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* http://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/abelian.pdf
* Huybrechts gibt auf Seite 193 einen Kurzüberblick.
* http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/rterpere/abelian-varieties-old-new
* http://www.mi.fu-berlin.de/users/elenalavanda/BMoonen.pdf
sieht super aus! Diskuttiert auch Quotienten: kategorielle Quotienten,
geometrische Quotienten, fppf-Quotienten, ...
=== Elliptische Kurven
Wieso gibt es auf elliptischen Kurven ein Gruppengesetz, aber nicht zum
Beispiel auf Kreisen? Hängt mit der Interpretation als Divisoren zusammen.
Verstehen!
Zur Transformation auf die Weierstraßnormalform benötigt man einen Punkt auf
der Kurve.
Der Koordinatenring einer elliptischen Kurve ist von Dimension 1, evtl. ein
Dedekindring.
http://www.math.rochester.edu/people/faculty/edummit/docs/talk_NTS_elliptic_curves.pdf
ist gut! http://www.math.wisc.edu/~dummit/docs/talk_NTS_elliptic_curves.pdf
https://www.union.ic.ac.uk/rcsu/mathsoc/ugc.html
"Surprisingly, the theory of elliptic curves gives an extremely efficient
algorithm. These geometric objects carry a deep algebraic structure that can be
exploited to yield a (relatively) quick way of factorising numbers. My talk
will be an introduction to elliptic curves and their applications to
factorisation."
=== Kohomologie und wichtige Garben
* H^i(C^g/Gamma, Z) = Lambda^i Gamma^.
* Omega_A ist trivial.
* c_i(A) = 0 für i > 0.
=== Albanese-Morphismus
A --> Alb(A) = H^0(A, Omega)^* / H_1(A, Z)
a |-> int_e^a.
=== Kategorieller Hintergrund zur Albanese-Varietät
https://golem.ph.utexas.edu/category/2016/08/the_magic_of_algebraic_geometr.html
=== Sägezahnprinzip
Sei X eine irreduzible vollständige Varietät, T ein ganzes Schema und L ein
Geradenbündel auf X x T. Sei für alle abgeschlossenen Punkte t aus T
die Einschränkung L|_{X x {t}} trivial. Dann gibt es ein Geradenbündel M auf T
mit L = p^*(M).
Zutaten für den Beweis (siehe Huybrechts, Seite 194):
* L_t trivial <==> H^0(X, L_t) != 0 und H^0(X, L_t^) != 0.
* Halbstetigkeit von h^0(X, L_t) impliziert, dass trivial zu sein
eine abgeschlossene Bedingung ist.
* Das direkte Bild M := p_*(L) ist, wegen Rang- und Halbstetigkeitszeugs,
ein Geradenbündel.
* Habe p^*(M) --> L. Dieser Morphismus ist auf X x {t} jeweils ein Iso.
Fertig.
=== Duale Varietät
* Pic^0(A) = { L in Pic(A) | t_a^*(L) = L für alle a aus A } ist die
Untergruppe der translationsinvarianten Geradenbündel.
* n^*(L) = L^n für L aus Pic^0(A).
* Nichttriviale translationsinvariante Geradenbündel haben triviale
Kohomologie, sogar in Grad 0.
* A^ := H^1(A,O) / H^1(A,Z) ist ein komplexer Torus (Hodge-Theorie).
* A^ sitzt in der Sequenz
A^ --> Pic(A) = H^1(A, O^*) --> H^2(A, Z),
die von der exponentiellen Garbensequenz herkommt.
* A^ und Pic^0(A) sind als Untergruppen gleich.
* Auf A^ x A lebt das wichtige Poincaré-Bündel P. Es hat folgende Eigenschaften:
* P|_{{L} x A} = L für L aus A^ = Pic^0(A).
* P|_{A^ x {e}} ist trivial.
* (A^, P) stellt den Picard-Funktor dar:
Pic^0_A(S) := { M in Pic(S x A) | M_s in Pic^0(A) für alle abgeschlossenen s aus S }/~
* H^1(A^, Z) = H^1(A, Z)^.
* P liegt nicht in P^0(A^ x A).
=== Die Faltung mit dem Poincaré-Bündel
* phi_P : D^b(A^) --> D^b(A).
* phi_P(k(a)) = P_a.
=== Derivierte Äquivalenzen
* D^b(A) = D^b(A^).
* D^b(A) ist nur für endlich viele B gleich D^b(B).
* Jede Äquivalenz D^b(A) --> D^b(B) induziert einen Iso
H^*(A, Z) --> H^*(B, Z). Huybrechts betont mit einem Ausrufezeichen, dass es
hier um ganzzahlige Kohomologie geht.
* D^b(A) = D^b(B) genau dann, wenn es eine Hodge-Isometrie
H^1(A x A^, Z) --> H^1(B x B^, Z) gibt.
* Fourier-Mukai-Kerne von Äquivalenzen D^b(A) --> D^b(B) sind, bis auf Shifts,
einfach Garben (statt Komplexe von Garben).
* Aut(D^b(A)) passt in eine recht explizite kurze exakte Sequenz, siehe
Huybrechts, Seite 224.