frobenius.txt

=== Definition (nach Hartshorne, nicht Liu)

Sei X ein Schema über k, char k = p. Der Frobeniusmorphismus

    F : X ---> X

ist topologisch die Identität und ringtheoretisch durch Potenzieren mit p
gegeben.

Achtung: F ist kein Morphismus über k.


=== X_p

Sei pi : X --> k der Strukturmorphismus. Dann gilt pi . F = F . pi.

Wenn man daher X_p als (X --> k --> k) definiert, wird

    F' : X_p ---> X

zu einem Morphismus über k.


=== Beispiel: X = Spec A

Dann wird F : X --> X induziert durch A --> A, a |-> a^p.

X_p ist dann vermöge des Identitätsmorphismus über k isomorph zu
Spec A_p, wobei A_p als Ring einfach A ist, aber die k-Struktur durch
Potenzieren mit p verändert wurde.

Falls k perfekt ist, ist Spec k[x]/(f) k-isomorph zu (Spec k[x]/(g))_p, wobei die
Koeffizienten von g die mit p potenzierten Koeffizienten von f sind. Sei etwa
speziell X = Spec k[x]. Dann ist unter diesem Isomorphismus F' gegeben durch
den Ringmorphismus f(x) |--> f(x^p). (Ohne den Isomorphismus potenziert er auch
noch die Koeffizienten, ist also durch f(x) |--> f(x)^p gegeben.)

Falls k nicht unbedingt perfekt ist, ist (Spec k[x]/(g))_p k-isomorph zu
Spec k^(1/p)[x]/(f), wobei die Koeffizienten von f die p-ten Wurzeln der
Koeffizienten von g sind.


=== Beispiel: X Kurve

Sei K der Funktionskörper von X, ist natürlich sogar eine k-Algebra.

Der Funktionskörper von X_p ist als Körper natürlich einfach K. Aber die
k-Struktur ist durch Potenzieren mit p gegeben. Als k-Algebren gilt also:

    K(X_p) ~~ K' ~~ K^(1/p).

Der Frobeniusmorphismus F' : X_p --> X induziert die Körpererweiterung

    K(X) ---> K(X_p), u |--> u^p.

Unter dem Isomorphismus ist das einfach die kanonische Inklusion

    K ---> K^(1/p), u |--> u.

Laut Hartshorne ist der Grad von F' stets p. Das ist etwas spezielles mit
Kurven.


=== Algebra

* Sei Omega ein algebraisch abgeschlossener Oberkörper eines Körpers K der
  Charakteristik p. Sei K^(1/p) die Menge derjenigen Zahlen aus K, deren p-te
  Potenz in K liegt. Dann sind K^(1/p) und K als Körper vermöge der Abbildung

      x |--> x^p

  isomorph. Diese ist ein Ringmorphismus, aber kein Morphismus von
  F_p-Algebren.

* Sei K Oberkörper von k der Charakteristik p.
  Sei K' als Körper K, aber mit k-Algebrenstruktur durch den Frobenius.

  Dann ist K' als k-Algebra isomorph zu K^(1/p) (mit seiner von K induzierten
  k-Struktur):

      K^(1/p) ---> K'
            u |--> u^p

* Falls k perfekt ist, ist koeffizientenweises Potenzieren mit p ein
  k-Isomorphismus k[x]/(f) --> k[x]/(g)', wobei die Koeffizienten von g die mit p
  potenzierten Koeffizienten von f sind.

* K^(1/p) kann über K vermutlich jeden beliebigen Grad haben. Wenn aber
  K = k(x), dann ist K^(1/p) = k^(1/p)(x^(1/p)) und hat daher Grad p,
  das Minimalpolynom ist X^p - x.

* Sei V ein k-Vektorraum. Sei V' = V, aber mit k-Struktur durch den Frobenius.
  Dann gilt:

      dim_k V' = dim_{k^p} V = dim_k(V) * [k : k^p].

  Falls k perfekt ist, ist die kanonische Inklusion k^p --> k (nur einbetten,
  nicht p-te Wurzel ziehen!) bijektiv und daher gilt dann

      dim_k V' = dim_k V.


=== Ein Motto

Der Frobenius kommutiert mit allem.
http://sbseminar.wordpress.com/2009/05/21/the-grothendieck-trace-formula-as-categorification-ii/