endlichkeit.txt

=== L

* http://www.mta.ca/~cat-dist/catlist/1999/finite-topos

* http://math.andrej.com/2009/09/08/constructive-stone-minima-of-sets-of-natural-numbers/

* L := { U \subseteq N | U bewohnt und aufwärts-abgeschlossen }

* Habe zwei Dimensionsbegriffe: über Maximalzahl l.u. Vektoren und Minimalzahl
  zum Erzeugen benötigter Vektoren. Sind Elemente von L bzw. "L^op".


=== Rang eines O_X-Moduls

http://mathoverflow.net/questions/34412/the-upper-semi-continuous-rank-of-a-module-sheaf/

This ought to be a comment, but I don't have the necessary reputation. I 
believe the claim is indeed false unless $M$ is locally of finite type. 

1. It's always the case that an internal upper Dedekind cut $A$ in 
$\mathrm{Sh}(X)$ induces an upper semi-continous function $X \to \mathbb{N}
\cup \\{ \infty \\}$, by mapping $x \in X$ to $\inf\\{ n \in \mathbb{N} | 
\exists \text{open} V \subseteq X, x \in V: V \models (n \in A) \\}$. This 
function takes values in $\mathbb{N}$ iff the cut is inhabited (in the internal
sense). 

2. The internally defined cut $A = \\{ n \in \mathbb{N} | \text{there exists a 
generating family for $M$ consisting of $n$ elements} \\}$ is inhabited iff $M$
is in the internal sense a finitely generated module, i.e. in the usual 
external sense locally of finite type.
 
3. Let $r$ be the function induced by this cut. It's easy to prove that the
stalk $M_x$ can be generated by $r(x)$ elements. The reverse implication, that 
if $M_x$ can be generated by $n$ elements then $r(x) \leq n$, can be proven if 
$M$ locally of finite type. 
  
So $r(x)$ coincides with the minimal number of generators needed for the
stalk $M_x$ if $M$ is locally of finite type (at least in an open neighbourhood
of $x$). If $M$ is not locally of finite type, $r$ will still be upper
semi-continuous, but might not coincide with the minimal number of generators. 
   
I don't know the "correct" definition of the rank if the module is not locally
of finite type. 


* Kann den Rang eines endlich erzeugten Moduls als Minimalzahl benötigter
  Erzeuger (in einer Vervollständigung von N) definieren. Die induzierte
  Abbildung X --> N gibt dann jeweils an, was die Minimalzahl benötigter
  Erzeuger der Halme ist. Ist konsistent mit der üblichen Definition für lokal
  freie Moduln, denn O_{X,x}^n kann minimal durch n Elemente erzeugt werden.
  (Nakayama: Sei M endlich erzeugter A-Modul, A lokaler Ring. Dann ist die
  Minimalzahl benötigter Erzeuger von M gleich der k-Dimension von M/mM.)


=== Grade von Schemamorphismen

Sei f : X --> Y ein Morphismus von Schemata.

* Vakil definiert, falls f ein endlicher Morphismus ist:

      Grad von f bei y = rk von f_* O_X bei y = dim_k(y) Gamma(f^(-1)[y]).

* In Liu (S. 176) findet sich, falls X und Y integral, lokal noethersch,
  f dominant:
  
      Vakils Grad >= [K(X) : K(Y)].

  Genau dann gilt "=" für alle y aus f[X], wenn f flach ist.

* Stacks definiert (Kap. morphisms):
  f heißt finite locally free, falls f affin ist und
  f_*(O_X) lokal endlich-freier O_Y-Modul ist. Der Grad von f ist dann der Rang
  von f_*(O_X) (falls dieser global eindeutig ist).

* Laut Stacks sind äquivalent:
  
  (1) f finite locally free
  (2) f endlich, flach und l.v.e.P.
  (3) (falls Y lokal noethersch) f endlich und flach.

* Mit Vakils Resultat folgt, dass der Grad in folgendem Sinn stabil unter
  Basiswechsel ist: Sei g' der Basiswechsel von g längs eines Morphismus f.
  Dann ist der Grad von g' bei y' gleich der Grad von g bei f(y').


=== Nächste Schritte

* Gibt es zu jeder verallgemeinerten natürlichen Zahl einen Vektorraum
  entsprechender Dimension?

* Es gibt auch den Begriff des Grads eines Schemamorphismus (siehe Vakil).
  Zusammenhang?

* Ist "kohärent" kategoriell definierbar (wie e.e., e.p.)?

* Zusammenhang zwischen Projektivität und Endlichkeitsbedingungen