derivierte-kategorie-nicht-lokal.txt

Siehe: Toën, Lectures on DG categories, Seite 8.

1) P^1 ist Pushout von Spec Z[T], Spec Z[U] über Spec Z[X,X^(-1)] in
   der Kategorie der Schemata.

2) Demzufolge ist Qcoh(P^1) Pullback (in einem geeigneten 2-kategoriellen Sinn)
   von Z[T]-Mod und Z[U]-Mod über Z[X,X^(-1)]-Mod.

3) Aber D_qcoh(P^1) ist nicht Pullback von D(Z[T]) und D(Z[U]) über
   D(Z[X,X^(-1)]): In D_qcoh(P^1) gibt es einen nichttrivialen Morphismus 

       O --> O(-2)[1]

   (der einem Element von Ext^1(O, O(-2)) ~~ H^1(O(-2)) ~~ Z entspricht),
   der aber im richtigen Faserprodukt der D's null ist.

Intuitiver Grund für die Nichtlokalität: Etwa entsprechen Homs in der
derivierten Kategorie Kohomologie- oder Extgruppen. Solche sind aber nicht
lokal: Etwa kann die Kohomologie auf einer Überdeckung jeweils null sein, ohne
global null zu sein.

"That is, already for the identity morphism, I think you have problems. For
instance, take a short exact sequence of vector bundles that doesn't split, so
the connecting homomorphism is non-trivial. However, the sequence splits
locally, so the connecting homomorphism is locally trivial."
http://mathoverflow.net/a/66193/31233

Zumindest aber ist die Eigenschaft eines Morphismus f : A --> B
in D(X), ein Isomorphismus zu sein, lokal, d.h. f ist genau dann ein Iso, wenn
für eine Überdeckung X = \bigcup U alle f|_U: A|_U --> B|_U jeweils Isos in
D(U) sind.
Beweis: f Iso
   <==> H^*(f) : H^*(A) --> H^*(B) Isos f.a. * (als Morphismen von Garben)
   <==> H^*(f)|_U Isos
   <==> H^*(f|_U) Isos
Der letzte Schritt funktioniert deswegen, da "Einschränken auf U" ein exakter
Funktor ist!

Nächste Schritte:
* Den richtigen 2-kategoriellen Sinn oben verstehen.
* Aussage 2) allgemein beweisen.
* Das Beispiel in 3) in und auswendig verstehen. Was ist der intuitive
  Grund fürs Scheitern?