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<article-title>Un estudio sobre los retornos del mercado de renta fija
dominicano utilizando basados en modelos AR-GARCH</article-title>
<subtitle>Trabajo final de tópicos de econometría</subtitle>
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<institution>INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SANTO DOMINGO
(INTEC)</institution>
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<pub-date date-type="pub" publication-format="electronic" iso-8601-date="2024-10-19">
<year>2024</year>
<month>10</month>
<day>19</day>
</pub-date>
<history></history>
<abstract>
<p>Este estudio tiene como objetivo analizar los retornos y la
volatilidad del mercado de deuda pública dominicana mediante la
aplicación de modelos ARMA-GARCH. A través de estos modelos, se busca
identificar patrones en el comportamiento de los retornos y predecir su
evolución futura.</p>
</abstract>
<kwd-group kwd-group-type="author">
<kwd>Mercado de renta fija</kwd>
<kwd>Deuda pública</kwd>
<kwd>Modelos AR-GARCH</kwd>
</kwd-group>
</article-meta>
</front>
<body>
<sec id="introducción">
<title>1. Introducción</title>
<p>El mercado de renta fija en la República Dominicana ha emergido
como uno de los sectores más importantes dentro de la economía,
especialmente en lo que respecta a la deuda pública, la cual juega un
papel crucial en la financiación de proyectos gubernamentales y el
sostenimiento de la política fiscal. En los últimos cincuenta años, el
país ha experimentado un crecimiento económico significativo,
consolidándose como una de las economías más dinámicas de América
Latina. Este crecimiento ha estado acompañado por una mayor
complejidad económica, lo que ha incrementado la relevancia del
mercado financiero dominicano, en particular el mercado de deuda
pública, que ha sido un activo clave para fondos de pensiones y fondos
de inversión.</p>
<p>Sin embargo, este mercado también presenta importantes desafíos,
especialmente en términos de baja liquidez en el mercado secundario y
episodios de alta volatilidad. Estos problemas dificultan la previsión
precisa de los movimientos del mercado y complican la toma de
decisiones estratégicas para los inversores. En este contexto, surge
la necesidad de utilizar herramientas econométricas que puedan
capturar con mayor precisión las dinámicas subyacentes de los retornos
y la volatilidad del mercado de deuda pública dominicano.</p>
<p>La <bold>pregunta de investigación</bold> que guía este estudio es:
¿Es posible modelar adecuadamente los retornos y la volatilidad del
mercado de deuda pública dominicano mediante modelos ARIMA-GARCH?, y
¿Qué tan efectivas son estas técnicas para predecir el comportamiento
futuro del mercado, especialmente durante periodos de alta
volatilidad?</p>
<p>El <bold>objetivo principal</bold> de este estudio es aplicar
modelos ARMA-GARCH para analizar y predecir el comportamiento de los
retornos del índice de deuda pública IRP-GOBIX, considerando tanto la
tendencia como los patrones de volatilidad del mercado. A través de la
estimación de estos modelos, se busca identificar los principales
factores que afectan la dinámica de los retornos y proporcionar
información valiosa para los actores del mercado, facilitando una
gestión más eficiente del riesgo.</p>
<p>Además, este estudio pretende evaluar la <bold>consistencia de los
modelos</bold> y determinar si los modelos de volatilidad más
sofisticados, como el Zero-GARCH, ofrecen una mejor capacidad de
predicción que los modelos tradicionales basados únicamente en niveles
y diferencias, como el ARIMA. Un aspecto clave será analizar si el
modelo GARCH captura adecuadamente los choques bruscos y los episodios
de volatilidad extrema, o si suaviza excesivamente estos
movimientos.</p>
<p>La <bold>relevancia</bold> de este estudio radica en la creciente
importancia del mercado de deuda pública dominicano, tanto para la
estabilidad financiera del país como para los inversores extranjeros
que buscan oportunidades de inversión en mercados emergentes.
Comprender los patrones de retorno y volatilidad es esencial para
diseñar estrategias de inversión que minimicen el riesgo y maximicen
el rendimiento en un entorno económico globalizado y altamente
incierto.</p>
</sec>
<sec id="metodología">
<title>2. Metodología</title>
<p>El modelo ARIMA(p,d,q), donde AR(p) es el componente autorregresivo
de orden p, d denota el orden de la diferencia aplicada para
transformar una serie temporal no estacionaria en estacionaria, y
MA(q) representa el promedio móvil de orden q. La esencia del modelo
ARIMA radica en la combinación de la operación de diferenciación y el
modelo ARMA. Cualquier serie no estacionaria puede volverse
estacionaria mediante una diferenciación de orden adecuado,
permitiendo así ajustar un modelo ARMA a la serie transformada.</p>
<p>El modelo de promedio móvil autorregresivo ARMA(p,q) incluye tanto
un componente autorregresivo de orden p como uno de promedio móvil de
orden q, y se estructura de la siguiente forma:</p>
<p><disp-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[
X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q}
]]></tex-math>
<mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>…</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϕ</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>…</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>θ</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
{eq: arma}</p>
<p>Estos modelos son adecuados solo para describir series temporales
suaves, mientras que en la práctica, a menudo se trabaja con series
temporales no suaves. Para estos casos, aplicar una o dos
diferenciaciones puede transformar los datos en series suaves.</p>
<p>Si no se cumple el supuesto de homogeneidad de la varianza, puede
ocurrir heterocedasticidad. Dado que los datos de la muestra son
suaves, en este documento se establece un modelo ARMA(p,q) para la
serie de rendimientos con el fin de describir las características de
volatilidad del índice GOBIX. Se realizan pruebas de efecto ARCH y se
resuelve el problema de la heterocedasticidad mediante un modelo
GARCH.</p>
<p>El modelo GARCH extiende el modelo ARCH al considerar la
autocorrelación de orden p en la función de heterocedasticidad, lo que
permite ajustar de manera efectiva una función de heterocedasticidad
con memoria a largo plazo. El modelo GARCH se define de la siguiente
manera:</p>
<p><disp-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[
a_t = \sigma_t \epsilon_t, \quad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i a_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2
]]></tex-math>
<mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>a</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>ϵ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace width="1.0em"></mml:mspace><mml:msubsup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>a</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup><mml:mo>+</mml:mo><mml:munderover><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi></mml:munderover><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:msubsup><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>j</mml:mi></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula>
{#eq: garch}</p>
<p>El modelo GARCH, propuesto por Bollerslev, atribuye la volatilidad
actual tanto a la volatilidad de momentos pasados como a los errores
de momentos pasados, lo que le permite explicar el fenómeno de
agrupación en la volatilidad de los rendimientos financieros.</p>
</sec>
<sec id="datos">
<title>3. Datos</title>
<sec id="fuente-de-datos">
<title>3.1 Fuente de datos</title>
<p>Un Índice Financiero es una medida estadística que refleja el
valor de un conjunto de activos financieros agrupados de acuerdo con
ciertos criterios.Estos se utilizan como objetivo de rendimiento de
portafolios, referencias sobre las características retorno/riesgo de
una clase de activo y como referencia para productos anclados a
índices.</p>
<p>En el mercado de renta fija de la República Dominicana, el único
índice público es el GOBIX, que representa la deuda gubernamental
consolidada en peso. Este índice está compuesto por títulos emitidos
localmente por el Banco Central y el Ministerio de Hacienda, y se
publica en dos modalidades: índice de precio limpio e índice de
retorno-precio. Para este estudio, se utilizará el índice de retorno
precio
<xref alt="Section 3.2" rid="sec-retorno-precio">Section 3.2</xref>,
ya que aisla el componente de retorno de mercado el cual es el
objetivo de estudio.</p>
<p>El GOBIX se caracteriza por los siguientes criterios:</p>
<list list-type="bullet">
<list-item>
<p><bold>Elegibilidad</bold>: Solo se incluyen títulos “bullet”
emitidos en pesos dominicanos con al menos 60 días desde su
emisión.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Liquidez</bold>: Los títulos se seleccionan en función
del Índice de Bursatilidad publicado por la Proveedora de
Precios, garantizando la inclusión de los instrumentos más
negociados.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Ponderación</bold>: La ponderación se realiza por
capitalización de mercado, lo que asegura que los títulos más
relevantes tengan mayor peso en el índice.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Rebalanceo</bold>: Se efectúa un rebalanceo mensual
para ajustar el índice según la disponibilidad de inversión en
los bonos.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Fuentes de información</bold>: Los datos provienen de
la Bolsa de Valores de la República Dominicana y la Proveedora
de Precios.</p>
</list-item>
</list>
</sec>
<sec id="sec-retorno-precio">
<title>3.2 Índice de Retorno-Precio</title>
<p>El índice de retorno-precio es una metodología utilizada para
calcular el rendimiento de un índice de renta fija, centrándose
exclusivamente en las variaciones del precio limpio de los títulos,
sin tener en cuenta los intereses acumulados ni el pago de cupones
durante el período de cálculo. En el contexto del GOBIX, este índice
refleja las fluctuaciones en los precios de los bonos dominicanos
debido a las variaciones en las tasas de interés del mercado.</p>
<p><bold>Características del Índice de Retorno-Precio del
GOBIX</bold>:</p>
<list list-type="bullet">
<list-item>
<p><bold>Enfoque en el Precio Limpio</bold>: El cálculo del
índice se basa en el precio limpio de los bonos, excluyendo los
intereses acumulados.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Reflejo de la Volatilidad</bold>: Este índice es un
indicador del riesgo asociado a las fluctuaciones en las tasas
de interés y su impacto en el capital invertido.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Fórmula de Cálculo</bold>:</p>
<p><disp-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[
IRP_t = IRP_{m-1} \times (1 + RPI_t)
]]></tex-math>
<mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>×</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></disp-formula></p>
<p>Donde:</p>
<list list-type="bullet">
<list-item>
<p><inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[IRP_0 = 100]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mn>0</mml:mn></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>100</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
es el valor base del índice en la fecha de inicio.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[IRP_t]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
es el valor del índice en el día
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[t]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[IRP_{m-1}]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
es el valor del índice en el último día hábil del mes
anterior.</p>
</list-item>
<list-item>
<p><inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[RPI_t]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
es el retorno-precio del índice en
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[t]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>t</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p>
</list-item>
</list>
</list-item>
</list>
<p>El retorno-precio del índice (<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[RPI_t]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>)
se calcula como la suma ponderada del retorno-precio de cada bono
(<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[RPI_{i,t}]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi><mml:mi>P</mml:mi><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>),
donde la ponderación (<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[\omega_i]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>)
se determina según la capitalización de mercado de cada bono.</p>
<p>En este análisis, expresaremos la serie de retornos en puntos
básicos para evitar problemas de escalamiento de los datos y
posibles desbordamientos decimales (overflow decimal), que pueden
ocurrir cuando se manejan fluctuaciones muy pequeñas con alta
precisión. Un punto básico equivale a 0.01% o 1/100 de un
porcentaje. Este enfoque nos permitirá manejar los datos con mayor
estabilidad y evitar posibles errores numéricos derivados del
escalamiento inapropiado. No tiene efectos estadísticos en las
distribución.</p>
</sec>
<sec id="sec-test-train">
<title>3.3 Selección de muestra de entrenamiento/prueba</title>
<p>Durante la pandemia, se experimentó uno de los ciclos de tasas de
interés más pronunciados de las últimas décadas. Este periodo
presentó características estructurales distintas en comparación con
los ciclos históricos previos. Para evitar sesgos en las
estimaciones debido a la alta volatilidad observada durante ese
tiempo, evaluaremos únicamente la serie de retornos entre el periodo
2014-2021, que se considera un ciclo de tasas más regular.</p>
<p>La metodología empleada para dividir el conjunto de datos en
muestras de entrenamiento y prueba será el <bold>Time Series
Cross-Validator</bold>. A diferencia de la validación cruzada
tradicional, que aleatoriza los datos, esta técnica respeta el orden
temporal, lo cual es crucial en el análisis de series de tiempo.</p>
<p>En cada partición (k-ésimo split), la técnica funciona de la
siguiente manera:</p>
<list list-type="bullet">
<list-item>
<p><bold>Conjunto de Entrenamiento</bold>: Incluye los primeros
<italic>k</italic> pliegues (folds).</p>
</list-item>
<list-item>
<p><bold>Conjunto de Prueba</bold>: Incluye el pliegue
<italic>(k+1)</italic>.</p>
</list-item>
</list>
</sec>
</sec>
<sec id="sec-eda">
<title>4. Análisis Exploratorio</title>
<p>El objetivo de este análisis exploratorio es examinar la serie de
retornos diarios del IRP-GOBIX para identificar patrones de
volatilidad, evaluar la distribución de los retornos, y explorar la
autocorrelación en los datos. Utilizando herramientas estadísticas
como la distribución de los retornos, el test de estacionariedad
Dickey-Fuller, y los gráficos de autocorrelación (ACF) y
autocorrelación parcial (PACF), se busca comprender la dinámica
temporal de los retornos y validar la aplicación de modelos ARMA-GARCH
para capturar su comportamiento futuro. Adicionalmente, se ajustarán
diversas distribuciones teóricas, como la distribución normal y la t
de Student, para evaluar su capacidad de describir las características
empíricas de los datos.</p>
<sec id="sec-historico-retornos">
<title>4.1 Histórico de retornos precio del mercado de deuda pública
dominicano</title>
<fig id="fig-price-return-series">
<caption><p>Figure 1: Serie de retornos diarios
IRP-GOBIX.</p></caption>
<graphic mimetype="image" mime-subtype="svg+xml" xlink:href="index_files/figure-jats/notebooks-data-screening-fig-price-return-series-output-2.svg" />
</fig>
<p>El análisis de la serie de retornos diarios del IRP-GOBIX revela
un comportamiento interesante, con periodos prolongados de baja
volatilidad seguidos por episodios de alta volatilidad. Entre 2015 y
2022, los retornos se mantuvieron generalmente dentro de un rango de
±50 puntos básicos, lo que indica una estabilidad relativa. Sin
embargo, en momentos clave, como el ciclo de tasas de 2018, la
volatilidad se incrementó drásticamente, alcanzando picos de hasta
200 puntos básicos. Este patrón es característico del fenómeno
conocido como <bold>“volatility clustering”</bold>, donde periodos
tranquilos son seguidos por fases de mayor volatilidad. La
naturaleza de estos picos parece estar relacionada con factores
externos, como cambios en las tasas de interés y la incertidumbre
macroeconómica global, lo que subraya la importancia de emplear
modelos ARMA-GARCH para capturar estas dinámicas y prever
comportamientos futuros en el mercado de deuda pública
dominicana.</p>
</sec>
<sec id="sec-estadistica-descriptiva">
<title>4.2 Análisis descriptivo de la muestra</title>
<table-wrap>
<table border="1">
<thead>
<tr style="text-align: right;">
<th></th>
<th>Observations</th>
<th>Mean</th>
<th>Median</th>
<th>Std. Dev</th>
<th>Skewness</th>
<th>Kurtosis</th>
<th>Jarque-Bera</th>
<th>Prob.</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>0</td>
<td>1941</td>
<td>1.353251</td>
<td>-0.318044</td>
<td>23.502911</td>
<td>0.70527</td>
<td>7.587995</td>
<td>4789.532331</td>
<td>0.0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<p>Tabla de las estadísticas descriptiva de la serie de retornos</p>
<p>El análisis descriptivo de los retornos ofrece una perspectiva
más detallada sobre la distribución de la serie. Con un total de
1,941 observaciones, la <bold>media</bold> de los retornos es de
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[1.353251]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>1.353251</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
lo que indica un rendimiento promedio positivo. Sin embargo, la
<bold>mediana</bold> de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[-0.318044]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>−</mml:mi><mml:mn>0.318044</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
sugiere un leve sesgo hacia valores negativos, lo que refleja que la
mayoría de los retornos tienden a ser ligeramente inferiores a la
media. La <bold>desviación estándar</bold>, con un valor de
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[23.502911]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>23.502911</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
revela una amplia dispersión de los datos, lo que confirma la
presencia de una volatilidad significativa en los rendimientos, muy
superior al valor medio.</p>
<p>En cuanto a la <bold>asimetría</bold>
(<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.70527]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.70527</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>),
se observa una ligera inclinación hacia valores extremos positivos,
lo que implica la existencia de eventos fuera de lo común que
afectan los rendimientos. La <bold>kurtosis</bold> de
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[7.587995]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>7.587995</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>
indica una distribución <bold>leptocúrtica</bold>, caracterizada por
una alta concentración de valores alrededor de la media y colas más
gruesas que una distribución normal, lo que es típico en datos
financieros que presentan eventos extremos. El <bold>test de
Jarque-Bera</bold>, con un valor de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[4,789.532331]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>789.532331</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>,
confirma que la serie no sigue una distribución normal, validando la
presencia de asimetría y colas pesadas en los datos. Estos
resultados resaltan la necesidad de emplear modelos que puedan
capturar adecuadamente estos comportamientos no lineales, esenciales
para el análisis del mercado.</p>
</sec>
<sec id="sec-distribucion-retornos">
<title>4.3 Análisis de la distribución de los retornos</title>
<fig id="fig-distribution-fitting">
<caption><p>Figure 2: Ajuste de distribuciones a los retornos de
precio.</p></caption>
<graphic mimetype="image" mime-subtype="svg+xml" xlink:href="index_files/figure-jats/notebooks-data-screening-fig-distribution-fitting-output-1.svg" />
</fig>
<p>Al ajustar diferentes distribuciones a los retornos, observamos
que la distribución empírica (en azul) tiene una alta concentración
en torno a cero, con colas más gruesas de lo que se esperaría bajo
una distribución normal. Entre las distribuciones probadas, la t de
Student (en rojo) es la que mejor captura los valores extremos, con
colas más largas y una mayor concentración en el centro, lo que es
típico en series financieras que experimentan episodios de alta
volatilidad. En contraste, la distribución normal (en naranja) y la
lognormal (en verde) subestiman las colas, demostrando su ineficacia
para modelar adecuadamente los valores atípicos. Esto refuerza la
idea de que la t de Student es una mejor candidata para modelar los
retornos, dado que puede ajustarse mejor a la leptocurtosis
observada en los datos.</p>
<fig id="fig-tqq-plot">
<caption><p>Figure 3: Q-Q Plot de retornos de precio contra la
distribución t.</p></caption>
<graphic mimetype="image" mime-subtype="svg+xml" xlink:href="index_files/figure-jats/notebooks-data-screening-fig-tqq-plot-output-1.svg" />
</fig>
<p>La gráfica Q-Q (Quantile-Quantile) compara los cuantiles teóricos
de la distribución t de Student con los cuantiles observados de los
retornos del GOBIX. En general, la mayoría de los puntos se alinean
bien con la línea roja, lo que sugiere que los retornos de precios
siguen razonablemente esta distribución, particularmente en las
partes centrales. Sin embargo, en las colas extremas, se observan
algunas desviaciones, lo que indica que, aunque la t de Student es
un buen ajuste, no es perfecta para todos los escenarios.</p>
<p>El <bold>estadístico de Kolmogorov-Smirnov</bold> es de
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.0286]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.0286</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
con un <bold>p-valor</bold> de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.0827]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.0827</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>.
Aunque esto sugiere que la t de Student captura bien la mayor parte
de los retornos, las discrepancias en las colas extremas muestran
que la distribución teórica no es un ajuste exacto a los datos
reales.</p>
</sec>
<sec id="evaluación-de-supuestos-para-análisis-ar-garch">
<title>4.4 Evaluación de supuestos para análisis AR-GARCH</title>
<sec id="sec-estacionariedad">
<title>4.4.1 Test de estacionariedad</title>
<p>Para garantizar la validez de los modelos ARMA y GARCH, se
evaluó la estacionariedad de la serie de retornos utilizando el
test de Dickey-Fuller aumentado (ADF). Los resultados obtenidos
muestran un <bold>ADF Statistic</bold> de
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[-13.1741]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>−</mml:mi><mml:mn>13.1741</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
y un <bold>p-valor</bold> de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[1.2333 \times 10^{-24}]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1.2333</mml:mn><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow><mml:mi>−</mml:mi><mml:mn>24</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>,
lo que permite rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria con un
nivel de significancia del 5%. Esto confirma que la serie es
estacionaria, lo que significa que sus fluctuaciones se
distribuyen alrededor de una media constante en el tiempo, sin
tendencia significativa. Este hallazgo es consistente con el
comportamiento típico de las series de retornos financieros, lo
que habilita la correcta estimación de modelos ARMA-GARCH para
capturar las dinámicas del mercado.</p>
</sec>
<sec id="sec-autocorrelacion">
<title>4.4.2 Test de autocorrelación</title>
<fig id="fig-acf-pacf">
<caption><p>Figure 4: Función de autocorrelación (ACF) y función
de autocorrelación parcial (PACF) de los retornos.</p></caption>
<graphic mimetype="image" mime-subtype="svg+xml" xlink:href="index_files/figure-jats/notebooks-data-screening-fig-acf-pacf-output-1.svg" />
</fig>
<p>El análisis de autocorrelación nos proporciona más detalles
sobre la estructura interna de la serie. El gráfico de la
<bold>Función de Autocorrelación (ACF)</bold> muestra un pico
significativo en el primer rezago, seguido de valores cercanos a
cero para los rezagos posteriores. Este patrón es indicativo de un
proceso de media móvil de primer orden (<bold>MA(1)</bold>), donde
los choques aleatorios tienen un impacto significativo en el
primer rezago pero no en los siguientes. La <bold>Función de
Autocorrelación Parcial (PACF)</bold> refuerza esta conclusión,
mostrando un comportamiento similar con un pico en el primer
rezago y valores prácticamente nulos a partir del segundo rezago.
Esto sugiere que un modelo MA(1) sería apropiado para capturar las
dinámicas de corto plazo en la serie.</p>
<p>En conjunto, este análisis exploratorio sugiere que la serie de
retornos del IRP-GOBIX presenta características complejas, como
<bold>volatility clustering</bold>, alta
<bold>leptocurtosis</bold>, y una estructura de autocorrelación
que se ajusta bien a un modelo MA(1). Estos hallazgos proporcionan
una base sólida para la estimación de modelos ARMA-GARCH, los
cuales podrán capturar de manera efectiva las dinámicas de
volatilidad y retornos en el mercado de deuda pública
dominicano.</p>
</sec>
</sec>
</sec>
<sec id="resultados">
<title>5. Resultados</title>
<p>El presente análisis tiene como objetivo modelar la serie temporal
de retornos del índice IRP-GOBIX utilizando inicialmente un modelo
ARIMA automático (auto-ARIMA) para determinar si es posible capturar
la dinámica de los retornos con un modelo basado únicamente en niveles
y diferencias de los datos. Adicionalmente, se evaluará la presencia
de problemas estructurales, como la heterocedasticidad, que podrían
afectar la consistencia del modelo ARIMA. En caso de que este enfoque
no sea adecuado, recurriremos a un modelo Zero-GARCH, un tipo
específico de GARCH que asume una media cero para los retornos. Este
modelo es particularmente útil en mercados de tasas de interés, donde
se ha demostrado que los retornos tienden a cero en el largo plazo
debido a la fuerte regresión hacia la media de estas variables.</p>
<sec id="análisis-del-modelo-arima">
<title>5.1 Análisis del modelo ARIMA</title>
<table-wrap>
<caption>
<p>SARIMAX Results</p>
</caption>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>Dep. Variable:</td>
<td>y</td>
<td>No. Observations:</td>
<td>1941</td>
</tr>
<tr>
<td>Model:</td>
<td>SARIMAX(3, 0, 4)</td>
<td>Log Likelihood</td>
<td>-8853.517</td>
</tr>
<tr>
<td>Date:</td>
<td>Sat, 19 Oct 2024</td>
<td>AIC</td>
<td>17725.034</td>
</tr>
<tr>
<td>Time:</td>
<td>15:48:37</td>
<td>BIC</td>
<td>17775.173</td>
</tr>
<tr>
<td>Sample:</td>
<td>0</td>
<td>HQIC</td>
<td>17743.472</td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td>- 1941</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>Covariance Type:</td>
<td>opg</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<table-wrap>
<table>
<tbody>
<tr>
<td></td>
<td>coef</td>
<td>std err</td>
<td>z</td>
<td>P>|z|</td>
<td>[0.025</td>
<td>0.975]</td>
</tr>
<tr>
<td>intercept</td>
<td>0.3602</td>
<td>0.273</td>
<td>1.317</td>
<td>0.188</td>
<td>-0.176</td>
<td>0.896</td>
</tr>
<tr>
<td>ar.L1</td>
<td>0.1366</td>
<td>0.065</td>
<td>2.106</td>
<td>0.035</td>
<td>0.009</td>
<td>0.264</td>
</tr>
<tr>
<td>ar.L2</td>
<td>-0.1931</td>
<td>0.066</td>
<td>-2.934</td>
<td>0.003</td>
<td>-0.322</td>
<td>-0.064</td>
</tr>
<tr>
<td>ar.L3</td>
<td>0.7691</td>
<td>0.061</td>
<td>12.644</td>
<td>0.000</td>
<td>0.650</td>
<td>0.888</td>
</tr>
<tr>
<td>ma.L1</td>
<td>-0.1139</td>
<td>0.065</td>
<td>-1.752</td>
<td>0.080</td>
<td>-0.241</td>
<td>0.014</td>
</tr>
<tr>
<td>ma.L2</td>
<td>0.2163</td>
<td>0.067</td>
<td>3.220</td>
<td>0.001</td>
<td>0.085</td>
<td>0.348</td>
</tr>
<tr>
<td>ma.L3</td>
<td>-0.7032</td>
<td>0.062</td>
<td>-11.315</td>
<td>0.000</td>
<td>-0.825</td>
<td>-0.581</td>
</tr>
<tr>
<td>ma.L4</td>
<td>0.0750</td>
<td>0.020</td>
<td>3.715</td>
<td>0.000</td>
<td>0.035</td>
<td>0.115</td>
</tr>
<tr>
<td>sigma2</td>
<td>536.2183</td>
<td>8.358</td>
<td>64.154</td>
<td>0.000</td>
<td>519.836</td>
<td>552.600</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<table-wrap>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>Ljung-Box (L1) (Q):</td>
<td>0.00</td>
<td>Jarque-Bera (JB):</td>
<td>4395.18</td>
</tr>
<tr>
<td>Prob(Q):</td>
<td>1.00</td>
<td>Prob(JB):</td>
<td>0.00</td>
</tr>
<tr>
<td>Heteroskedasticity (H):</td>
<td>1.11</td>
<td>Skew:</td>
<td>0.59</td>
</tr>
<tr>
<td>Prob(H) (two-sided):</td>
<td>0.17</td>
<td>Kurtosis:</td>
<td>10.28</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<p>Modelo ARIMA de maxima verosimilitud para la serie de
retornos.</p>
<p>El modelo SARIMAX(3, 0, 4) se estimó con el objetivo de capturar
la dinámica subyacente de la serie de retornos. Aunque los
resultados muestran que algunos de los coeficientes del componente
autorregresivo (AR) y del promedio móvil (MA) son estadísticamente
significativos (e.g., <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[AR(3)]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>R</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
con un coeficiente de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.7691]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.7691</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.001]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
y <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[MA(2)]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>
con <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.01]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.01</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>),
el desempeño general del modelo presenta ciertas limitaciones. El
test de heterocedasticidad muestra un valor de 1.11, lo que indica
la presencia de heterocedasticidad en la serie, un problema común en
series financieras, donde la varianza de los errores no es constante
a lo largo del tiempo.</p>
<p>Además, el estadístico de Jarque-Bera de 4395.18, con una
probabilidad de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p = 0.00]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0.00</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>,
confirma que los residuos no siguen una distribución normal, lo que
refuerza la idea de que un modelo basado únicamente en niveles, como
el ARIMA, podría no ser suficiente para capturar la volatilidad
inherente a los retornos del mercado de deuda pública dominicano.
Dado que los modelos ARIMA no están diseñados para abordar
adecuadamente la heterocedasticidad, pasamos a estimar un modelo
GARCH, que es más apropiado para capturar los cambios en la
volatilidad.</p>
</sec>
<sec id="modelo-zero-garch">
<title>5.2 Modelo Zero-GARCH</title>
<p>Para abordar las limitaciones del modelo ARIMA, se estimó un
modelo GARCH(1,1) con media cero, siguiendo la estructura propuesta
por
(<xref alt="Miah and Rahman 2016" rid="ref-miah_rahman_2016" ref-type="bibr">Miah
and Rahman 2016</xref>), quienes demostrarón que los modelos
GARCH(1,1) son altamente efectivos para capturar la volatilidad en
los retornos de mercados financieros. La elección de un modelo con
media cero se justifica porque en mercados de deuda pública y tasas
de interés, los retornos tienden a revertir a la media, y en el
largo plazo se espera que los retornos por apreciación de capital
converjan a cero.
(<xref alt="Fabozzi n.d." rid="ref-fabozzi_fixed_income" ref-type="bibr">Fabozzi
n.d.</xref>)</p>
<table-wrap>
<caption>
<p>Zero Mean - GARCH Model Results</p>
</caption>
<table>
<tbody>
<tr>
<td>Dep. Variable:</td>
<td>price_return</td>
<td>R-squared:</td>
<td>0.000</td>
</tr>
<tr>
<td>Mean Model:</td>
<td>Zero Mean</td>
<td>Adj. R-squared:</td>
<td>0.001</td>
</tr>
<tr>
<td>Vol Model:</td>
<td>GARCH</td>
<td>Log-Likelihood:</td>
<td>-7622.87</td>
</tr>
<tr>
<td>Distribution:</td>
<td>Standardized Student's t</td>
<td>AIC:</td>
<td>15253.7</td>
</tr>
<tr>
<td>Method:</td>
<td>Maximum Likelihood</td>
<td>BIC:</td>
<td>15275.6</td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td></td>
<td>No. Observations:</td>
<td>1753</td>
</tr>
<tr>
<td>Date:</td>
<td>Sat, Oct 19 2024</td>
<td>Df Residuals:</td>
<td>1753</td>
</tr>
<tr>
<td>Time:</td>
<td>15:48:37</td>
<td>Df Model:</td>
<td>0</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<table-wrap>
<caption>
<p>Volatility Model</p>
</caption>
<table>
<tbody>
<tr>
<td></td>
<td>coef</td>
<td>std err</td>
<td>t</td>
<td>P>|t|</td>
<td>95.0% Conf. Int.</td>
</tr>
<tr>
<td>omega</td>
<td>58.8679</td>
<td>25.182</td>
<td>2.338</td>
<td>1.940e-02</td>
<td>[ 9.512,1.082e+02]</td>
</tr>
<tr>
<td>alpha[1]</td>
<td>0.1892</td>
<td>6.657e-02</td>
<td>2.842</td>
<td>4.482e-03</td>
<td>[5.873e-02, 0.320]</td>
</tr>
<tr>
<td>beta[1]</td>
<td>0.7737</td>
<td>6.832e-02</td>
<td>11.324</td>
<td>9.943e-30</td>
<td>[ 0.640, 0.908]</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<table-wrap>
<caption>
<p>Distribution</p>
</caption>
<table>
<tbody>
<tr>
<td></td>
<td>coef</td>
<td>std err</td>
<td>t</td>
<td>P>|t|</td>
<td>95.0% Conf. Int.</td>
</tr>
<tr>
<td>nu</td>
<td>2.7894</td>
<td>0.230</td>
<td>12.114</td>
<td>8.853e-34</td>
<td>[ 2.338, 3.241]</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</table-wrap>
<p>Modelo Zero-Garch de la serie de retornos</p>
<p>Los resultados del modelo Zero-GARCH confirman un buen ajuste a
la volatilidad de la serie de retornos. El coeficiente
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[\omega]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ω</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>
del proceso de volatilidad es de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[58.8679]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>58.8679</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>
(<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.05]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.05</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>),
lo que indica un nivel base significativo de volatilidad en la
serie. El parámetro <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[\alpha_1]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>,
que mide la influencia de los shocks pasados en la volatilidad
actual, es positivo y significativo (<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.1892]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.1892</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.01]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.01</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>),
lo que sugiere que los shocks pasados tienen un impacto considerable
en la volatilidad presente. Por otro lado,
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[\beta_1]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>β</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>
(<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[0.7737]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>0.7737</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>,
<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.001]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>)
indica que existe una fuerte persistencia en la volatilidad,
característica común en los mercados financieros, donde las fases de
alta volatilidad tienden a durar varios periodos.</p>
<p>El uso de la distribución t de Student para los residuos
estandarizados, con un parámetro <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[\nu]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ν</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>
de <inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[2.7894]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>2.7894</mml:mn></mml:math></alternatives></inline-formula>
(<inline-formula><alternatives>
<tex-math><![CDATA[p < 0.001]]></tex-math>
<mml:math display="inline" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo><</mml:mo><mml:mn>0.001</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>),
confirma la presencia de colas más gruesas en la distribución de los
retornos, lo que es consistente con la leptocurtosis observada en la
serie de retornos.</p>
<sec id="residuos-del-zero-garch">
<title>5.2.1 Residuos del Zero-GARCH</title>
<fig id="fig-garch-residuals">
<caption><p>Figure 5: Residuos del modelo
AR-GARCH.</p></caption>
<graphic mimetype="image" mime-subtype="svg+xml" xlink:href="index_files/figure-jats/notebooks-data-screening-fig-garch-residuals-output-1.svg" />
</fig>
<p>Al analizar los residuos estandarizados y la volatilidad
condicional en el modelo Zero-GARCH, observamos cómo la
volatilidad responde de manera dinámica a los choques en los
retornos. En la primera gráfica, se aprecia que la volatilidad