erzeuger-und-relationen.txt

* Wenn X qc, qs: Qcoh(X) ~ Ind(Coh(X)).
  http://mathoverflow.net/questions/39941/does-qcohx-admit-a-generating-set/39952#39952

* https://amathew.wordpress.com/2011/07/30/quasi-coherent-sheaves-presentable-categories-and-a-result-of-gabber/

* http://mathoverflow.net/questions/55735/description-of-quasi-coherent-modules-on-a-product
  Ben-Zvi

  Thus the (enhanced) derived category is just dg modules over the ext algebra
  of this generator (or over the small category of generators). Now it's easy
  to see that the external product of generators is a generator for the
  product. Hence sheaves on the product are modules for the tensor product of
  the dg algebras, ie sheaves on the product are the tensor product of
  categories of sheaves on each factor.

* Estrada, Saorín. Locally finitely presented categories with no flat objects.
  Hat in der Einleitung viele Literaturverweise!


=== Konvexe Mengen

Konvexe Mengen können ja über ihre extremalen Punkte erzeugt werden.

Das besitzt eine kategorielle Interpretation. Stichwörter "canonical subset of
generators", "cConv -> cHaus ist monadisch", ... Siehe /Algebraic categories
whose projectives are explicitly free/ von Matías Menni.


=== Lokal endlich präsentierbare Kategorien

Motto: Large categories whose objects arise from small generators under small
relations.

Definition: Eine Kategorie C heißt lokal endlich präsentierbar, wenn:
(1) C besitzt kleine Kolimiten.
(2) C_fp ist wesentlich klein.
(3) Jedes Objekt X ist filtrierter Kolimes des kanonischen Diagramms
    C_fp/X --> C.

Dabei bezeichnet C_fp die volle Unterkategorie der kompakten Objekte X (die,
für die Hom(X, __) mit filtrierten Kolimiten vertauscht).

Äquivalent ist:
(1) C_fp besitzt endliche Kolimiten.
(2) Die eingeschränkte Yoneda-Einbettung C --> [C_fp^op, Set] identifiziert C
    mit den "linksexakten" (d.h. endliche Limiten bewahrenden) Funktoren
    C_fp^op --> Set.

Außerdem äquivalent:
(1) C ist kappa-zugänglich.
(2) C besitzt kleine Kolimiten,
    oder: C besitzt kappa-Kolimiten,
    oder: C besitzt kleine Limiten.

Außerdem äquivalent:
(1) C ist äquivalent zu einer Kategorie Mengen-wertiger Modelle eines
    Limesentwurfs, dessen Limes-Diagramme alle endlich sind.

Das Diagramm oben ist stets filtriert (wenn C endliche Kolimiten besitzt):
* Denn das initiale Objekt ist kompakt.
* Koprodukte von kompakten Objekten sind kompakt.
* Kodifferenzkerne zwischen kompakten Objekten sind kompakt.

Prop.: Sei D kleine volle Unterkategorie von C. Dann erhält die eingeschränkte
Yoneda-Einbettung C --> Set^(D^op) genau dann lambda-filtrierte Kolimiten, wenn
jedes Objekt aus D lambda-präsentierbar ist.

Prop.: Eine Kategorie ist genau dann lokal kappa-präsentierbar, wenn sie
äquivalent zur Kategorie kappa-stetiger Funktoren D^op --> Set für eine
kappa-kovollständige kleine Kategorie D ist.

Prop. (Adámek 1.64): Sind C und C^op lokal präsentierbare Kategorien, dann ist
C äquivalent zu einem vollständigen Verband.

Kor.: Nicht jede abelsche Kategorie ist lokal präsentierbar.


=== Zugängliche Kategorien

Def.: Eine Kategorie heißt kappa-zugänglich, wenn sie:
(1) lokal klein ist,
(2) kappa-filtrierte Kolimiten besitzt,
(3) eine /Menge/ kappa-präsentierter Objekte derart besitzt,
    dass jedes Objekt kappa-filtrierter Kolimes von Objekten dieser Mengen ist.

Axiom (3) sagt /nicht/, dass jedes Objekt kappa-/kleiner/ Kolimes von Objekten
dieser Menge ist. (Diese andere Aussage würde nach sich ziehen, dass überhaupt
jedes Objekt kappa-präsentiert ist.) Die kappa-präsentierten Objekte sind dann
genau die Retrakte der Objekte aus dieser Menge.

Def.: Ein kappa-Torsor auf Kategorie D ist ein Funktor D^op --> Set, der als
kappa-filtrierter Kolimes repräsentierbarer Prägarben darstellbar ist.

Bem.:
(1) Die Kategorie der kappa-Torsoren auf D ist abgeschlossen unter
    kappa-filtrierten Kolimiten in [D^op, Set].
(2) Jeder kappa-Torsor erhält kappa-kleine Limiten (da die darstellbaren
    Prägarben das tun).
(3) Ist D kappa-kovollständig und klein, so ist umgekehrt jede Prägarbe, die
    kappa-kleine Limiten bewahrt, schon ein kappa-Torsor.

Prop.: Eine Kategorie ist genau dann kappa-zugänglich, wenn sie äquivalent ist
zur Kategorie der kappa-Torsoren auf einer gewissen kleinen Kategorie.
(Also wenn sie die freie Kovervollständigung ihrer Unterkategorie der
kappa-kompakten Objekte unter kappa-filtrierten Kolimiten ist.
https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html#c046299)

Bew.: Wenn C kappa-zugänglich ist, erhält die eingeschränkte Yoneda-Einbettung
in die Prägarbenkategorie auf einem kleinen Skelett der vollen Unterkategorie
der kappa-präsentierbaren Objekte von C kappa-filtrierte Kolimiten. Das
wesentliche Bild dieser Einbettung sind genau kappa-filtrierte Kolimiten
repräsentierbarer Prägarben.

Bem.: Die kappa-präsentierbaren Objekte in kappa-Tors(D) sind genau die
Retrakte von darstellbaren Funktoren.

Prop.: Eine Kategorie ist genau dann zugänglich, wenn sie die Kategorie
der mengen-wertigen Modelle eines (normalen) Entwurfs ist. (Achtung, diese
Proposition spezialisiert nicht zu kappa-zugänglichen Kategorien und Entwürfen
mit kappa-kleinen Limes- und Kolimes-Diagrammen!)

Prop.: Ist K lokal präsentierbar und S ein Entwurf, so ist Mod(S, K)
zugänglich. Ist S sogar ein Limesentwurf, so ist Mod(S, K) sogar lokal
präsentierbar.


=== Lokal präsentierbare Kategorien und Topoi

* Jeder Grothendiecktopos E (auf einem kleinem Situs C) ist lokal
  präsentierbar. Genauer:
  
  Sei alpha eine reguläre Kardinalzahl, die echt größer ist als die Zahl der
  Morphismen im Definitionssitus C. Dann ist E lokal alpha-präsentierbar, denn:
  * alpha-filtrierte Kolimiten von Garben in E kann man als Prägarbenkolimiten
    berechnen.
  * Die Garben a(Hom(__, X)) für X aus C sind alpha-präsentierbar.
  * E ist kovollständig.
  * Die Familie dieser Garben ist ein starker Erzeuger.

* Man kann lokal präsentierbare Kategorien zu Topoi "vervollständigen",
  siehe [1] und [2] (Thm. 3.1 auf Seite 239).

[1] M. Bunge, A. Carboni. The symmetric topos. J. Pure Appl. Alg. 105 (1995),
    S. 239--249.
[2] http://mathoverflow.net/questions/85323/topos-associated-to-a-category


=== Kategorien von Gruppen, Ringen, Moduln in Topoi

* Eine Kategorie ist genau dann lokal präsentierbar, wenn sie
  äquivalent zur Kategorie Mod(S) der Mengen-wertigen Modelle eines
  Limesentwurfs S ist.

* Ist K eine lokal lambda-präsentierbare Kategorie und S ein Limesentwurf
  mit lambda-kleinen Diagrammen, so ist die Kategorie Mod(S, K) der K-wertigen
  Modelle von S ebenfalls lokal lambda-präsentierbar.

  Beispiel: Die Kategorie der Gruppen (oder Ringe) in einem Topos ist lokal
  lambda-präsentierbar.

* Qcoh(X) ist darstellbar. Siehe:
  http://amathew.wordpress.com/2011/07/30/quasi-coherent-sheaves-presentable-categories-and-a-result-of-gabber/

* Ring(E) ist die Kategorie der Modelle des üblichen Limesentwurfs für Ringe
  im Topos E. Ist E lokal präsentierbar -- etwa weil E ein Grothendiecktopos
  ist -- so ist Ring(E) daher ebenfalls lokal präsentierbar.

* Die Kategorie der Örtlichkeiten ist nicht zugänglich.
  https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/01/petit_topos_gros_topos.html#c021641

* Die Kategorie der affinen Schemata auch nicht (denn ihr formal Duales
  ist die Kategorie der Ringe).
  https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/01/petit_topos_gros_topos.html#c021641


=== Kategorie der Ringe

Die Kategorie der kommutativen Ringe hat keine nichttrivialen Automorphismen.
Das und mehr steht in: Clark. The automorphism class group of the category of
rings.


=== Frei erzeugte Kategorien

* D^b(Z) ist angeblich die freie algebraische triangulierte Kategorie
  auf einem Erzeuger. http://personal.us.es/fmuro/htag.pdf

* Dass D^b(X) frei und endlich durch eine Garbe T erzeugt wird, bedeutet nach
  /Derived categories of projective bundles/ (Costa, Miró-Roig), dass D^b(X) zu
  D^b(Hom_X(T,T)) äquivalent ist.
  http://www.ams.org/journals/proc/2005-133-09/S0002-9939-05-07846-9/S0002-9939-05-07846-9.pdf


=== Erzeugung von derivierten Kategorien

Sei jedes Objekt in D^b(A) in endlich vielen Schritten aus Kegeln und Shifts
aus gewissen Ausgangsobjekten X_i konstruierbar.

* Dann kann man auch alle RHom's berechnen. (?)

* Kann RF berechnen, wenn ich ...

  * die RF(X_i) kenne UND
  * RF auf Morphismen zwischen beliebigen Objekten (auch Kegeln von Morphismen
    zwischen anderen Kegeln und so weiter) berechnen kann.

* Für chi(RF(X)) ist es natürlich etwas einfacher. Dafür muss ich nur
  die chi(RF(X_i)) kennen.


=== Berechnung von triangulierten Funktoren

Sei F : D^b(A) --> D^b(B) ein triangulierter Funktor.

Sei eine endliche Auflösung eines Objekts X durch irgendwelche Objekte A_i
gegeben. Wenn ich die Komplexe F(A_i) sowie die Morphismen F(A_i --> A_{i+1})
kenne, dann kenne ich auch F(X).

Ferner: Wenn ein Morphismus von Auflösungen A_i --> A_i' gegeben ist
und ich die F(A_i --> A_i') kenne, so kenne ich auch F(X --> X').

Mehr steht in derivierte-kategorie-konstruktiv.txt.


=== D^b(X) als D^b(Mod-A)

Sei D^b(X), X glatt, von einer starken exzeptionellen Sequenz E_0,...,E_n
erzeugt. Setze A = End(oplus_i E_i). Dann gibt es eine Äquivalenz

    phi : D^b(X) --> D^b(A).

Und zwar so: Wähle zu jedem Y in D^b(X) eine endlich flache Auflösung I(Y).
Setze dann phi(Y) := RHom(E, I(Y)).

Dann ist phi(E_i) = P_i, denn H^j phi(E_i) = 0 für j != 0 und dann muss man
sich das nur noch für j = 0 überlegen.

Die Volltreuheit ist klar, da sie auf der exzeptionellen Folge klar ist. (Ist
mir jetzt gerade aber nicht mehr klar.)

* Sei X = P^1. Dann ist A die Pfadalgebra zu (u ==>^a_b v), also
  k<u, v, a, b | au = u, av = 0, ...>.


=== Darstellung von Mod(A) als Funktorkategorie

Sei A = k[X_1,...,X_n]/(f_1,...,f_m).

Dann ist Mod(A) = [A, Ab]_Ab = [A, Vect_k]_k, wobei in der Mitte A als
Ab-angereicherte und rechts A als k-lineare Kategorie interpretiert wird.

Außerdem Mod(A) = { (V, x_1,...,x_n : V --> V) |
    x_i x_j = x_j x_i, f_l(x_i) = 0 in End(V) }.


=== Darstellung von abelschen Kategorien

* Sei ein Objekt X einer abelschen Kategorie A gegeben. Wir möchten einen
  additiven Funktor F : Ab^fp --> A mit F(Z) = X konstruieren.

  Es ist klar, dass wir einfach F(Z^n) := X^n setzen können. Auf den freien
  Moduln ist F dann additiv.

  Ist M ein beliebiger endlich präsentierter Z-Modul, ist die Definition von F(M)
  aber schwieriger. Dazu nehmen wir eine Präsentation (mit injektiver
  Präsentationsmatrix P) und setzen F(M) := cok F(P). Andere Wahlen einer
  Präsentation führen zu einem isomorphen Kokern, denn wir haben die
  Vergleichssequenz aus kommutative-algebra.txt, und diese bleibt auch nach
  Anwendung von F exakt, da sie zerfällt.

  Zusatz: Wenn n * id_X : X --> X für alle n != 0 ein Monomorphismus ist,
  so ist auch das Bild einer jeden injektiven Matrix unter F injektiv (nutze
  dazu mal wieder die Smithsche Normalform).

  Mit einem Stück aus kommutative-algebra.txt folgt: F bewahrt nicht nur
  Kokerne zwischen freien Moduln (das macht F nach Konstruktion), sondern auch
  zwischen beliebigen Moduln. Somit ist F rechtsexakt. Unter der
  Zusatzbedingung bewahrt F auch Monomorphismen und ist somit exakt.

  Fazit: Exakte Funktoren Ab^fp --> A stehen in Eins-zu-Eins-Korrespondenz
  mit Objekten X von A, für die n * id_X für alle n != 0 ein Monomorphismus ist.

  Damit könnte Ab^fp die syntaktische Kategorie zu folgender "abelschen
  Theorie" sein:

      Sorten: eine, X.
      Axiome: n x = 0 |- x = 0 (im Kontext x : X, ein Axiom für jedes n != 0)

  Uns rechtsexakte Funktoren Ab^fp --> A stehen in Eins-zu-Eins-Korrespondenz
  mit beliebigen Objekten X von A. Damit ist Ab^fp die "von einem Objekt frei
  erzeugte abelsche Kategorie (wenn man rechtsexakte Funktoren als Morphismen
  verwendet)".

  Achtung: Vergesse nicht Kokerne. Muss also sowas machen wie eine reguläre
  Kategorie zu effektivisieren.

* Hom_exact(Mod(Q)^fp, A) = { X in A | n : X --> X Iso für alle n != 0 }.

* Wie steht's um Mod(Z/(n))^fp?

* Hom_exact(Mod(Z/(p))^fp, A) =
      { X in A | n : X --> X Iso für 1 <= n < p und n : X --> X gleich 0 für n = p } =
      { X in A | n : X --> X gleich 0 für n = p }.

  Der erste Teil der Bedingung folgt aus der zweiten. Denn ist 1 <= n < p,
  so gibt es a und b mit 1 = na + pb. Also id = n . a = a . n : X --> X.

* Hom_exact(Mod(Q[X])^fp, A) =
      { (X in A, t : X --> X) | n : X --> X Iso für alle n != 0,
          p(t) : X --> X Mono für alle Polynome p != 0 }.

  Das zeigt man wie bei Ab^fp. Als "abelsche Theorie" ist Mod(Q[X])^fp also:

      Sorten: eine, X.
      Funktionen: eine, t : X --> X.

      Axiome:
        * top |-_x exists y. x = ny  (für n > 0)
        * p(t)(x) = 0 |-_x x = 0     (für p(T) ganzzahliges Polynom != 0)

* Die Idee mit "abelschen Theorien" steckt auch in Caramellos (et al)
  Behandlung von Nori-Motiven! Ist also vielleicht nicht zu schlecht.

* Hom_exact(Ab^fp, Ab^fp) = N. Denn Z muss auf ein Z^n gehen, denn das sind
  die einzigen Moduln, für die Multiplikation mit jedem positiven natürlichen
  Zahl injektiv ist.

  Aut_exact(Ab^fp) = Aut(Ab^fp) = { id }.

* Hom_exact(Mod(Q)^fp, Mod(Q)^fp) = Aut(Mod(Q)^fp) = { id }.


=== In der algebraischen Geometrie

* http://stacks.math.columbia.edu/download/limits.pdf, Prop. 5.1:
  Ein Morphismus f : X --> S von Schemata ist genau dann lveP,
  wenn Hom_S(__, X) Limiten von inversen Systemen von S-Schemata
  mit allen Objekten affin in Kolimiten in Set überführt.

* Ein Ringhomo phi : R --> S ist genau dann von endlicher Präsentation,
  wenn Hom_R(S, __) mit gerichteten Kolimiten vertauscht.
  Das ist Lemma 124.2 in stacks/algebra.pdf.


=== Nächste Schritte:

* Wozu ist der symmetrische Topos gut?
* Was ist eine "Darstellung als Koinverter"?
* Ist die Kategorie von Moduln über einem festen Ring in einem Topos
  lokal präsentierbar?
* Ist die Kategorie der quasikohärenten Garben lokal präsentierbar?
  Vielleicht nicht über Set, aber über Sh(X)?
* Die Kategorie der A-Algebren ist als Scheibenkategorie der Kategorie der
  Ringe lokal endlich präsentierbar. Was ist der zugehörige Limesentwurf?

* Vergleiche:
  http://wiki.heinrich-hartmann.net/index.php/Compact_Objects