divisoren.txt

=== Nutzen

* Unterbündel von K_X vom Rang 1 entsprechen Divisoren
  (bis auf Isomorphie bzw. bis auf lineare Äquivalenz).

* Geradenbündel sind bis auf Isomorphie schon eindeutig durch einen
  rationalen Schnitt gegeben: L ~~ O(div(s)).

* Abbildungen in den projektiven Raum sind durch Geradenbündel und daher
  durch Divisoren gegeben.

* Sei X --> P^n durch L und s_0,...,s_n gegeben. Dann habe die Gleichung
  x_i = 0 in P^n. Was hat das mit s_i = 0 zu tun?


=== Cartier-Divisoren

Def.: Ein Cartier-Divisor auf X ist ein globaler Schnitt von K_X^x / O_X^x.

Bem.: Explizit kann ein Cartier-Divisor durch eine offene Überdeckung U_i
zusammen mit invertierbaren Elementen f_i aus K_X(U_i) gegeben werden, sodass
f_i/f_j in O_X^x(U_i cap U_j) liegt.

Bem.: Wenn X reduziert ist, kann man sich angeblich (Quelle: Debarre) auf
integral offene Mengen und nicht-verschwindende rationale Funktionen
beschränken.

Def.: Ein Cartier-Divisor heißt Hauptdivisor, wenn er im Bild der kanonischen
Abbildung Gamma(X, K_X^x) --> Gamma(X, K_X^x/O_X^x) liegt.

Def.: Zwei Cartier-Divisoren heißen linear äquivalent, wenn ihr Unterschied ein
Hauptdivisor ist.

Def.: Ein Cartier-Divisor heißt effektiv, wenn man die f_i's als
Nichtnullteiler aus O_X(U_i) wählen kann. Die f_i definieren dann ein
Kodimension-1-Unterschema, dessen Reduktion Träger von D heißt.

Bem.: (Mumford, Lectures on curves on algebraic surfaces) Wenn X irreduzibel,
normal und noethersch ist, dann ist K_X die konstante Garbe zum Halm O_{X,xi},
wobei xi den generischen Punkt von X bezeichnet. Stimmt das?


=== Konkretes Beispiel

Sei X = V(Y - X^2) die Parabel.

Dann gilt div(X) = Ursprung = p, denn

    O_{X,p} / (X)
       = k[X,Y], aber Y = X^2, X = 0 und alles außer (X,Y) invertieren
       ~~ k

hat Länge 1. Dagegen gilt div(Y) = 2 * p, denn

    O_{X,p} / (Y)
       = k[X,Y], aber Y = X^2, Y = 0 und alles außer (X,Y) invertieren
       = k[X](X^2)

hat Länge 2.

Welche anschauliche Bedeutung hat das?


=== Verbindung zu Geradenbündeln

Sei ein Divisor D durch (U_i, f_i)_i gegeben. Dann kann man ein Geradenbündel
O(D) definieren.

a) über Übergangsabbildungen: T_ij = f_j / f_i
   Das ist wohldefiniert, denn von den f_j/f_i fordert man ja, dass sie auf
   U_ij Elemente von O_X^* sind.

   Übrigens: Falls die f_i alle regulär sind (also Schnitte von O_X <= K_X
   [und natürlich müssen sie als Ringelemente regulär sein, sonst liegen sie
   nicht in K_X^*]), so kann man einen globalen Schnitt durch

        O|_Ui ---> O(D)|_Ui = O|_Ui,  s |--> f_i s

   angeben. Diese Teilmorphismen verkleben.

b) als Untermodul von K_X: O(D)|_Ui = O_X|_Ui-Erzeugnis von 1/f_i

c) in der internen Sprache: { g in K_X | D g in O_X }

   oder: Wenn D = [f], dann f^(-1) O_X \subseteq K_X.

Übrigens: Aus der exakten Sequenz 1 --> O_X^* --> K_X^* --> Div_X --> 1
folgt: H^1(X, O_X^*) = 0 <==> K(X)^* --> Div(X) surjektiv <==> Cl = 0.


=== Exakte Sequenz zum Träger eines effektiven Cartier-Divisors

Sei D effektiver Cartier-Divisor. Dann ist (D, O_D) das zur Idealgarbe
O_X(-D) --> O_X gehörige Unterschema. Manchmal heißt das wohl Träger von D,
manchmal nennt man aber auch nur seine Reduktion so.

Wenn D lokal durch f aus O_X gegeben ist, ist O_X(-D) lokal durch f O_X
gegeben. Daher ist V(O(-D)) lokal durch { x | (f) != (1) in O_{X,x} } gegeben.

Kann das auch intern schön definieren: Intern gilt D = [f], wobei f aus O_X
(notwendigermaßen regulär). Daher ist O_X(-D) = f O_X, und ich habe die
Inklusionsabbildung O_X(-D) --> O_X.

Wenn D aber nicht effektiv ist, gilt intern nur D = [f/s]. Daher ist
O_X(-D) = (f/s) O_X. Dann kann ich schon eine Abbildung O_X(-D) --> O_X
hinschreiben, nämlich Multiplikation mit s, aber diese hängt von der Wahl von s
ab. Erhalte also keine globale Abbildung O_X(-D) --> O_X.


=== Jedes Geradenbündel kommt von einem Cartier-Divisor

Sei X integer. Habe 0 --> O_X^* --> K_X^* --> K_X^*/O_X^* --> 0 exakt.
In der induzierten langen exakten Kohomologiesequenz verschwindet die höhere
Kohomologie von K_X^*, da das eine flasque Garbe ist. Erhalte also:

    Gamma(X, K_X^*) --> Gamma(X, K_X^*/O_X^*)
      --> H^1(X, O_X^*) --> 0

Also ist H^1(X, O_X^*) = Pic(X) der Kokern von

    Gamma(X, K_X^*) --> Gamma(X, K_X^*/O_X^*).

Das ist gerade die Gruppe der Cartier-Divisoren modulo Hauptdivisoren.

* Andere Sichtweise: Sei L ein Geradenbündel. Dann kann ich (wie?)
  L tensor_{O_X} K_X als Unterbündel von K_X auffassen. Für solche ist klar,
  dass sie von Divisoren stammen.

* Noch eine andere Sichtweise: Sei L ein Geradenbündel. Stelle dir L über
  Übergangsabbildungen vor. Kann diese mit K_X tensorieren. Dann...


=== Cartier --> Weil

* Sei D ein Cartierdivisor auf X. Dann habe den Weildivisor

      sum_Y n_Y Y,

  wobei die Summe über alle integralen Hyperflächen (also vermutlich alle eta's
  der Kodimension 1) geht.

* Vermutlich ergibt sich n_Y als Bewertung einer geeigneten lokalen rationalen
  Funktion von D.

* Vermutlich ergibt sich die Bewertung dadurch, dass ich in O_{X,eta} genau ein
  maximales Ideal habe und daher (auch für Elemente des Quotientenkörpers)
  zählen kann, in welcher Potenz des maximalen Ideals sie enthalten sind.
  "O_{X,eta} ist von Dimension 1 und ganz abgeschlossen, also ein DVR."

* Vermutlich gilt: D effektiv <==> n_Y >= 0 für alle Y.

  "==>": D ist lokal durch reguläre Funktionen gegeben. Diese haben wohl
  Bewertung >= 0.

  "<==": Rationale Funktionen, die keine Pole haben, sind regulär.

* Die Zuordnung Cartier --> Weil ist nicht immer injektiv. Beispiel:

  Sei X = Spec k[x,y]/(xy + x^3 + y^3). Dann sind (x) und (y) zwei verschiedene
  Cartier-Divisoren. Aber sie geben beide den Weil-Divisor 3 * P.
  http://mathoverflow.net/questions/103686/cartier-divisors-on-singular-curves


=== Q-Cartier

* Neilsche Parabel, Ursprung

* Konik, http://www.math.umass.edu/~hacking/seminarW11/tevelev1.pdf,
  Seite 2


=== Beispiele auf P^n

    Geradenbündel    Divisor*      Träger     effektiv?
  -------------------------------------------------------
        O              1            leer          ja
       O(1)          x_0/x_i       V(x_0)         ja
       O(2)         (x_0/x_i)^2    V(x_0)         ja
      O(-1)          x_i/x_0         ---         nein


  (*) Notiert ist jeweils die lokale Gleichung in D(x_i).


=== Cartier als Differenz effektiver Cartier

Introduction to Mori Theory, Prop 2.36: Jeder Cartier-Divisor auf einem
projektiven Schema ist linear äquivalent zur Differenz zweier effektiver
Cartier-Divisoren.

Beweis: Sei D ein Cartier-Divisor auf X. Wir wollen annehmen, dass X ganz ist
(wieso ist das erlaubt?). Sei H ein effektiver sehr ampler Divisor. Dann wird
für genügend großes m das Geradenbündel O_X(D + mH) durch globale Schnitte
erzeugt. Ferner besitzt es insbesondere einen nicht-verschwindenden Schnitt s.
Dann gilt D ~ div(s) - mH, fertig.


=== Grade von Geradenbündeln über regulären projektiven Kurven C über k

Vakil 18.4.1 (S. 467) "The Riemann-Roch Theorem for line bundles on a regular
projective curve"

* Der Grad eines Weil-Divisor ist definiert als die mit den Graden der
  Restklassenkörpern gewichtete Summe der Koeffizienten.

* Sei C eine reguläre projektive Kurve über k. Dann gilt Riemann-Roch:
  Für jeden Weil-Divisor D auf C hat man die Beziehung

      chi(C, O_C(D)) = deg D + chi(C, O_C).

  Die Behauptung ist klar für D = 0.

  Für D = D' - p, p ein Punkt, folgt sie per Induktion aus der Behauptung für
  D' und der mit O_C(D') tensorierten Unterschemasequenz

      0 --> O_C(-p) --> O_C --> k(p) --> 0.

  Wie geht der Beweis im Allgemeinen?

* Den Grad eines Geradenbündels L kann man so definieren:

      deg L = chi(C, L) - chi(C, O_C).

* Ist dann s ein nichtverschwindender rationaler Schnitt von L, so gilt

      deg L = deg div(s).

  Denn es gilt bekanntlich L ~~ O_C(div(s)). Dann folgt die Formel sofort aus
  Riemann-Roch.

* deg (L tensor M) = deg L + deg M.  (Nutze rationale Schnitte.)

* deg (L^) = -deg L, denn L^ tensor L ist (sogar kanonisch) isomorph zu O_C.

* Wenn h^0(L) > 0, so ist deg L >= 0. (Auf glatter, eigentlicher Kurve.)

  Denn unter der Voraussetzung gibt es einen globalen Schnitt s von L,
  welcher nicht verschwindet. Daher gilt deg L = deg div(s) >= 0, da div(s)
  sicher ein effektiver Divisor ist.

* Liu Kapitel 7.3.1: Der Grad eines Cartier-Divisors D auf C ist definiert als
  die mit den Graden der Restklassenkörper gewichtete Summe der Multiplizitäten
  mult_x(D), wobei x über alle abgeschlossenen Punkte von C läuft. Dabei gilt

      mult_x(D) := length_{O_{X,x}}(O_{D,x}) = [k(x) : k]^{-1} * dim_k O_{D,x}.

  Das erste Gleichheitszeichen funktioniert glaube ich nur, wenn D effektiv
  ist.

* Liu beweist, dass seine Definition des Grads eines Cartier-Divisors die
  Beziehung

      deg_k D = dim_k H^0(D, O_D)

  erfüllt, falls D ein nicht-verschwindender effektiver Cartier-Divisor ist.

* Die Größe auf der rechten Seite ist auch gleich dem (Vakil-)Grad von O_X(D).
  Denn:

      deg O_X(D)
          = chi(O_X(D)) - chi(O_X)    { jetzt 0 --> O_X(-D) --> O_X --> O_D --> 0 }
          = chi(O_X(D)) - chi(O_X(-D)) - chi(O_D) + (chi(O_X) - chi(O_X))
          = deg(D) - deg(-D) - chi(O_D)
          = 2 deg(D) - chi(O_D),

  dann umstellen.

Siehe auch Vakils Kapitel über Schnitttheorie!


=== Ampel

Introduction to Mori Theory, Kor. 3.4 auf Seite 27:
Sei X glatte Kurve. Dann ist ein Divisor D auf X genau dann ampel, wenn deg(D) > 0.


=== Blow-Up

Siehe Introduction to Mori Theory, Prop. 3.10.

Kontraktion: http://mathoverflow.net/questions/24503/contracting-divisors-to-a-point


=== Morphismen X --> P^1

Liu, S. 277 ("Morphisms to P^1_k").

Sei X eine normale Kurve/k und f aus K(X). Dann erhält man einen Morphismus

    pi : X ---> P^1_k

als Verklebung von U --> D(T_0), V --> D(T_1), wobei U = X \ supp (f)_infty,
V = X \ supp (f)_0.

Kann mir diesen Morphismus als x |--> [Zähler(x) : Nenner(x)] vorstellen.
(Beweise diese Aussage!)

* deg pi = deg (f)_infty.
* (1, f) erzeugen O_X(D), wobei D = (f)_infty.
* X normale, projektive Kurve/k mit f aus K(X) mit (f) = [x_0] - [x_1],
  zwei verschiedene rationale Punkte. Dann ist der induzierte Morphismus
  pi : X --> P^1 ein Iso.
* pi ist genau dann dominant, wenn f transzendent über k ist.

Habe diese Aussagen alle nicht geprüft.


=== Adjunktionsformel

Sei D glatter Divisor auf X. Dann

    K_D = (K_X + D)|_D

bzw.

    omega_D = i^*(omega_X tensor O(D)).

* Damit klar, wann ein vollständiger Durchschnitt im P^n Fano ist.

* Siehe auch: http://therisingsea.org/notes/Section2.8-Differentials.pdf


=== "Mayer-Vietoris"

Sei Z \subseteq X irreduzibel von Kodimension 1, X irreduzibel, normal (regulär
in Kodimension 1), reduziert. Dann sind exakt:

    0 --> Z --> Weil(X) --> Weil(X\Z) --> 0

und

    Z --> Cl(X) --> Cl(X \ Z) --> 0.

Siehe Vakil.


=== Schnitttheorie

Sei L ein Geradenbündel auf X und F ein kohärenter Modul dessen Träger
eigentlich ist (automatisch, falls X eigentlich) und dessen Dimension <= 1 ist.
Dann heißt die Zahl

    (L . F) := chi(X, F) - chi(X, L^ otimes F)   (duales Bündel)

Schnittzahl von L mit F.

* (L . O_X) = chi(O) - chi(L^) = -deg(L^) = deg(L).
* (O . F) = 0.
* (O(m) . P^n) := (O(m) . O_{P^n}) = m.

Verbindung zur K-theoretischen Schnittzahl:

    (L . F)_Vakil = (O_D . F)_Manin,

falls L = O(D) die Idealgarbe zu einem effektiven Divisor D ist:

    (O_D . F)_Manin = chi(O_D * F) = chi(O * F - O(-D) * F)
        = chi(X, F) - chi(L^ tensor F)
        = (L . F)_Vakil.

Bemerkung: Der Homo Pic(X) --> K(X), L |--> O_X - L^, der hier offenbar
verwendet wird, berechnet die erste Chern-Klasse. In diesem Sinn ist also die
erste Chern-Klasse von O(D), D effektiv, die Klasse von O_D in K(X).


=== Linearsysteme

* Sei D ein Divisor. Dann ist |D| die Menge aller zu D linear äquivalenten
  effektiven Divisoren. Sie heißt "vollständiges Linearsystem zu D" und trägt
  auf kanonische Art und Weise die Struktur eines projektiven Raums:

      P_klassisch(H^0(X, O_X(D))) ---> |D|
      [f]                         |--> D + div(f)

  Beauville sagt: D + div(f) ist der Divisor der Nullstellen von f.
  Stimmt das?

* Sei D ein Divisor. Dann gibt es eine rationale Abbildung

      f : X -.-.-.-> |D|^ (Dualraum)

  mit x |--> Hyperebene derjenigen Divisoren D' aus |D| mit x in D'.

  Es gilt wohl D = f^* |H|.

* Es gibt eine Bijektion zwischen:

  1. Linearsystemen der Dimension n ohne fixe Komponenten.
     (Die fixe Komponente eines Linearsystems L ist der größte Divisor D_0 mit
     D >= D_0 für alle D aus L. Genau dann, wenn D_0 = 0, sagen wir, dass das
     System ohne fixe Komponente sei.)

  2. Morphismen X --> P^n, deren Bild nicht in einer Hyperebene enthalten ist,
     bis auf projektive Automorphismen.

* Sei D ein Divisor, dessen vollständiges Linearsystem keine fixe Komponente
  hat. Sei f : X --> P^n die induzierte Abbildung. Dann gilt vielleicht sowas
  wie:

      "Genau dann gilt für n + 1 Divisoren aus X, dass ihre Bilder unter f in
      einer gemeinsamen Hyperebene liegen, wenn ihre Summe äquivalent zu D
      ist."

  Zum Beispiel gilt im Fall, dass X eine Kurve ist, wohl das Folgende:

      Die Bilder von drei Punkten P, Q und R unter f liegen genau dann auf
      einer gemeinsamen Gerade, wenn P + Q + R ~ D.

  Für "==>" kann man f^* |H| = D nutzen. Hm.


=== Nächste Schritte

* Wieso ergeben div(s) & Co. immer eine endliche Linearkombination?
  Welche Voraussetzungen benötigt man dazu?
  Siehe etwa Liu direkt vor Kap. 7.1.3 auf Seite 260.

* Träger eines Cartier-Divisors Def. 1.28 Liu Seite 260:
  supp D = { x in X | D_x != 1 } = { x in X | O_X(D)_x != O_{X,x} },
  abgeschlossen in X.

* Was ist div(x) in V(Y^2 - X^3)? Siehe Liu Example 7.2.15 auf Seite 270.

* Kann Cartier-Divisoren manchmal und angeblich Cartier-Divisor-Klassen
  immer zurückziehen. Wurde als Schlüsselpunkt zu Cartier-Divisoren bezeichnet.
  Verstehen!

* Riemann-Hurwitz: http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/chapter-7.pdf


=== Literatur

* Erstes Kapitel Debarre
* Bonavero: http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~bonavero/articles/ecoledete/lectu9.ps
* http://www2.iag.uni-hannover.de/~kass/files/ChowRing.pdf
* http://mathriding.wordpress.com/2012/12/06/vector-bundles-locally-free-sheaves-and-divisors-on-a-curve/
* Facts about Degree, http://www.math.wisc.edu/~dewey/TalkNotes/AGdegree.pdf
* http://people.math.umass.edu/~hacking/surfaces.pdf