darstellungstheorie.txt

=== Darstellungen auf Eigenräumen

Wirke G auf V. Sei A : V --> V ein Operator.

Wenn dieser G-äquivariant ist, so ist auch (A - lambda Id) G-äquivariant und
damit sind die Eigenräume von A G-Untermoduln. 

Beispiel: H ist (manchmal) invariant unter Drehungen, d.h. SO(3)-äquivariant.
Also sind Eigenräume Darstellungen von SO(3). Sollten sie eindimensional sein,
so sind sie automatisch irreduzible Darstellungen. Nun weiß man: Diese werden
durch zwei Zahlen klassifiziert -- genannt: Drehmoment und magnetische
Quantenzahl.


=== Orthogonale Zerlegungen

Wirke G auf V. Besitze V ein G-invariantes Skalarprodukt. Dann zerfällt V in
eine *orthogonale* direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen.

Ist A : V --> V ein selbstadjungierter G-äquivarianter Operator, so zerfällt in
dieser Situation V in eine orthogonale direkte Summe von Eigenräumen, welche
wiederum in eine orthogonale direkte Summe von irreduziblen Darstellungen
zerfällt.

Oft ist es so, dass die Eigenräume selbst schon irreduzibel sind. Wenn nicht,
hat man vielleicht den vollen Umfang der Symmetriegruppe nicht erkannt;
vergrößert man sie, so wird es für Darstellungen leichter, irreduzibel zu sein,
weil es dann für Untervektorräume schwerer wird, G-invariant zu sein.


=== C[G] enthält alle irreduziblen Darstellungen

http://unapologetic.wordpress.com/2010/11/17/decomposing-the-left-regular-representation/

C[G] = oplus_i dim(V_i) V_i.


=== Irreduzible Darstellungen der S_n

Die irreduzible Darstellungen der S_n lassen sich aus Young-Diagrammen
gewinnen: Der Projektionsoperator zu einem (willkürlich mit Zahlen
beschriftetem) Young-Diagramm ist

    Normalisierungsfaktor * Q * P : C[S_n] --> C[S_n],

wobei P = sum_pi pi, Q = sum_sigma sgn(sigma) sigma. Dabei läuft pi über all
die Permutationen, die nur die Zahlen in den Zeilen vertauschen, und sigma
analog über all die Permutationen, die nur die Zahlen in den Spalten
vertauschen.

Das Bild eines solchen Projektionsoperators ist eine irreduzible Darstellung.
Andere Zahlenbelegungen führen zu konjugierten Operatoren und isomorphen
Darstellungen.

Wenn man die Zahlen nur "standardmäßig" wählt (innerhalb jeder Zeile und Spalte
aufsteigend), erhält man jede Kopie einer irreduziblen Darstellung genau
einmal.

http://www.th.physik.uni-bonn.de/nilles/people/luedeling/grouptheory/data/grouptheorynotes.pdf

Siehe aber auch: http://ncatlab.org/nlab/show/Gram-Schmidt+process
Eine andere Basis.


=== Darstellungen der GL_n

http://sbseminar.wordpress.com/2008/07/08/how-to-write-down-the-representations-of-gl_n/

Hat was mit Okunkow zu tun!


=== Familie CRep(t) von Kategorien

http://sbseminar.wordpress.com/2009/02/25/delignes-%E2%80%9Cla-categorie-des-representations-du-groupe-symetrique-s_t-lorsque-t-n%E2%80%99est-pas-un-entier-naturel%E2%80%9D/


=== Nächste Schritte

* Siehe Siehe http://arxiv.org/pdf/math/0512103v1.pdf, Seite 32:
  K(Rep_findim(G)) ist angeblich die Verlinde-Algebra. Was ist denn die
  Verlinde-Algebra? :-)

* Verbindung zur Physik: Standardmodell und TQFT.
  Für TQFT siehe http://arxiv.org/pdf/math/0512103v1.pdf.

  Fundamentale Teilchen ^= irreduzible Darstellungen.

* http://arxiv.org/pdf/math-ph/0005032v1.pdf