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=== Darstellung durch Fourier-Mukai-Kerne
* Jeder volltreue Funktor zwischen den beschränkten derivierten Kategorien
zusammenhängender glatter projektiver Schemata über C wird von einem bis auf
Isomorphie eindeutigen Fourier-Mukai-Kern induziert. Siehe Hille, van den Bergh.
* Das kann man nutzen, um die die Äquivalenzen zu klassifizieren.
* Aber auch, um Äquivalenzen weitere Isos, zwischen verwandten Invarianten der
beteiligten Schemata, induzieren zu lassen.
Zum Beispiel kann man einen Iso H^*(X, Q) --> H^*(Y, Q) erhalten, indem man
mit ch'_{X x Y}(P) kernelt. Dabei ist P der Fourier-Mukai-Kern der
untersuchten Äquivalenz und ch' = ch(__) . Td(Y)^{1/2}.
Außerdem folgt, dass der Iso auf H^ eine etwa komische Graduierung bewahrt.
Das steht auch in Hille, van den Bergh.
* Außerdem kann man eine Äquivalenz D^b(X) --> D^b(Y) auf Familien ausdehnen:
D^b(X_S) --> D^b(Y_S).
* Achtung! Ein Morphismus zwischen Kernen kann nichttrivial sein, aber den
Nullmorphismus zwischen den zugehörigen Funktoren induzieren.
Siehe Huybrechts, Seite 120.
=== Invarianten, die von derivierten Äquivalenzen bewahrt werden
* D^b(X), d'oh.
* die Euler-Form auf K(X) (mit Werten in Z).
* siehe auch bei den Vorteilen der Darstellung durch Kerne.
* im glatten projektiven Fall: die kanonischen und antikanonischen Algebren.
* Man definiert Aut^0(D^b(X)) als diejenige Untergruppe von Aut(D^b(X)),
die auf der Kohomologie trivial wirkt (unter Berücksichtigung der
Hodge-Struktur). http://www.math.uni-hamburg.de/home/pumperla/LucidiHamburg.pdf
So erhält man eine kurze exakte Sequenz, in die Aut(D^b(X)) hereinpasst.
(Seite 41 dieses Foliensatzes.)
=== Beispiele für Kerne
* FM(O_Delta) = Id. Denn:
pi2_*(O_Delta tensor pi1^*(E)) = pi2_*(Delta_*(O_X tensor Delta^*(pi1^*(E)))) =
id_*(O_X tensor id^*(E)) = E.
(Wieso ist Delta : X --> X x X eigentlich? Wegen Liu, Prop. 3.16, Seite 104:
Nachschaltung mit dem separierten (wieso?) Morphismus pr_1 : X x X --> X ist
eigentlich.)
* FM((id & f)_* O_X) = f_*. Mit demselben Argument.
(Wieso ist (id & f) : X --> X x Y eigentlich? Und ist das eine abgeschlossene
Immersion, sodass man zu (id & f)_* O_X auch guten Gewissens mit "Gamma_f"
bezeichnen kann?)
* FM(O_Delta[n]) = __[n].
Denn O_X[n] tensor E = E[n]. (Abgeleitetes Tensorprodukt vertauscht mit
Shifts.)
Korollar: Serre-Funktoren vertauschen mit Shifts. (Ist evtl. auch nach
Definition so.)
=== String-Notation fürs Rechnen mit Kernen
* The Mukai pairing, I: a categorical approach.
http://arxiv.org/pdf/0707.2052.pdf
=== In der dg-Welt
* Jedes Objekt P in D^b(X x Y) sollte auch einen Funktor zwischen den
dg-Kategorien D_dg(X) und D_dg(Y) induzieren.
* Wenn X glatt und projektiv ist -- und daher jede derivierte Äquivalenz
von FM-Typ ist --, sollte die so erhaltene Abbildung Aut D^b(X) --> Aut D^b_dg(X)
auch surjektiv sein, dank Toëns fundamentales Resultat. Brauche dazu, dass
[RHom(C, D)] = Hom(C, D).
=== Nächste Schritte
* X ~~ Proj(\bigoplus_k H^0(X, omega_X^k)) für X glatt, projektiv, omega_X ampel. Wieso?
(Stichwort: "kanonischer Ring")
* Bondal und Orlov verstehen. Evtl. auch Verallg. von Kawamata ansehen.
* Beispiel 4.15 nachvollziehen (induzierte Äquivalenzen von D^bX)
und sehr gut verstehen. ...anschaulich?
* Gruppendarstellung von Aut(D^b X)?
* Was sind Korrespondenzen bei Kohomologietheorien?
(Hintergrund: Fourier-Mukai-Transformationen sind derivierte Versionen davon.)
Hängt das mit Spännen zusammen?
* Was passiert eigentlich mit den Resultaten aus Huy für die "richtige"
derivierte dg-Kategorie?
* Allgemein: Was geht bei Varietäten, die nicht glatt und projektiv sind,
schief? (Glaube, omega_X bzw. den Serrefunktor trifft es besonders.)
* Habe Funktor D^b(X x Y) --> [D^b(X), D^b(Y)]? Was weiß ich über den?
Wann sind zwei FKT zueinander isomorph?
* Quelle 82 in Huy: Analogie zu L^2.
* Bsp. 5.15 in Huy verstehen (zumindest nachvollziehen).
* Kann man allgemeine Eulerzahltheorie auf D^b(X) anwenden?
=== Analogie zur klassischen Fouriertransformation
* Die Formel für die Verkettung ist in perfekter Analogie zur klassischen Formel.
Was passiert, wenn man Wolkenkratzergarben als Kerne nimmt?
Übersetzt sich Dualisieren wirklich zu Kehrwert bilden?
Gibt es eine Analogie zu den Links- und Rechtsadjungierten?
Gibt es ein Analogon zur Auflösung der Diagonale?
=== Nächste Schritte
* Analogie-Tabelle anlegen und -Fragen klären
=== Literatur
* Huybrechts.
* Bartocci et al, Fourier-Mukai and Nahm Transforms in Geometry and
Mathematical Physics.
Enthält ausführliche Beweise der üblichen tiefen Resultate von Orlov.
file:///home/iblech/Downloads/9780817632465-c1%20(1).pdf
* http://arxiv.org/abs/1004.3052
On adjunctions for Fourier-Mukai transforms
Da steht: Die Koeins von einer Adjunktion zwischen zwei FM-Funktoren wird von
Abbildungen zwischen den Kernen induziert.
* https://arxiv.org/abs/2003.13023 Konstruktiv, Sebastian Posur [Tag: Barakat]