierbar ist und

    f(x) = f(a) + int_a^x f'(t) dt

für alle x in [a,b] gilt.

Damit zeigt man: AC([a,b]) ist (nicht-isometrisch) isomorph zu W^{1,1}([0,1]):

    Sei f : [a,b] --> R absolutstetig. Dann ist f stetig und daher
    Lebesgue-integrierbar (das Intervall hat beschränktes Maß). Ferner ist f
    schwach differenzierbar, mit schwacher Ableitung gleich der (fast überall
    existenten) klassischen Ableitung (Thm. 6 in
    http://people.hss.caltech.edu/~kcb/Notes/IntegrationbyParts.pdf). Diese ist
    wieder Lebesgue-integrierbar, also L^1.

    Umgekehrt ist eine W^{1,1}-Funktion stetig (nach Abänderung) und die
    schwache Ableitung ist als "g" in der Charakterisierung oben tauglich.


=== Schwache Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen

Wikipedia (Carathéodory's existence theorem):

    Wir betrachten die DGL y'(t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0,
    wobei f auf einem Rechteck { (t,y) | |t-t0| <= a, |y-y0| <= b }
    definiert sein muss. Wenn f folgende drei Bedingungen erfüllt,
    dann gibt es in einer Umgebung von (t0,y0) eine absolutstetige Funktion y,
    die die Anfangsbedingung erfüllt und die Differentialgleichung fast überall
    erfüllt.

    1. f(t,y) ist stetig in y für jedes fixe t.
    2. f(t,y) ist messbar in t für jedes fixe y.
    3. Es gibt eine Lebesgue-integrierbare Funktion m(t), |t-t0| <= a, mit
       |f(t,y)| <= m(t) für alle (t,y) im Rechteck.

Die Lösung y ist dann also auch eine W^{1,1}-Funktion. Und die schwache
Ableitung erfüllt fast überall die Differentialgleichung.