faeden.txt

=== dg

* http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf ab Seite ca. 37.

* Quellen [16] und [44] in http://arxiv.org/pdf/1108.3787v1.pdf
  beschreiben, wie man auf dg-Niveau Verdier-Quotienten bildet und welche
  universelle Eigenschaft das hat.

* http://arxiv.org/pdf/math/0408337v7.pdf

* http://www.hamilton.tcd.ie/events/swisk.pdf

* http://www-home.math.uwo.ca/~mfrankla/HomotopySem/ToenVaquie_ModuliObjDGCats.pdf

* http://mathoverflow.net/users/350/reid-barton

* http://mathoverflow.net/questions/89182/why-the-concept-of-compactly-or-well-generated-in-triangulated-categories-is?rq=1


=== Derivierte Kategorie konstruktiv

* http://arxiv.org/pdf/math/0506391v2.pdf Ein explizites Verfahren, um
  direkte Bilder von Garben auf P^n_A zu berechnen (als Moduln über A).

* Dynamische Injektive: Genügt meine naive Definition, um injektive Auflösungen
  samt ihrer Standardeigenschaften zu basteln?

* Gibt es vielleicht genügend viele Injektive, wenn ich den Topos wechsle?
  So wie beim algebraischen Abschluss? Oder bei der universellen Lokalisierung?

* Sei A eine endlich-präsentierte k-Algebra. Hilft die endliche Präsentation,
  um in Mod(A) Ext'e zu berechnen? Ist Mod(A) vielleicht ein Kolimes über
  einfachere Kategorien?

* Hilft mir die Auflösung, die Andi verwendet hat?

* Hilft D(A) = K(A)/azykl zur Implementierung?

* Wie rechnet Barakat in abgeleiteten Kategorien?

* Numerically finite hereditary categories with Serre duality
  http://arxiv.org/abs/1304.0257


=== Kompakte Objekte

* Triangulated categories, London Mathematical Society lecture note series, 375.
  Seite 203 und Umfeld.

* http://www.math.uni-bielefeld.de/~hkrause/nantes_notes.pdf

* http://people.maths.ox.ac.uk/rouquier/papers/leeds.pdf
  auch perfekte Komplexe, Gabriel-Rekonstruktion, Serresche Unterkategorien von
  Coh(X), ...

* http://eprints.ma.man.ac.uk/1411/01/ShfifTorsTh.pdf
  Mod(O_X) endlich präsentiert

* http://www.recercat.net/bitstream/handle/2072/9181/pr791?sequence=1
  Derived categories and Grothendieck duality, Neeman.


=== Symmetrische Produkte

* http://math.stackexchange.com/questions/551775/pushforward-commutes-with-external-tensor-product

* Hilbert--Chow auf Niveau der derivierten Kategorien?

* Wie sieht unter D_{S_2}(P^1 x P^1) = D(P^2) die Garbe O(-1) boxtensor O(-1) aus?
  Antwort: ziemlich sicher O(-1), siehe symmetrische-produkte-von-raeumen.txt.


=== Erzeuger und Relationen

* http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm86/cm86112.pdf
  Hier wird Aut(K_0(A)) beschrieben, um an Aut(D^b(A)) zu kommen.

* Unter gewissen Voraussetzungen ist die K-Theorie stets frei:
  https://books.google.de/books?id=aOAFCAAAQBAJ&pg=PA290&lpg=PA290&dq=k-theory+%22euler+form%22&source=bl&ots=SoLTRLS797&sig=MVe8m5mlo8fBpVut5IobUSz06LY&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwiLmsO3goXLAhUmIpoKHZ-nAS4Q6AEIGTAC#v=onepage&q=k-theory%20%22euler%20form%22&f=false

  Lerne ein paar Beispiele für nichttriviale, nicht-freie K-Gruppen!

* Computational Methods for Representations of Groups and Algebras

* Beschreibe abelsche Kategorien oder triangulierte Kategorien als
  klassifizierende Kategorien von geeigneten Theorien!

* Lese Caramellos Konstruktion einer syntaktischen triangulierten Kategorie:
  http://arxiv.org/abs/1507.06271.

* D^b(Vect_k^fd) sollte freie k-lineare triangulierte Kategorie auf einem
  Objekt sein.

  Für volle starke exzeptionelle Sequenzen habe Äquivalenz zur derivierten
  Kategorie des Endomorphismenrings.

  Ohne Starkheit habe immer noch eine dg-Algebra.

  Und ganz allgemein? Bette die ersten drei, bekannten, Fälle in das Framework
  von Caramello ein!

  Auch "localisation sequences" sollten eine Rolle spielen. Siehe zum Beispiel
  http://arxiv.org/pdf/1409.7051v3.pdf. Ebenso die "starken Erzeuger
  triangulierter Kategorien" (siehe letzter Absatz in
  http://arxiv.org/pdf/1111.2220v1.pdf).

  Ein Problem gibt es: D^b(Coh(A)) hat einen super expliziten Erzeuger, nämlich A.
  Und man kennt alles über End(A). Trotzdem kann K(Coh(A)) sehr kompliziert
  sein! Vielleicht gibt es das Problem im K-linearen Fall aber weniger.

* Was ist Aut(R Gamma)?

* Sei X projektiv von Dimension d. Sei L ein amples, global erzeugtes
  Geradenbündel. Dann split-erzeugen O, L, L^2, ..., L^d die derivierte
  Kategorie der perfekten Komplexe (und auch die unbeschränkte derivierte
  Kategorie). Damit ist E = oplus L^i ein Erzeuger, der aber natürlich höhere
  Selbst-Exte haben kann -- anders, als bei einer starken exzeptionellen
  Sequenz. Somit ist dann Perf(X) äquivalent zu Perf(A), wobei A = RHom(E,E).

  Bestimmt kann ich so recht explizite Erzeuger für alle möglichen von D^b(X)
  abgeleiteten Kategorien (ha!) finden. Damit reduziert sich das Problem dazu,
  mit der perfekten derivierten Kategorie einer dg-Kategorie umgehen zu können.
  (Update: Meine vermutlich dg-Algebra.)
  http://mathoverflow.net/a/26030/31233
  http://mathoverflow.net/q/35863/31233

* Krull-Schmidt-Kategorien

* Wie kann man eine dg-Kategorie präsentieren, um in ihr Berechnungen
  anstellen zu können? (Insbesondere Ext-Gruppen; was bedeutet das?)

* Wie erhält man aus einer geeigneten Präsentation von D(X) eine
  von S^n D(X)?

* Wieso vertauschen S^n und D? Wieso also gilt D(S^n Coh) = S^n D(Coh)?
  Das steht natürlich in Kapranov/Ganter.

* Was muss man über die Objekte in einer exzeptionellen Sequenz wissen,
  um die derivierte Kategorie rekonstruieren zu können?

* In http://arxiv.org/pdf/1212.4604.pdf (Ploog und Sosna) gibt es
  einen Literaturverweis auf Kuznetsov, /Base change for semiorthogonal
  decompositions/. In diesem wird wohl verraten, was Erzeuger von K(X x X)
  und K_{S_2}(X x X) sind!

* Sichten: http://arxiv.org/abs/1412.1615
  On purity and applications to coderived and singularity categories
  Jan Stovicek

* Was muss ich von einer abelschen Kategorie wissen, um Klassen
  in K-Theorie berechnen zu können?

* THE HALL ALGEBRA OF A SPHERICAL OBJECT. http://arxiv.org/pdf/0810.5546.pdf

* http://arxiv.org/pdf/1404.2105v1.pdf von Sosna und Andi.
  Dort wird behauptet, dass D^b(X^[n]) "viele" semi-orthogonale Zerlegungen
  zulässt. Und dass, wenn D^b(X) eine volle exzeptionelle Sequenz zulässt, dann
  auch D^b(X^[n]). (Seltsam: Wenn X eine K3-Fläche ist, dann sind doch X und
  X^[n] Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Daher sollte der Anwendungsbereich
  dieser Aussagen sehr begrenzt sein.)

* Idee: dg-D(colim ...) = lim dg-D(...); das ist ja bekannt.
  Vielleicht liefert das auf H^0 nur noch eine Art
  Homotopielimes/Spektralsequenz.


=== Derivierte Automorphismen

* http://arxiv.org/pdf/1411.0824v1.pdf (Andi Krug!)

* http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~sarti/BNWS_SmithIHS_final.pdf
* http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~sarti/BCNS_Hilb2K3.pdf


=== Hilbertschema

* http://www.northeastern.edu/iloseu/Barbara_14_complete.pdf

* http://arxiv.org/pdf/math/0504590.pdf Konstruktion von Hilb und Co.,
  evtl. auch intern nützlich.

* http://mathoverflow.net/questions/134690/line-bundles-on-symmetric-product-of-a-curve
  nachvollziehen.

* Andis Lecture anschauen: https://www.youtube.com/watch?v=UdZ32NPfdtk

* https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/hilb-qtcat/discrete-math.pdf

* Gerahmte Bündel, siehe Nakajima.

* https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/newt-sf-2001/newt.pdf
  sehr einladend. Lesen.

* X^[n] als Aufblasung.
  http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/bertin_rev.pdf
  Nakajima, Seite 5.

* Wie wirkt die Heisenberg-Algebra auf Kohomologie? Das könnte interessant
  sein, mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und so.
  Siehe zum Beispiel http://arxiv.org/abs/0904.1679, aber es könnte bessere
  Quellen geben (Simons Masterarbeit)?

* Lectures ansehen.

* Andrejewski-Tag eintippen.


=== Unendlich-Kategorien und Modellkategorien

* http://docenti.math.unipd.it/dagnolo/Padova2014/slides/cisinski.pdf
  durcharbeiten


=== Kleine Hausaufgaben

* Topologische Filtrierung von K(X) nachsehen.
* Wie sieht S^2(A^2) aus? Wo hat es Singularitäten? Siehe symmetrische-produkte-von-raeumen.txt.
* Stimmt es, dass D^-(P) = K^-(P)?
* Welche Art von Lemma der Form "f = 0 : X --> Y  <==>  Y --> C(f) Iso" gilt?
* Grundwissen über Regularität von Ringen lernen.
* Auf Seite 9 von http://www.mathematik.uni-kl.de/~spaeth/charsheaves/PDF/mcgerty.pdf
  steht eine Art Euler-Charakteristik, die angeblich multiplikativ ist.
* L Geradenbündel: Hom(k(x), L) = 0, Ext^1(k(x), L) erzeugt durch
  0 --> L --> L(x) --> k(x) --> 0. (Huybrechts Seite 170)
* E tensor E = O(1), wenn E der exzeptionelle Divisor auf der Aufblasung
  bezeichnet. Stimmt das? Behauptet Haiman auf Seite 205 von
  https://math.berkeley.edu/~mhaiman/ftp/hilb-qtcat/discrete-math.pdf.
* Orthogonales Komplement von C ist Null ==> C erzeugt die derivierte Kategorie.
  Wird etwa in Huybrechts, Seite 182 behauptet.
* BGG-Korrespondenz modern verstehen.
* Was ist die Konormalgarbe im Fall V(xy) <= A^2?


=== Interne Methoden

* "More generally, in EGA IV, 17.9.1 it is proven that a morphism of schemes is
  an open immersion if and only if it is flat, a (categorical) monomorphism and
  locally of finite presentation." http://mathoverflow.net/a/20792/31233

* Surjektivität von Schemamorphismen vs. Epimorphie der zugehörigen Morphismen
  zwischen den Punktefunktoren; vgl. Marcs Skript.

* http://mathoverflow.net/questions/20622/construction-of-the-petit-zariski-topos-out-of-the-gros-topos-of-a-scheme
  korrigieren (insb. allg. Fall ergänzen)

* http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/eatcs.pdf: Geometrische Morphismen
  bewahren "existenzielle Fixpunktlogik"!

* Überlege, was man konstruktiv wirklich benötigt, um zu zeigen, dass
  der Pushforward einer welken Garbe welk ist. Vielleicht benötigt man, dass
  die Abbildung, längs der man vordrückt, abgeschlossen ist?

* Kann man konstruktiv eine nichttriviale injektive Gruppe hinschreiben?
  Update: Nein! Andreas Blass, https://www.jstor.org/stable/1998165.
  Wie sieht's mit Welkheit aus?

* Die internen Charakterisierungen von Quasikohärenz und Welkheit sind sich so
  ähnlich! Kann man damit etwas anstellen?

* Woher weiß man denn, wie Limiten und Kolimiten in QCoh(X) (im Vergleich zu
  Mod(O_X)) berechnet werden? Natürlich spielt da der Kohärator eine Rolle. Das
  intern verstehen!

* Dass "oft" auf Affinen einfach, könnte damit zusammenhängen, dass Affine
  kohomologisch trivial sind (-- für quasikohärente Modulgarben).

* Tabareau, Quirin: Sheaves in Homotopy Type Theory.
  Das zitieren, und zwar im Umfeld der Box-Übersetzung.

* Habe: Wenn E |= phi, dann F |= f^*(phi), falls F --> E geometrischer Morphismus.

  Kann ich das intern verstehen? Mit der Box-Übersetzungstheorie?

  Klar: Das ist doch nur die Internalisierung von "Wenn phi, dann gilt auch phi
  in Sh(X), wenn man phi auf die induzierten konstanten Garben beziehen lässt".
  Aber wo geht da die Geometrizität von phi ein?

* Versuche, das garbentheoretische Quasikohärenzkriterium herzuleiten aus
  der internen Charakterisierung über "F qcoh <==> ex. M lokal konstant: F ~~
  M[S^{-1}]".

* Sh(Spec A) und M~ sind absolut klar konstruktiv formulierbar.
  Vielleicht sollte ich daher mit lokal geringten Topoi statt lokal geringten
  Örtlichkeiten arbeiten. Jup, sollte man. Logisch.

* Korrektur von Kapitel 11 (relatives Spektrum) abtippen.

* Mal klar und übersichtlich aufschreiben: Welche Voraussetzungen benötigt
  man, damit

  ... U |-> { f : A --> U | A |== f^*(phi) } ein Funktor ist?
  ... eine Garbe ist?
  ... darstellbar ist?
  ... diese Zuordnung von Formeln zu Prägarben sound bezüglich
      intuitionistischer Logik ist?


=== Sonstiges

* AlgGeo-Buch von Waterhouse anschauen, macht wohl den Punktefunktoransatz
* f^*(A) --> bigoplus_n L^(tensor n) sodass f^*(A_1) --> L surjektiv ist
* Derived Functors in Functional Analysis (insb. Limes-Funktor)
* Chinesischen Restsatz als Garbenbedingung auf abgeschlossenen Mengen verstehen
* http://www-personal.umich.edu/~bhattb/teaching/mat731fall2011/ex3.pdf
  und weitere Übungsblätter sichten
* Projekt mit Meru
* http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/30/theme-and-variations-schroeder-bernstein/
  Injektion von Z*Z*Z in Z*Z
* Was sind Spektralsequenzen wirklich? (Denke an infty-Kategorien und Lurie.)
* http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404982900305
* http://nforum.mathforge.org/discussion/6376/coend-calculus/#Item_0
* Coherent sheaves on an elliptic curve. Brüning, Burban.
* Kleine Topoi in Punktefunktor-Sicht

* http://arxiv.org/abs/1408.0952
  A Primer on Reproducing Kernel Hilbert Spaces

* http://arxiv.org/abs/1407.1954
  Calling a spade a spade: Mathematics in the new pattern of division of labour
  Alexandre V. Borovik

* http://arxiv.org/abs/1412.8692
  General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities
  Olivia Caramello, Vincenzo Marra, Luca Spada

* Patrick Roocks, http://www.springerlink.com/content/5lq21m6660j38412/,
  Wolfram Kahl.

* Leisure and boredom. Journal of Social and Clinical Psychology.
* Perceptions of boredom in leisure: Conceptualization, reliability and
  validity of the Leisure Boredom Scale. Journal of Leisure Research.

* http://mathoverflow.net/questions/142217/barrs-theorem-and-constructivity

* http://mathoverflow.net/questions/125200/coboundaries-and-gluing-in-cech-cohomology-intuition

* "Explain that coherent sheaves are generically free, and use this to prove
  things like generic smoothness of varieties (by applying it to the tangent
  sheaf)." http://mathoverflow.net/a/28633/31233

* Verstehen, was K_0 und K^0 der affinen Gerade mit doppeltem Ursprung ist.

* http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864107001113?np=y
  A constructive and functorial embedding of locally compact metric spaces into
  locales


=== Online

* https://github.com/KevinQuirin/sheafification/blob/master/paper/sheaf_lics.tex

* http://math.stackexchange.com/questions/308302/freyds-geometric-finiteness-an-example-computation

* http://math.stackexchange.com/questions/310465/is-this-thing-k-finite

* Kaplansky auf nLab

* http://math.stackexchange.com/a/1119986/61604


=== Ultra-Sonstiges

* Was ist End(Omega)^ab?

* Symmetric monad (Elephant); Elphant S. 1000 (Charakterisierung von de Morgan).

* Die infty-Kategorie D(X) ist kein infty-Topos. Aber Sh(X) natürlich schon.
  Man könnte also HoTT verwenden, um in Sh(X) zu arbeiten. D(X) ist darin die
  Kategorie der O_X-Modultypen. Klappt das? Hilft das was?

* Programmieren ist allgemeiner als Beweisen. Denn man kann Programme
  schreiben, deren Terminierung man nur klassisch zeigen kann.

* Sichten:

  http://ncatlab.org/nlab/show/monadicity+theorem
  MO, why are monads useful?

  http://ncatlab.org/nlab/show/computad

* Marc sagt: Mit NSA-Methoden kann man auch algebraische Abschlüsse
  konstruieren.

* Joel Friedman - Sheaves on Graphs, L^2 Betti Numbers, and Applications.
  https://www.youtube.com/watch?v=qkFmcs9Kz6E

* http://arxiv.org/abs/1503.04348
  The reals as rational Cauchy filters

* Ist in der Masterarbeit die Möglichkeit des Zorn-Verzichts dokumentiert?

* http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/S0025-5718-99-01116-3.pdf
  7 373 170 279 850
  Sollte man die Studie mit modernen Computern wiederholen?