derivierte-kategorie-von-schemata.txt

=== Definition

Def.: D(X) := D^b(Coh(O_X)).


=== Tensorstruktur

* Bezieht man die Tensorstruktur auf D(X) mit ein, so ändert sich alles.
  Zum Beispiel legt D(X) mit der Tensorstruktur X schon bis auf Isomorphie fet.
  Siehe http://www.math.uni-hamburg.de/home/sosna/diplom-online.pdf.


=== Spektralsequenz von derivierten Kategorien

Ist D^b : Räume --> stabile (infty,1)-Kategorien, X |-> D^b(X) in irgendeinem
Sinn links- oder rechtsexakt?

Weiß nicht. Jedenfalls ist die Kategorie der stabilen (infty,1)-Kategorien
nicht selbst stabil.


=== Kurven

Sei C eine glatte projektive Kurve (über C). Sei Y irgendeine glatte projektive
Varietät. Dann sind C und Y genau dann isomorph, wenn sie deriviert äquivalent
sind (Huybrechts Cor. 5.46).

Das ist klar im Fall g(C) = 0 (dann ist omega auf C = P^1 anti-ampel) und im
Fall g(C) > 1 (dann ist omega ampel). Im elliptischen Fall ist es schwieriger.


=== Sphärische Objekte

* Ein Objekt E heißt genau dann sphärisch, wenn

      E tensor omega = E und Hom(E, E[*]) = H(S^n, k),

  wobei n = dim X.

* Faltung mit einem sphärischen Objekt ist ein Automorphismus.

* Eine A_m-Konfiguration von sphärischen Objekten induziert eine
  Darstellung der Zopfgruppe B_(m+1) auf D^b(X). (Huybrechts, Seite 178)
  Unter gewissen Voraussetzungen ist der Morphismus B_(m+1) --> Aut D^b(X)
  dabei sogar injektiv.

Es gibt auch P^n-Objekte und EZ-Objekte. Huybrechts zitiert viel Literatur über
die Konstruktion solcher Objekte auf vielen Varietäten.


=== Träger von Komplexen von Garben

* Eine gute Definition für supp E^* ist bigcup_n supp H^n(E^*).

* Denn diese respektiert Quasiisomorphismen, steigt also
  ab zu einer Definition über Objekte aus D(X).

* Hom(E^*, F^*) = 0, auch in D(X), falls supp E^* cap supp F^* leer ist.

* Folgerung: Ext^i(k(x), k(y)) = 0 für alle i >= 0 und verschiedene
  abgeschlossene Punkte x und y.

* Exercise 3.30 in Huybrechts: Sei i : {x} --> X die Einbettung eines
  abgeschlossenen Punkts. Sei E in D^b(X). Dann:

      Li^* E != 0  <==>  x in supp(E).

  Das kann man wohl so beweisen: Ohne Einschränkung ist E ein
  Komplex aus lokal freien Garben. Dann ist zu zeigen:

      exists n: H^n(i^* E) != 0  <==>  exists n: i^* H^n(E) != 0.

  Das ist klar, da H^n und i^* in diesem Fall vertauschen (?!).
  Ist mir nicht so klar.


=== Homologische Dimension

Sei X eine glatte projektive Varietät der Dimension n. Dann hat Coh(X)
homologische Dimension n. Siehe: Huybrechts, Seite 68.

* Ext^i(F, G) = Ext^{i-n}(G, F tensor omega_X)^ = 0 für i > n,
  da dann i - n < 0.

* Ext^n(O_X, omega_X) = Hom(omega_X, omega_X)^ != 0.


=== Auflösungen

* Sei L eine sehr ample Garbe auf einem Schema X. Dann besitzt jede
  Garbe eine (nach links gehende und vielleicht unbeschränkte) Auflösung durch
  direkte Summanden von (negativen) Potenzen von L.

  Denn jede Garbe E erlaubt, für ein gewisses m >= 0, einen Epi
  O^s --> E tensor L^m (Serre). Diesen kann man um L^(-m) twisten.

  Aber wieso finde ich auch immer endliche Auflösungen dieser Art?

* Huybrechts Prop. 3.26: Wenn X regulär von Dimension n ist,
  besitzt jede kohärente Garbe eine lokal freie Auflösung der Länge <= n.
  Als Folge ist auch jeder beschränkte Komplex von kohärenten Garben isomorph
  (in der abgeleiteten Kategorie) zu einem beschränkten Komplex lokal freier
  Garben.

  Steht ausführlich in Marco Schlichting, Higher Algebraic K-Theory, Seite 199.

* Kann jede Modulgarbe durch den Garben-Čech-Komplex auflösen, sogar ohne
  Voraussetzungen an die Überdeckung: https://stacks.math.columbia.edu/tag/02FU

  Im Fall einer hinreichend guten Überdeckung ist RGamma durch den
  (alternierenden) Čech-Komplex gegeben: https://stacks.math.columbia.edu/tag/08C2


=== Semi-orthogonale Zerlegungen

* Eine Varietät mit Serre-Dualität durch eine Garbe omega_X und
  mit omega_X trivial (also wohl, angeblich, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten),
  erlaubt keine nichttrivialen exzeptionellen Sequenzen.

  Denn für ein Objekt E einer solchen Sequenz gilt:

      hom(E, E) = hom(E, E[n]) = 0, also id_E = 0, also E = 0.

  Huybrechts (Seite 169) behauptet auch, dass allgemeiner eine solche Varietät
  keine nichttrivialen semi-orthogonalen Zerlegungen zulässt. Ein Beweis steht
  in Lemma 3.5 von http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-2.pdf:

  * Man zeigt zunächst, dass eine semi-orthogonale Zerlegung schon orthogonal
    ist. Das bedeutet dann, dass jedes Objekt in D^b(X) eine direkte Summe von
    Objekten aus den A_i ist, also D^b(X) = oplus_i A_i. (Siehe
    derivierte-kategorie.txt.)

  * Da X zusammenhängend ist, besitzt O_X keine nichttrivialen direkten
    Summanden. Somit liegt O_X in irgendeinem A_i.

  * Auch die k(x) liegen in diesem A_i. Damit sind die anderen A_j
    orthogonal zu den Wolkenkratzergarben und ihren Shifts. Also sind die
    anderen A_j Null.

* Das beschränkt die Theorie der semi-orthogonalen Zerlegungen natürlich
  deutlich. Eine allgemeine Theorie von Erzeugern und Relationen muss
  freigiebiger sein.


=== Quasikohärente Auflösungen

Ist X lokal noethersch, so ist eine quasikohärente Modulgarbe genau dann
injektiv in QCoh(X), wenn sie injektiv in Mod(O_X) ist.
http://mathoverflow.net/a/6778/31233

Daraus folgt: Garbenkohomologie von quasikohärenten Modulgarben kann sowohl in
Mod(O_X) als auch in QCoh(X) berechnet werden. (Sowie in Ab(X).) Hier geht ein,
dass QCoh(X) genügend Injektive besitzt.

Für Projektive stimmt das aber nicht. In QCoh(P^1) gibt es kein projektives
Objekt, das einen Epi zur Strukturgarbe hätte: William Stein. Notes for
Algebraic Geometry II. hartnotes.pdf.


=== Unterschemata

Sei f : A --> X eine abgeschlossene Immersion. Dann ist f_* : Coh(A) --> Coh(X)
exakt und sogar volltreu.

Ist auch f_* : D^b(A) --> D^b(X) volltreu? Würde dazu gerne Lf^* . f_* = id
auf D^b(A) zeigen; das stimmt aber *nicht*:

    Lf^* f_*(E) = E tensor^L_{f^(-1)O_X} O_A
        = (... --> 0 --> E -0-> ... -0-> E --> 0 --> ...),
            (so viele E's, wie die Kodimension von A in X angibt)

            falls E ein in Grad 0 konzentrierter Komplex
            und A global durch reguläre Gleichungen gegeben ist.
            (Nutze Auflösung f^(-1)(O_X)^\binom{n}{*} --> O_A --> 0
            und nutze aus, dass die Differentiale alle durch Elemente aus J
            gegeben sind (wobei O_A = O_X/J), diese in E aber wie Null wirken.)

(Daher stimmt wohl vermutlich auch nicht, dass f_* O_Z tensor^L E = f_* Lf^* E
für Objekte E aus D^b(X).)

Huybrechts bestätigt das auch ganz explizit, auf Seite 255.

!!! Eine Ausnahme von dieser Regel gibt es, wenn man längs einer Untervarietät
von Kodimension mindestens 2 aufgeblasen hat. Siehe Huybrechts, Seite 255.

Verwandt: Sei f : X --> Y eigentlich mit Rf_*(O_X) = O_Y in D^b(Y).
Dann ist Lf^* : D^b(Y) --> D^b(X) volltreu, denn:

    f_* f^* F = f_*(O tensor f^*(F)) = f_*(O) tensor F = O tensor F = F.
      (alle Funktoren deriviert)

Die Voraussetzung an f ist *nicht* erfüllt in folgenden Fällen:
1. f : P^n --> pt.
2. f : V(g) --> P^n.

In der Tat kann D(V(g)) hochgradig nichttrivial sein (D(P^n) ist "trivial").
Kuznetsov hat eine Theorie dazu: Homological Projective Duality.
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_2007__105_/PMIHES_2007__105__157_0/PMIHES_2007__105__157_0.pdf
http://www.cf.ac.uk/maths/subsites/logvinenko/talks/Alexander%20Kuznetsov%20-%20Homological%20Projective%20Duality%20[typeset].pdf


=== Bedeutung der Diagonale

1. Ausgezeichnete Dreiecke in D^b(X x Y) stiften über Fourier--Mukai
   "ausgezeichnete Dreiecke" von Transformationen D^b(X) --> D^b(Y):
   Setzt man ein Objekt E von D^b(X) in ein solches Dreieck von
   Transformationen ein, so erhält man ein ausgezeichnetes Dreieck in D^b(Y).

2. Wenn man speziell eine Auflösung der Diagonale O_Delta in D^b(X x X)
   hat, so findet man damit Auflösungen von beliebigen Objekten in D^b(X)
   durch solche, die man recht explizit angeben kann (Abhängigkeit von der
   Auflösung der Diagonale).

3. Als Korollar fällt Information über die Euler-Charakteristik ab,
   die die verschiedenen Morphismen nicht sieht.

Siehe auch:

* http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-3.pdf

* http://www.math.ens.fr/~merker/CMI-ENS-Exchange/2004/saravanan.pdf
  (weiter hinten)


=== Projektiver Raum

Satz: D(P^n) wird erzeugt durch die exzeptionelle Sequenz
    O(-n), O(-n+1), ..., O(-1), O.

Angeblich, siehe
http://wiki.heinrich-hartmann.net/index.php/Derived_Categories_of_Projective_Spaces:

Für T := O + O(1) + ... + O(n) auf X = Proj Sym V, dim V = n+1 gilt:

1. T ist ein schwacher Erzeuger für D(X).
2. End(T) = S^*V / S^(n+1)V.
3. Ext^i(T,T) = 0 für i != 0.

Mindestens Eigenschaft 2 scheint mir komisch.

Vergleiche auch: http://wiki.heinrich-hartmann.net/index.php/Koszul_Duality


=== Projektive Varietäten

Sei i : X --> P^N ein abgeschlossenes Unterschema des projektiven Raums.
Existiere eine Zahl n, sodass Ext^{> n}(E, F) = 0 für alle kohärenten Garben E
und F auf X. Das ist zum Beispiel erfüllt, wenn n die Dimension von X ist
und vielleicht noch irgendwas gilt.

Dann wird D^b(X) erzeugt von den O_X(k) := i^*(O(k)) für k = -n, ..., 0,
und zwar in dem Sinn, dass die kleinste triangulierte Unterkategorie von
D^b(X), die abgeschlossen unter direkten Summanden ist und die O_X(k) enthält,
schon ganz D^b(X) ist.

Der Beweis ist einfach! Sei C diese kleinste Unterkategorie.

Schritt 1: Die O_X(k) liegen für alle k aus Z in C. Betrachte dazu die bekannte
exakte Sequenz

    0 --> Lambda^(N+1) E --> ... --> Lambda^2 E --> E --> O --> 0

auf dem P^N, mit E = O(-1)^(N+1). Schränke diese Sequenz auf X ein (dabei
bleibt sie exakt, da sie aus lauter Vektorbündeln besteht) und schneide vorne
und hinten etwas ab:

    V^* : 0 --> Lambda^(n+1) E|_X --> ... --> Lambda^2 E|_X --> E|_X --> 0.

Achtung: Vorne steht n+1, nicht N+1. Sei K der Kern des ersten Morphismus.
Dann ist V^* / K[n] quasiisomorph zu O. Also haben wir das ausgezeichnete
Dreieck

    K[n] --> V^* --> O_X[0] -->.

Da Hom(O_X[0], K[n][1]) = H^(n+1)(X, K) = 0 nach Voraussetzung, zerfällt
dieses. Somit ist O_X[0] direkter Summand von V^*. Damit ist O_X(1) direkter
Summand von V^* tensor O(1). Dieser Komplex liegt in C. Dann immer so weiter.

Für die O_X(k) mit k < 0 schaut man sich eine etwas versetzte Abschneidung an,
siehe Seite 2 von http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-3.pdf.

Schritt 2: Sei F eine beliebige kohärente Garbe auf X. Dann besitzt F eine
(vielleicht unendliche) Auflösung durch direkte Summen von O_X(k)'s. Wenn man
diese Auflösung wieder wie in Schritt 1 bei Stelle -n abschneidet, erhält man
ganz analog ein ausgezeichnetes Dreieck

    K[n] --> V^* --> F[0] -->,

welches auch wieder zerfällt. Nach Schritt 1 liegt V^* in C. Also liegt F[0]
als direkter Summand auch in C.

Schritt 3: Sei ein Komplex in D^b(X) gegeben. Aber der liegt dann (Induktion
und brutale Abschneidung) im Erzeugnis seiner einzelnen Objekte.


=== Starke Erzeuger

Sei T ein klassischer Erzeuger von D^b(X), d.h. die kleinste triangulierte
Unterkategorie, die abgeschlossen unter direkten Summanden ist und T enthält,
ist schon ganz D^b(X). Dann ist T schon ein starker Erzeuger, das heißt es
existiert eine Zahl n, sodass jedes Objekt aus D^b(X) aus T durch direkte
Summen, direkte Summanden, Shifts und höchstens n Kegel entsteht.

Der Beweis geht in zwei Schritten:

1. T boxtensor T ist klassischer Erzeuger von D^b(X x X).
   (Wie zeigt man das?)

2. O_Delta wird damit über irgendeine endliche Anzahl von Operationen
   aus T boxtensor T gebildet.

3. Dann verwende O_Delta als Fourier--Mukai-Kern.

Siehe http://www.maths.ed.ac.uk/~eshinder/Mainz-Lecture-3.pdf.


=== Weighted projective space

http://www.researchgate.net/publication/233320583_The_automorphism_group_of_the_derived_category_for_a_weighted_projective_line


=== Glattheit

Sei X eine projektive Varietät über C. Dann gilt: X ist genau dann glatt, wenn

    oplus_n Hom^n(A, B[i])

für alle Objekte aus D^b(X) endlich-dimensional ist. Quelle: Bridgeland.
Derived categories of coherent sheaves. Proposition 7.2.


=== Derivierte Kategorie von C^infty-Mannigfaltigkeiten

Da Coh(X) für C^infty-Mannigfaltigkeiten halbeinfach ist, da Moduln auf
C^infty(__) stets fein sind, ist D(X) äquivalent zur direkten Summe von Coh(X)
über n aus Z.


=== Wieso ist D^b(X) eine gute, aber Coh(X) keine gute Invariante?

D^b(X) ist gröber (daher einfacher zu verstehen), aber immer noch gut genug!

Siehe etwa Keller, Derived Categories and Tilting, S. 1f.: Die klassischen
Invarianten einer k-Algebra A (wie etwa K_0, Zentrum, K_i, HH^*, ...) werden
nicht nur von A, nicht nur von Mod-A, sondern sogar nur von D(Mod-A) bestimmt.

Die Fundamentalgruppe wird übrigens *nicht* von D^b(X) bestimmt.
Siehe: Christian Schnell. The fundamental group is not a derived invariant.


=== Wieso D^b(X) und nicht die volle derivierte Kategorie?

Nicht D^+(X) oder D^-(X), weil dann die verschiedenen Funktoren teilweise aus
der Kategorie herausführen bzw. nicht auf ihr definierbar sind.

Nicht die volle Kategorie, da die wichtigen Funktoren auf ihr nicht (oder
komplizierter) zu definieren sind.


=== Aufspannende Klassen

* Sei X glatt, projektiv über k. Dann bilden die k(x), x abgeschlossener Punkt,
  eine aufspannende Klasse von D^b(X).

  Motto: "Shifts von Wolkenkratzergarben sehen die gesamte derivierte
  Kategorie", http://win.ua.ac.be/~pbelmans/seminar/ss/examples-ag.pdf, Seite 7

  Siehe auch: https://hilbertthm90.wordpress.com/2013/05/05/the-derived-category-4-a-nice-spanning-class/

* Sei X eine projektive Varietät über einem Körper k und L ein amples
  Geradenbündel auf X. Dann bilden die L^i eine ample Folge und somit eine
  aufspannende Klasse in D^b(X).

  Allgemeiner, allerdings nicht deriviert!, für separierte noethersche Schemata
  (auch singuläre): http://arxiv.org/pdf/1111.2220v1.pdf, Seite 5. Ample
  Geradenbündel tensoriert mit den Wolkenkratzergarben von singulären Punkten
  erzeugen die Kategorie der noetherschen O_X-Moduln.


=== Projektionsformel (Push-/Pull-Formel)

Sei f : X --> Y ein eigentlicher Morphismus. Dann gilt für die beschränkten
derivierten Kategorien: Die kanonischen Morphismen

    f_*(E) tensor F --> f_*(E tensor f^*(F))

sind Isos.

Eine Folgerung: Gilt f_* O_X = O_Y, so ist f^* volltreu und damit D^b(Y) eine
volle Unterkategorie von D^b(X):

    Hom(f^*E, f^*F) = Hom(E, f_*f^*F) = Hom(E, F),

da f_* f^* F = F.

Beispiel: D^b(pt) <= D^b(P^n), denn H^*(O_{P^n}) = k[0].

Kein Beispiel ist V(f) <= P^n.


=== Automorphismen

Automorphismen von D^b(X) induzieren ...

* Automorphismen der K-Theorie (welche sogar mit der Euler-Form verträglich sind),
* Automorphismen in Kohomologie (wenn durch einen Fourier-Mukai-Kern gegeben),
* Automorphismen von Stab(X), siehe http://arxiv.org/pdf/1310.8266.pdf.

Aut D^b(X) ist ein algebraisches Gruppenschema (wenn X glatt projektiv).
Dessen neutrale Komponente ist Aut^° ⋉ Pic^0.
Siehe http://arxiv.org/abs/0907.3880 und http://arxiv.org/abs/math/0503269.

Außerdem Cor. 0.3 in folgendem Artikel: Aut(T) ist ein Gruppenschema, wenn T
eine saturierte dg-Kategorie ist.
http://www.mi.ras.ru/~akuznet/dgcat/Toen-Vaquie%20Moduli%20of%20objects%20in%20dg-categories.pdf

http://mathoverflow.net/a/18014/31233:
"I asked a similar question to Daniel Huybrechts some time ago, in the form of
"If I have a derived equivalence between two varieties, what is this telling
me about the relation between the two varieties?"
His answer was that this should be crudely regarded as saying that each of
the varieties is the moduli space for a (sufficiently interesting) moduli
problem on the other variety. This is definitely the 'Fourier-Mukai'
perspective, that says to understand a derived equivalence, see where the
skyscraper sheaves of points go under the equivalence."


=== D^b(X), K(X) und H^*(X)

* Die Zuordnung von Klassen e aus K(X) zu ihren Mukai-Vektoren
  v(e) := ch(e) sqrt(td(X)) definiert einen Homo K(X) --> H^*(X, Q)
  abelscher Gruppen. Dieser Homo wird im Allgemeinen nicht surjektiv sein!

* Ist e aus K(X x Y), so gibt es einen Fourier-Mukai-Homo
  H^*(X,Q) --> H^*(Y,Q). Dieser erhält im Allgemeinen weder die Graduierung
  noch die multiplikative Struktur.


=== Auflösung von Singularitäten

Denke an die Projektionsformel: Rpi_*(Lpi^*(E)) = E tensor^L Rpi_*(O_X).

* Wenn O_Y --> Rpi_*(O_X) ein Iso ist, sagt man, Y habe rationale
  Singularitäten. In diesem Fall ist Lpi^* : D(Y) --> D(X) volltreu.
  Somit kann man geometrische Fragen auf Y zu solchen auf X reduzieren.

* Eine kategorielle Auflösung eines Schemas X ist eine glatte kovollständige
  kompakt-erzeugte triangulierte Kategorie C mit einem adjungierten Paar
  triangulierter Funktoren

      pi^* : D(X) --> C    pi_* : C --> D(X)

  sodass:
  1. pi_* . pi^* = id.
  2. pi^* und pi_* vertauschen mit beliebigen direkten Summen.
  3. pi_*(C^c) <= D^b(Coh(X)).

* Eine triangulierte Kategorie heißt stark geometrisch, wenn sie eine
  semi-orthogonale Zerlegung in D(glatte alg. Var.)'s zulässt.

* Jedes separierte Schema von endlichem Typ über einem Körper der
  Charakteristik 0 besitzt eine kategorielle Auflösung durch eine stark
  geometrische triangulierte Kategorie, welche sogar eigentlich ist, wenn das
  Schema es ist.

  Wenn das Schema generisch reduziert ist, dann ist die Auflösung "birational"
  zum Schema: Man erhält eigentlich sogar eine Prägarbe von Auflösungen, und
  für genügend kleine offene Mengen stimmt die Auflösung mit der abgeleiteten
  Kategorie der offenen Menge selbst überein.

* Sei X eine Varietät, die nur rationale Singularitäten besitzt.
  Das heißt, wenn f : Y --> X eine Auflösung der Singularitäten ist, so gilt
  Rf_*(O_Y) = O_X. Sei L ein Geradenbündel auf Y. Genau dann ist L der Rückzug
  eines Geradenbündels auf X, wenn die Einschränkung von L auf alle formalen
  Fasern von f trivial ist. In diesem Fall gilt außerdem L = f^* f_* L.

  http://www.ams.org/journals/jams/2001-14-03/S0894-0347-01-00368-X/S0894-0347-01-00368-X.pdf
  Seite 542, Lemma 3.2.

Quelle: http://arxiv.org/pdf/1212.6170v1.pdf


=== Garbenkohomologie aus D^b(X)

Aus D^b(X) alleine kann man nicht Garbenkohomologie von den Objekten aus D^b(X)
rekonstruieren. Aber schon, wenn man O_X in D^b(X) kennt:

    H^n(X, F) = Ext^n(O_X, F).

Die Kenntnis von O_X ist gleichbedeutend zur Kenntnis von Rf_* : D^b(X) -->
D^b(pt), denn

    O_X = Rf^*(k) = f^*(k)  und  Rf_*(F) = RHom(O_X, F).

(Aus Kenntnis von Rf_* sollte Kenntnis von Rf^* folgen.)


=== Nächste Schritte

* Grundlegende Lemmas zu D(X) notieren.
* Satz über exzeptionelle Sequenz beweisen können.
* Seite 17 unten von Bridgeland/SpringSchool ("Properties of D(X)")
  verstehen: Finiteness, Riemann-Roch, Serre duality.
* D^b(X) für X = Spec A? Wodurch wird D^b(X) und Aut(D^b X) dann erzeugt?
* Was ist D(X) anschaulich?

* Sei F : D^b(X) --> D^b(Y) eine Äquivalenz. Wie kann ich dann vorgehen,
  um einen Fourier-Mukai-Kern für F zu finden? Nutze Auflösung der Diagonale!

* Wie geht in Orlovs Resultat die (Anti-)Amplizität ein?

* Was bedeutet Omega^n ~~ O anschaulich? Welche Konsequenzen hat das?

* Folgendes Must-Read-Paper lesen:
  Orlov, Derived categories of coherent sheaves and equivalences between them.
  http://www.mi.ras.ru/~orlov/papers/Uspekhi2003.pdf

* Recollement-Paper lesen


=== Literatur

* Caldararu. Derived categories of schemes: a skimming.
  http://www.math.wisc.edu/~andreic/publications/lnPoland.pdf

* http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/derived9.pdf
  Ist sehr ausführlich!

* http://arxiv.org/abs/alg-geom/9506012
  Die Originalliteratur von Bondal und Orlov.
  Bemerkenswert verständlich!

* http://arxiv.org/pdf/1402.7364v2.pdf
  Unbedingt sichten. Perfekte Komplexe usw.

* http://www.math.purdue.edu/~lipman/Duality.pdf
  http://www.math.purdue.edu/~lipman/Spain/
  Wird von Bondal/Bergh zitiert. Unbedingt sichten.

* http://math.berkeley.edu/~qchu/Notes/256B.pdf
  Erzeuger, Auflösung, perfekte Komplexe, dg-Kategorien.
  Unbedingt unbedingt sichten!