dold-kan.txt

=== Newtons Finite-Differenzen-Kalkül

Seien (a_n), (b_k) Folgen. Dann:

    a_m = sum_{k=0}^m binom{m}{k} b_k für alle m >= 0

        genau dann, wenn

    b_k = (partial^k a)_0 für alle k >= 0.


=== Simpliziale Mengen aus Verklebedaten

Sei X ein Verklebedatum und X~ die zugehörige simpliziale Menge. Dann gilt:

    |X~_m| = sum_{k=0}^m binom{m}{k} |X_m|.


=== Wichtiges zum Moore-Komplex

Sei A ein simpliziales Objekt in einer abelschen Kategorie und CA der
zugehörige Komplex mit (CA)_n = A_n und Differential sum_i (-1)^i A(partial^i).

Sei DA der Unterkomplex von CA der degenerierten Ketten.
Sei NA der Moore-Komplex (Kern über alle bis aufs letzte Differential).

* Der kanonische Morphismus NA --> CA/DA ist ein Isomorphismus.
  (Durch Induktion.)

* Die Einbettung e : NA --> CA besitzt ein Linksinverses f : CA --> NA.
  (Durch komplizierte Induktion.)

* Damit sieht man, dass die Sequenz

      0 --> DA --> CA --> CA/DA --> 0

  zerfällt: Eine Zerfällung ist durch e . iso^(-1) : CA/DA --> CA gegeben.

  CA ist also auf kanonische Art und Weise die direkte Summe aus DA und CA/DA,
  also aus DA und NA.

* Die Komposition e . f ist homotop zur Identität. Somit sind NA und CA
  homotopieäquivalent. Insbesondere haben NA und CA dieselbe Homologie.

  Ein Quasiiso ist e : NA --> CA, ein anderer ist f : CA --> NA.

  Ein weiterer ist pi : CA --> CA/DA. Insbesondere (lange exakte Sequenz) hat
  DA keine Homologie.

Siehe Blatt 7 von HAI und Goerss/Jardine (Seiten 145ff.).

Eine Folgerung aus dem Ganzen ist: Sei X eine simpliziale Menge, sodass Ränder
nichtdegenerierter Simplizes wieder nichtdegeneriert sind. Dann ist R<X> ein
simplizialer R-Modul und R<X_nichtdegen> ist ein semisimplizialer R-Modul. Ihre
Homologien sind kanonisch isomorph.


=== Siehe auch

* http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Joyal.pdf, Seite 163f.