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=== Literatur
* Hatcher (aha!)
* http://math.stackexchange.com/questions/1297513/an-introduction-to-algebraic-topology-from-the-categorical-point-of-view
* https://mathoverflow.net/questions/277069/what-is-homology-anyway (über das
Wesen von Homologie)
=== Simpliziales Standard-n-Simplex
Der augmentierte simpliziale Kettenkomplex zu Delta[n] ist gegeben durch
0 <-- Z <-- Lambda^{>= 1} Z^(n+1).
Das Differential sieht so aus:
Lambda^(m+1) Z^(n+1) --> Lambda^m Z^(n+1),
v_0 wedge ... wedge v_m |-> sum_i (-1)^i theta(v_i) v_0 ... v_m ohne v_i gewedged,
wobei theta : Z^(n+1) --> Z die Koeffizienten addiert.
=== Singuläre Homologie
n-Kette: Linearkombination von n-Simplizes
n-Zykel: n-dimensionales Gebiet ohne Rand (Linearkombinationen erlaubt!)
n-Rand: n-dimensionales Gebiet, das etwas (n+1)-dimensionales berandet
"Kleine Ketten": Ist U ein System von Teilräumen von X deren Innere X
überdecken, so ist die Inklusion C_*(U) --> C_*(X) ein Quasiisomorphismus.
Endlich-malige baryzentrische Unterteilung C_*(X) --> C_*(X) ist homotop zur
Identität.
* Ist gamma eine Schleife, so ist gamma(a + _) eine zu gamma homologe Schleife.
Daher sind ab und ba in S^1 v S^1 homolog.
=== compactly supported simplicial cohomology
Koketten: dieselben wie in simplizialer Kohomologie, sollen aber kompakten
Träger haben.
Dann etwa H^0(R) = 0, H^1(R) = Z.
=== Singuläre Kohomologie
n-Kokette: Zuordnung von Koeffizienten zu allen n-Simplizes
n-Kozykel: "lokal konsistente n-Koketten" ("könnten von einem Potenzial
stammen")
n-Korand: Zuordnung, die "global konsistent" ist, d.h. von einem Potenziel
stammt
=== de-Rham-Kohomologie
d omega = 0: Integral über omega ist unabhängig vom Weg (bei Deformationen)
omega = d alpha: Integral über omega ist null auf geschlossenen Wegen
0-Formen sind Funktionen; das Integral einer Funktion f über einen 0-Zykel
sum a_i P_i ist sum a_i f(P_i). Der Satz von Stokes gilt dafür. Geschlossenheit
von f bedeutet, dass f lokal konstant ist.
omega = (-y dx + x dy) / (x^2 + y^2) ist auf R^2 \ {0} geschlossen, aber nicht
exakt. Man kommt auf diese Form wie folgt:
1/z dz = 1/(x+iy) d(x+iy) = (x-iy)/(x^2+y^2) (dx + i dy)
= ... + i omega; da das Integral über 1/z dz 2 pi i ist, weiß man, dass
das Integral über omega 2 pi ist.
=== Čech-Kohomologie
n-Kokette: Zuordnung von Koeffizienten (Schnitten der untersuchten Garbe F) zu
(n+1)-Schnitten der Überdeckungsmengen
0-Kozykel: Verklebedatum für einen globalen Schnitt von F
1-Kozykel: Schnitte phi_ij, die die Kozykelbedingung erfüllen: phi_jk - phi_ik + phi_ij = 0.
1-Korand: d phi = (phi_j - phi_i)_ij
=== Morse-Homologie
* http://people.maths.ox.ac.uk/ritter/morse/ritter-book-introduction.pdf
* Wikipedia
* Kann Kohomologie, Poincaré-Dualität, Künneth, Cup-Produkt darüber verstehen.
=== Verbindender Homomorphismus in relativer singulärer Homologie
...der liefert zu einer relativen Kette in C_n(X, A) tatsächlich ihren Rand als
Element von H_(n+1)(A).
=== Relative Homologie
Die Zuordnung U |--> H_n(X, X \ U) definiert eine Prägarbe. Deren
Garbifizierung ist die Orientierungsgarbe. Ihr Halm an einem Punkt x ist
die relative Homologie H_n(X, X \ {x}).
Siehe:
* http://mathoverflow.net/questions/79200/orientation-sheaf-and-double-cover
* http://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0081420
Sheaves that are locally constant with applications to homology manifolds
=== Mayer--Vietoris
* Eine Interpretation: Kompatible Kohomologieklassen lassen sich verkleben
-- im Allgemeinen aber nicht eindeutig!. (Daher kann eine globale Klasse mehr
Information enthalten als ihre Einschränkungen auf Teile.)
* Die Mayer--Vietoris-Sequenz impliziert, dass die Euler-Charakteristik
eine Bewertung ist (d.h. das Inklusions-/Exklusionsprinzip erfüllt).
=== Torus
http://qchu.wordpress.com/2013/10/12/the-cohomology-of-the-n-torus/
=== Hawaiianischer Ohrring
Daniel K. Biss.
A generalized approach to the fundamental group.
http://www.jstor.org/stable/2695468
=== Twisted coefficients / lokale Systeme
Davis. Lecture Notes in Algebraic Topology.
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/davkir.pdf
Hutching. Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.
http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/homotopy.pdf
=== Eilenberg-MacLane-Räume
* K(B_n, 1) = C_n(C), der Konfigurationsraum von n verschiedenen ungeordneten Punkten in C.
B_n ist die braid group.
https://math.berkeley.edu/~qchu/Syllabus.pdf
=== Zählen
* https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/docs/Schanuel_Length_of_potato.pdf
(von Peter Arndt empfohlen)
* John Baez: Mysteries of counting.
=== Witzige Anwendungen von Homologie
* http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/06/cohomology_in_everyday_life.html
* On the Cohomology of Impossible Figures.
Vergleiche auch:
http://projecteuclid.org/euclid.ndjfl/1039540768, Peeking at the Impossible.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.2279&rep=rep1&type=pdf,
Machine Interpretation of Line Drawings.
* http://www.math.wayne.edu/~isaksen/Expository/carrying.pdf
* http://www.math.upenn.edu/~ghrist/EAT/EATchapter4.pdf
=== Nächste Schritte
* Verbindender Homomorphismus in allgemeineren (Ko-)Homologietheorien
* Ist simpl->sing. Homologie ein qis?
* Mayer-Vietoris-Sequenz als Entartung einer Spektralsequenz verstehen
* Wieso ist Integrieren ein Algebra-Homomorphismus Omega^*(M) --> C^*(M)?
* Grundlagen über gemeinsame Verfeinerungen, die Hauptvermutung usw.
herausfinden. Werden Dächer in der derivierten Kategorie gestiftet?
https://www.quantamagazine.org/20150113-a-proof-that-some-spaces-cant-be-cut/
* Aussagen über die Orientierungsgarbe nachvollziehen.
* On the Cohomology of Impossible Figures.
http://www.jstor.org/discover/10.2307/1575844?uid=3737864&uid=2&uid=4&sid=21104402086837
Verstehen!
* Morse-Anschauung verstehen