bohrifikation.txt

=== C^*-Algebren

Def.: ...

Def.: Ein Element a einer *-Algebra heißt genau dann normal, wenn a* a = a a*.

Bem.: Jedes Element ist Summe zweier normaler Elemente:

    a = 1/2 * ((a + a*) + (a - a*)).

Bem.: Jede Abbildung A --> B zwischen zwei C^*-Algebren, die aber nur auf
den normalen Elementen von A definiert zu sein braucht, lässt sich in eindeutiger
Weise zu einem auf ganz A definierten Homo fortsetzen. Wie lautet die präzise
Formulierung?


=== Quantenmechanische Systeme

Def.: Ein quantenmechanisches System ist das formale Duale einer C^*-Algebra A,
vorgestellt als den would-be-Phasenraum des Systems.

Wörterbuch:
* Observable: selbstadjungierte Elemente a \in A.
  -- Äquivalent: C^*-Algebrenhomos C(R)_0 --> A.
* Zustände: C-lineare Abbildungen p : A --> C (positiv und normalisiert).
* Wert der Observablen a im Zustand p: p(a).
* Ein-Parameter-Untergruppe R --> Aut(A): Evolution des Systems.

Mit der GNS-Konstruktion kann man solchen quantenmechanischen Systemen
Hilberträume zuordnen.

Beispiel: A = L(H,H) für einen Hilbertraum H.

Weiter im Wörterbuch:
* Quasi-Zustände: Abbildungen p : A --> C (positiv und normalisiert),
  die auf allen kommutativen Unteralgebren von A C-linear sind.
  "Operationally, quasi-states should be the genuine states!"


=== Bohr-Topos zu einem quantenmechanischen System A

Def.: Bohr(A) := [C(A), Set], wobei C(A) die partiell geordnete Menge der
kommutativen C^*-Unteralgebren bezeichnet.

In Bohr(A) gibt es nun die tautologisch definierte C^*-Algebra

    U \in C(A) |--> U.

Die Besonderheit liegt darin, dass diese aus interner Sicht kommutativ ist!

* Ein Quasi-Zustand ist dasselbe wie ein klassischer Zustand der internen
  Algebra.


=== Quanten-Logik

Simon Kramer.
Quantum Logic as Classical Logic.
http://arxiv.org/abs/1406.3526


=== Literatur

* http://ncatlab.org/nlab/show/Bohr%20topos