aequivariante-geometrie.txt

=== Invarianten und Koinvarianten

* Ist V ein R-Modul mit G-Wirkung, wobei |G| in R invertierbar ist, so ist
  V^G zu V_G isomorph, und zwar vermöge

      x |--> [x]  und  [x] |--> 1/|G| * sum_g gx.


=== Äquivariante Kohomologie

* H_G(X) := H(X_G), wobei X_G := (EG x X) / G.

  Hintergrund: G operiert auf X_G frei, und EG x X ist homotopieäquivalent zu X.

* H_G(pt) = H(EG/G) = H(BG) = Gruppenkohomologie von G.
  Allgemeiner ist H_G(X) = H(BG), falls X zusammenziehbar ist.

* H_G(X) wird H_G(pt)-Modul.

* Falls G trivial operiert: H_G(X) = H(BG) tensor H(X) (Künneth).

* Falls G frei operiert: H_G(X) = H(X/G), denn dann ist
  (EG x X)/G --> X/G ein Faserbündel mit zusammenziehbarer Faser EG.

* Ein Nutzen: Berechnung von Integralen durch Betrachtung von (nur wenigen!)
  Fixpunkten. http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300423p.pdf

* Svens Bemerkung

* Lurie (http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/survey.pdf, Seite 10:
  Wenn X ein Haupt-G-Bündel über Y ist, dann sollte K_G(X) = K(Y) gelten,
  und zwar sogar für alle Vorstellungen von Kohomologietheorien.

* Die Idee, über X_G zu gehen, ist nicht immer gut. Etwa stimmt
  K(X_G) nicht mit der offensichtlich guten Definition von K_G(X) über
  äquivariante Bündel überein.

* In Grothendiecks Tohoku-Artikel steht im letzten Kapitel auch
  einiges zu Garbenkohomologie im Kontext einer G-Wirkung. Insbesondere gibt es
  dort eine Spektralsequenz.

* K(X_G) ist die Vervollständigung der G-äquivarianten K-Theorie von X.
  https://ncatlab.org/nlab/show/completion+of+a+ring


=== Verbindung zwischen H_G(X) und H(X/G)

* Es gibt eine Spektralsequenz, um aus H_G(X) und weiteren geometrischen Daten
  die Kohomologie von X/G zu bestimmen.
  http://mathoverflow.net/questions/1080/how-to-compute-the-cohomology-of-orbit-spaces-when-the-action-is-not-free


=== Leider kein Topos-Kodifferenzkern

Wirke eine diskrete Gruppe G auf einem Raum X. Dann hat man

    die Wirkung     rho : G x X --> X  und
    die Projektion   pi : G x X --> X.

Man könnte daher denken, dass die Kategorie der G-äquivarianten Garben auf X
(also Garben auf X zusammen mit G-Linearisierung) der Kodifferenzkern

    Sh(G x X) ===> Sh(X) ---> Sh(X)_G

ist. Aber das ist leider nicht der Fall, wie die Betrachtung des Spezialfalls X = pt
zeigt: Denn dann sieht dieses Diagramm so aus,

    Set^G ===> Set ---> G-Set,

und ist gewiss kein Kodifferenzkerndiagramm, denn die beiden parallelen
Morphismen vorne sind gleich. Der Kodifferenzkern ist also einfach wieder Set.


=== Kohomologie des gewöhnlichen Quotienten X/G

* Falls X lokal kompakt und hausdorffsch ist und G endlich ist, so habe
  einen Homo mu : H^*(X; k) --> H^*(X/G; k) mit:

      mu . pi^* = |G| * id

      pi^* . mu = sum_g g^*.

  Folgt mit der Leray-Spektralsequenz.
  http://www.indiana.edu/~jfdavis/seminar/Borel,Seminar_on_Transformation_Groups.pdf,
  Seite 37.

* Als Korollar erhält man: H^*(X/G; k) = H^*(X; k)^G (Invarianten),
  falls |G| in k invertierbar ist.

* Ebenfalls als Korollar erhält man:

      chi(X/G) = 1/|G| sum_g chi(X^g).

  Denn: chi(X/G) = dim H^*(X/G;k) = dim H^*(X;k)^G = dim im P
            = 1/|G| sum_g tr g = 1/|G| sum_g L(g) = 1/|G| sum_g chi(X^g).

  Hier geht also die Lefschetzsche Fixpunktformel ein.

  Patrick Shanahan. The Atiyah-Singer Index Theorem. Seite 127.
  http://www.indiana.edu/~jfdavis/teaching/m721/resources/shanahan.pdf

* Vergleiche:
  http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/135/1/78_On%20the%20Euler%20number%20of%20an%20orbifold.pdf

      chi(X//G) = 1/|G| sum_{gh=hg} chi(X^{g,h})
                = sum_{Konjugationsklassen [g]} chi(X^g / C(g)).

  Aber irgendwas ist hier faul. Es müsste nämlich gelten:

      chi(pt//G) = 1/|G|.

  Mit der Formel aber folgt: chi(pt//G) = |Konjugationsklassen in G|.

  Vielleicht gibt es einen Unterschied zwischen chi(X,G) und chi(X//G).
  Ja, gibt es; siehe Warnung unten.

* Man "erwartet", dass chi(X//G) die Euler-Charakteristik einer krepanten
  Auflösung von X/G ist.


=== Warnung vor dem Begriff "orbifold cohomology"

Orbifold cohomology is not a model for the cohomology of the orbifold (or more
generally stack) itself, but for that of its inertia stack (a.k.a. derived loop
space), which parametrizes points of the stack together with automorphisms.

http://mathoverflow.net/a/57191

Das steht sogar in "On the Euler number of an orbifold" (zweite Seite in der
PDF, unten): e(X, G) ist die *topologische* Euler-Charakteristik des
Quotientenraums L(X,G)/G. Dabei ist L(X,G) eine Art Schleifenraum.


=== Singularität ist zu wenig orbig

In der algebraischen Kategorie:

    A^1 / C_2 = Spec R[x]^C_2 = Spec R[x^2] = A^1,

falls in R die Zahl 2 regulär ist.


=== Derivierte Kategorie

* Falls G diskret ist, ist D^b_G(X) := D^b(Coh_G(X)) eine gute Definition. Sonst
  nicht.

  Allgemein gilt: D^b_G(X) = { H in D^b(X_G) | exists P in D^b(X): p^*(G) =
  q^*(H) }, wobei X <--p-- EG x X --q--> (EG x X)/G.

* Falls die Wirkung von G frei ist, gilt D^b_G(X) = D^b(X/G).
  Dann gilt auch Coh_G(X) = Coh(X/G).

* D^b_G(pt) = { F in D^b(BG) | H^i(F) lokal konstant für alle i }

* Habe Gamma^G : Qcoh_G(X) --> Vect_G(k) --> Vect(k) (Invarianten nehmen).
  Wenn |G| _|_ char k, ist der letzte Teilfunktor exakt. Daher gilt dann:

      H^i_G(X, F) = H^i(X, F)^G  (Invarianten).

  Falls die Wirkung von G auf X trivial ist, kann man Gamma^G auch verstehen
  als Komposition

      Qcoh_G(X) --> Qcoh(X) --> Vect(k)  (vorne Invarianten nehmen).

  Nun ist der vordere Teilfunktor exakt; es gilt

      H^i_G(X, F) = H^i(X, F)^G = H^i(X, F^G).

* Analog gilt: Ext^i_G(E, F) = Ext^i(E, F)^G.

* Falls |G| nicht teilerfremd zur Charakteristik ist, hat man noch
  entsprechende Spektralsequenzen.

* Evtl. gilt auch Hom_{D^b_G(X)}(E, F) = Hom_{D^b(X)}(E, F)^G,
  aber das habe ich noch nicht genau nachvollzogen.

* Krug und Sosna in http://arxiv.org/pdf/1404.2105v1.pdf#page=13: Angeblich
  folgt aus der Künneth-Formel, dass

      Ext^*_{X^n}(E^boxtensor(n), E^boxtensor(n))^{S_n} =
          S^n Ext^*_X(E, E).

  Siehe auch http://mathoverflow.net/questions/141222/k%C3%BCnneth-formula-for-ext-groups.
  Außerdem Remark 4.2 in dem Paper.

http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/2613/pdf/Diplomarbeit.pdf

Siehe auch: http://stanford.edu/~zwyun/Bernstein-Lunts.pdf
http://ncatlab.org/nlab/show/equivariant+derived+category
Man muss aufpassen, ob man im topologischen Kontext oder algebraischen Kontext
arbeitet (lokal konstante/konstruierbare Garben vs. kohärente O_X-Modulgarben).
Algori sagt, dass die naive Definition im kohärenten Kontext völlig okay ist:
http://mathoverflow.net/questions/81016/reference-for-the-derived-category-of-x-x-g-and-x-g


=== Äquivariante K-Theorie

* Die Aussage "K_G(X) ~~ K(X)^G" ist völlig falsch. Denke an den Fall X = pt:
  K_G(pt) = K(Coh_G(pt)) = K(Rep_k(G)) = Darstellungsring von G,
  aber K(pt)^G = Z^G = Z.

* Die Aussage "K_G(X) ~~ K(X_G)" (siehe oben für X_G) ist falsch.
  Aber zumindest hat man eine kanonische Abbildung K_G(X) --> K(X_G),
  und etwa im Fall X = pt sagt das Atiyah-Singer completion theorem,
  dass K(pt_G) = K(BG) die Vervollständigung von K_G(pt) = R(G) am Ideal der
  virtuellen Darstellungen der Dimension Null ist.


=== Ein Beispiel für die Orbifold-Euler-Charakteristik

Auf A^1 und P^1 wirkt Z/m, durch Multiplikation mit einer primitiven m-ten
Einheitswurzel. Man kann leicht nachrechnen, dass A^1/(Z/m) ~~ A^1 (vermöge
f(X) <-> f(X^m)). Vermutlich stimmt daher auch P^1/(Z/m) ~~ P^1.

Dann gilt:

    e(P^1, Z/m) = e(P^1) + (n-1) e((P^1)^g/C_g) = 2 + (n-1) 2 = 2n.
        (mit der Formel aus "On the Euler number of an orbifold"

    e(P^1/(Z/m)) = e(P^1) = 2.


=== Affine Gerade modulo multiplikative Gruppe

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/06/algebraic_geometry_for_categor.html#c025044

One of the nicest important examples of an Artin stack is even simpler, namely
the quotient of just the affine line by the multiplicative group. It has the
nice feature that coherent sheaves on it are the same as filtered vector
spaces. Simpson has used this picture to define what it means to have a
filtration on all kinds of things, like on schemes or stacks or categories or
higher categories or… - it just means that you have a scheme/category/etc. over
this quotient stack, or equivalently you have one over the affine line,
equivariantly for the action of the multiplicative group. This is how one
defines eg the Hodge filtration on nonabelian cohomology.


=== Tangentialraum

Wirke auf X eine Gruppe G. Sei X^G der Unterraum der Fixpunkte. Sei x aus X^G.
Dann hat man manchmal, dass der Tangentialraum von X^G an x einfach der Fixraum
des Tangentialraums von X an x:

    T_x X^G = (T_x X)^G.

Steht in
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/sites/ifmaquette.ujf-grenoble.fr/files/bertin_rev.pdf.


=== Coh([X/G]) = Coh_G(X)

https://qchu.wordpress.com/2016/05/31/higher-linear-algebra/

If the stacky quotient X/G happens to be an ordinary scheme (so X --> X/G is a
G-torsor in schemes), this is a generalization of Galois descent, to which it
reduces in the case when k --> L is a finite extension, X = Spec L, and G is
the Galois group.


=== Literatur

* Martin Entrup: Die äquivariante derivierte Kategorie des komplex-projektiven Raumes.
  http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/2613/pdf/Diplomarbeit.pdf

* Loring Tu: What is ... Equivariant Cohomology?
  http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300423p.pdf

* Loring Tu: Computing topological invariants using fixed points.
  https://wikis.uit.tufts.edu/confluence/download/attachments/49921557/13e_integrals_v5.pdf


=== Sichten

* http://golem.ph.utexas.edu/category/2008/12/bridge_building.html