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=== Anwendbarkeit von Čech-Methoden
http://mathoverflow.net/questions/4214/equivalence-of-grothendieck-style-versus-cech-style-sheaf-cohomology
* Im Tohoku-Artikel steht (Kor. 4 auf Seite 60) eine Aussage, dass
Čech = Garbenkohomologie, die als Voraussetzung nur Verschwindung von
Čech-Kohomologie benötigt. Damit kann man wohl den Serreschen
Verschwindungssatz beweisen.
* Außerdem steht dort (eine Seite weiter) ein Beispiel, wo Čech-H^2 Null, aber
das echte H^2 nicht Null ist.
=== Zusammenhang zu simplizialer Kohomologie
http://www.math.mcgill.ca/goren/SeminarOnCohomology/Sheaf_Cohomology.pdf, Seite 18:
Eine simpliziale Triangulierung induziert (über die Sternkonstruktion) eine
offene Überdeckung, deren Čech-Komplex isomorph zum simplizialen
Kokettenkomplex ist. Details angeblich in Griffiths, Harris: Principles of
algebraic geometry.
Angeblich kann man zwischen je zwei Triangulierungen einer Mannigfaltigkeit nur
mit den Pochner-Bewegungen wechseln. Siehe:
http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2001/qg16.1.html
=== Exaktheit
Der "garbisierte Čech-Funktor" O_X-Mod --> Kom^+(O_X-Mod) ist im Allgemeinen
/nicht/ exakt, aber linksexakt.
=== Garbisierte Čech-Auflösung
Der garbisierte Čech-Komplex liefert stets einen Quasiisomorphismus
E --> Č^*(UU, E),
unabhängig von der Tollheit der Überdeckung. Das zeigt man, indem man
nachweist, dass der Komplex
0 --> E --> Č^*(UU, E)
halmweise homotopieäquivalent zum Nullkomplex ist.
Siehe http://stacks.math.columbia.edu/tag/02FU.
* Wieso direktes Produkt statt direkte Summe?
1. Man möchte, dass für jede Überdeckung U und jede Garbe E gilt: Ȟ(U, E) =
E(X). Dazu benötigt man das direkte Produkt.
2. Man möchte eine Čech-zu-Garbenkohomologie-Spektralsequenz haben. In deren
Herleitung muss man an einer Stelle das direkte Produkt bzw. die direkte
Summe mit Kohomologie vertauschen. Korrekt ist das aber nur fürs direkte
Produkt: Siehe http://stacks.math.columbia.edu/tag/02FR. (Update: Wow, stimmt
es nicht auch für direkte Summen? Kohomologie vertauscht mit filtrierten
Kolimiten (in AB5-Kategorien) und unendliche direkte Summen sind filtrierte
Kolimiten von endlichen direkten Summen.)
Im Fall, dass die betrachtete Überdeckung lokal endlich ist, stimmen (beim
garbisierten Čech-Komplex) direktes Produkt und direkte Summe wieder überein.
Das steht ebenfalls im referenzierten Ausschnitt aus dem Stacks Project (ganz
unten).
* Im endlichen Fall kann man Č^*(UU, E) als iterierten Kegel ausdrücken:
Siehe Seite 2 von
https://math.berkeley.edu/~mhaiman/math256-fall13-spring14/cohomology-2_schemes.pdf.
* http://therisingsea.org/notes/Section3.8-HigherDirectImageOfSheaves.pdf, Prop. 9:
Die Čech-Garben sind azyklisch bzgl. Pushforward! Somit kann man also höhere
direkte Bilder berechnen. Genauer: f : X --> Y, X qc, X und Y qs, UU endliche
semi-separierende Überdeckung, fragliche Garben quasikohärent.
Dabei geht ein, dass für *quasikohärente* Garben E und affine Morphismen i
gilt: H^n(X, E) = H^n(Y, i_* E). Genauer ist der Pushforward einer injektiven
Auflösung von E eine flasque Auflösung von i_* E.
http://therisingsea.org/notes/Section3.2-CohomologyOfSheaves.pdf, Kor. 28.
=== Totalisierung und Postnikov-Systeme
* Seite 53 von http://therisingsea.org/notes/TriangulatedCategories.pdf.
=== Kanonische Abbildung Ȟ^1(X; F) --> Ext^1_klassisch(O_X, F)
Mit einem 1-Čech-Kozykel omega zu einem O_X-Modul F bezüglich einer Überdeckung
U_i kann man folgende Konstruktion durchführen: Man definiert einen O_X-Modul E
als Verklebung von
E_i := F|U_i \oplus O|_U_i
mit phi_ij: E_i|U_ij --> E_j|U_ij gegeben durch die Matrizen
[ id, omega_ij; 0, id ].
Dann kann man eine Sequenz
0 --> F --> E --> O --> 0
definieren (durch Verkleben der kanonischen Injektionen und Projektionen), und
diese ist exakt (lokal klar). Ihr Bild unter Ext^1_klass(O, F) --> H^1(X; F) ist
höchstwahrscheinlich [omega].
Unter dieser Konstruktion gehen Koränder auf zerfallende kurze exakte
Sequenzen. Ob umgekehrt nur Koränder zerfallende kurze exakte Sequenzen geben,
konnte ich nicht nachprüfen.
Beispiel: Überdecke S^1 durch U, V, W; habe dann nichttriviale
Kohomologieklasse [VW]. Diese induziert nicht-zerfallende kurze exakte Sequenz
0 --> Z --> ? --> Z --> 0.
=== Hyperüberdeckungen
https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf