-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathequaçao2.html
279 lines (256 loc) · 9.42 KB
/
equaçao2.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
<html>
<head>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="meusite.css">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="conteudo.css">
<link rel="stylesheet" href="footer.css">
<link rel="stylesheet" href="http://maxcdn.bootstrapcdn.com/font-awesome/4.2.0/css/font-awesome.min.css">
<meta charset="UTF-8">
<title>
Equação do 2° Grau
</title>
</head>
<body>
<div class="cabeçalho">
<a href="index.html">
<div class="logo">
<img src="foto/logo.png" class="logotipo">
</div>
</a>
<div class="inscriçao">
<div class="textoinscrição">
</div>
<div class="escrito">
<h3 class="escrito">
Curso Preparatório para ETECs
</h3>
</div>
</div>
</div>
<div class="menu">
<ul>
<li>
<a href="https://www.vestibulinhoetec.com.br/unidades-cursos/default.asp?q=S%C3%A3o%20Paulo" target="blank"> Etecs de São Paulo </a>
</li>
<li>
<a href="eu.html"> Sobre mim </a>
</li>
<li>
<a href="disciplinas.html"> Disciplinas </a>
</li>
<li>
<a href="index.html"> Home </a>
</li>
<li>
<a href="prova.html"> Provas </a>
</li>
<li>
<a href="curso.html"> Sobre o curso </a>
</li>
</ul>
</div>
<br>
<div class="aulaequaçao2">
<h1 class="nomeaula">
Equação do 2° Grau
</h1>
<br>
<p class="cpetec">
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e
um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja:<br>
2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do <a href="equação.html" class="link2">1º grau</a>.<br>
2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2.
Essa equação é classificada como do <b class="topico">
2º grau.</b><br><br>
Toda equação dp 2° grau com uma icógnita é do tipo:<br>
ax<sup>2</sup> + bx + c = 0 <br>
Onde a ≠ 0.<br><br>
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação.
As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois:<br><br>
Substituindo x = 4 na equação, temos:<br>
x² – 10x + 24 = 0<br>
4² – 10 * 4 + 24 = 0<br>
16 – 40 + 24 = 0<br>
–24 + 24 = 0<br>
0 = 0 (verdadeiro)<br><br>
Substituindo x = 6 na equação, temos:<br>
x² – 10x + 24 = 0<br>
6² – 10 * 6 + 24 = 0<br>
36 – 60 + 24 = 0<br>
– 24 + 24 = 0<br>
0 = 0 (verdadeiro)<br><br>
</p>
<h2 class="sub">
Fórmula de Bhaskara
</h2><br>
<p class="cpetec">
Para extrair as raízes da equação do segundo grau, utilizamos a conhecida fórmula de Bhaskara, dada por:<br><br>
<img src="foto/bhaskara.jpg" class="mdc"><br>
em que ∆ é conhecido como discriminante da equação ou delta.<br><br>
Resolveremos agora a equação x² – 2x – 3:<br><br>
1° Passo: Determinamos os coeficientes da equação. a = 1, pois a é o "acompanhante" do primeiro termo, b = -2, pois acompanha o segundo termo e c = -3, pois
é o termo idependente.<br><br>
2º Passo: determinar o valor do discriminante ou delta (∆)<br>
∆ = b<sup>2</sup> - 4.a.c<br>
∆ = (-2)<sup>2</sup> - 4.1.(-3)<br>
∆ = 4 + 12<br>
∆ = 16<br><br>
3° Passo: Descobrimos as raízes de x<br>
x = [-b ± √∆]/2.a<br>
x = [- (-2) ± √16]/2.1<br>
x = (2 ± 4)/2<br><br>
x' = (2 + 4)/2 → x' = 6/2 → x' = 3<br>
x" = (2 - 4)/2 → x" = -2/2 → x" = -1<br><br>
A resposta é x' = 3 e x" = -1<br>
onde x' é a primeira raíz de x e x" é a segunda.<br><br>
A existência das raízes está atrelada a três possíveis casos:<br><br>
<b class="topico">
1° Caso:
</b>
∆ > 0, teremos duas raízes reais distintas.<br>
Consideremos a seguinte equação 3x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 0.<br><br>
a = 3, b = 10 e c = -8<br>
∆ = b<sup>2</sup> - 4.a.c<br>
∆ = 10<sup>2</sup> - 4.3.(-8)<br>
∆ = 100 + 96 <br>
∆ = 196<br> <br>
x = [-b ± √∆]/2.a<br>
x = [-10 ± √196)]/2.3<br>
x = (-10 ± 14)/6<br><br>
x' = (-10 + 14)/6 → x' = 4/6 → x' = 2/3<br>
x" = (-10 - 14)/6 → x" = -24/6 → x" = -4<br><br>
<b class="topico">
2° Caso
</b>
∆ = 0, teremos duas raízes reais iguais.<br>
Consideremos a seguinte equação 4x<sup>2</sup> - 4x + 1 = 0.<br><br>
a = 4, b = -4 e c = 1<br>
∆ = b<sup>2</sup> - 4.a.c<br>
∆ = (-4)<sup>2</sup> - 4.4.1<br>
∆ = 16 - 16 <br>
∆ = 0<br> <br>
x = (-b ± √∆)/2.a<br>
x = [-(-4) ± √0]/2.4<br>
x = (4 ± 0)/2<br><br>
x' = (4 + 0)/2 → x' = 4/2 → x' = 2<br>
x" = (4 - 0)/2 → x' = 4/2 → x' = 2<br><br>
<b class = "topico">
3° Caso:
</b>
∆ < 0 → a equação não admite raízes reais.<br>
Consideremos a seguinte equação x<sup>2</sup> + 4x + 13 = 0. <br><br>
a = 1, b = 4 e c = 13. Portanto:<br>
∆ = b<sup>2</sup> - 4.a.c<br>
∆ = 4<sup>2</sup> - 4.1.13<br>
∆ = 16 - 32<br>
∆ = -36<br>
Com ∆ < 0, neste caso a equação do segundo grau não admite raízes reais, sendo o conjunto verdade dado por: V = Ø (conjunto vazio).<br><br>
</p>
<h2 class="sub">
Equação do 2° grau incompleta:
</h2>
<p class="cpetec">
Uma equação do segundo grau é chamada de incompleta se tiver os coeficientes b = 0 ou c = 0. Exemplos: 5x<sup>2</sup> - 125 = 0 e
4x<sup>2</sup> - 7x = 0. Para a resolução de uma equação incompleta do segundo grau, o uso da fórmula de Bhaskara não é necessário.
Mas é importante lembrar que uso da fórmula ainda é válido.<br><br>
a) 3x<sup>2</sup> - 75 = 0<br><br>
a = 3, b = 0, c = 75<br>
3x<sup>2</sup> - 75 = 0 <br> 3x<sup>2</sup> = 75 <br> x<sup>2</sup> = 75/3 <br> x<sup>2</sup> = 25 <br> x = ±√25 <br> x = ± 5 <br> V = (5, -5)<br><br>
No exemplo acima, b = 0, neste caso basta resolver a equação como se fosse de 1° grau e depois tirar a raíz de x<sup>2</sup>.
#OBS: não se esqueça de declarar x como positivo e negativo.<br><br>
b) 2x<sup>2</sup> + 18 = 0<br><br>
a = 2, b = 0 e c = 18<br>
2x<sup>2</sup> + 18 = 0<br>
2x<sup>2</sup> = -18<br>
x<sup>2</sup> = -18/2<br>
x<sup>2</sup> = -9<br>
V = Ø<br><br>
Não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê um número.<BR><BR>
c) 4x<sup>2</sup> - 5x = 0<br><br>
Devemos colocar x em evidência, assim temos:<br>
4x<sup>2</sup> - 5x = 0<br>
x(4x - 5) = 0<br>
x = 0<br>
4x - 5 = 0<br>
x = 5/4<br>
x = 0 ou x = 5/4<br>
V = (0, 5/4)<br><br>
</p>
<h2 class="sub">
Soma e Produto das raízes da equação de 2° Grau:
</h2> <br>
<p class="cpetec">
Dada a equação ax<sup>2</sup> + bx + c = 0, com a ≠ 0 e suas raízes x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub>, exite uma relação da soma das raízes e do produto das mesmas
com os coeficientes da equação. <br><br>
<b class="topico">
1° relação: Soma das raízes:<br>
</b>
S = x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> = -b/a <br> <br>
<b class="topico">
2° relação: Produto das raízes:<br>
</b>
P = x<sub>1</sub>.x<sub>2</sub> = c/a <br> <br>
Consideremos a equação x<sup>2</sup> - 7x + 6 = 0, podemos obter a soma e o produto das raízes.<br><br>
S = -b/a <br>
S = -(-7)/1<br>
S = 7<br>
P = c/a<br>
P = 6/1<BR>
P = 6<br><br>
Assim devemos achar dois números que somados dão 7 e multiplicados dão 6. Neste caso é fácil notar que os números que procuramos são 1 e 6.<br>
x<sub>1</sub> = 1 e x<sub>2</sub> = 6<br>
1 + 6 = 7 e 1.6 = 6<br><Br>
OBS: A técnica de resolução por soma e produto é muito utilizada, pois é uma maneira de se achar, de forma rápida, a solução da equação. Porém para se
alcançar essa rapidez é necessário que se faça muitos exercícios a fim de aprimorar sua técnica.
</p>
<h2 class="sub">
Exercícios
</h2><br>
<p class="cpetec">
1) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva as seguintes equações do 2º grau.<br>
a) 3x² – 7x + 4 = 0<br>
b) 9y² – 12y + 4 = 0<br>
c) 5x² + 3x + 5 = 0<br><br>
2) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas. <br><br>
3) Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.
Para essa condição, o valor de ∆ precisa ser igual a 0.<br><br>
4) Resolva a equação incompleta do 2° grau a seguir sem utilizar a fórmula de Bhaskara:<br>
5x² – 3125 = 0<br><br>
5) Resolva a equação incompleta do 2° grau apresentada a seguir de duas maneiras diferentes: uma resolução sem a fórmula de Bhaskara e outra através dela.<br>
9x² – 3x = 0<br><br>
6) Em uma equação do 2° grau do tipo ax² + bx + c = 0, determine o valor de x sabendo que os coeficientes b e c são nulos.<br><br><br>
</p>
<b class="topico">
Respostas
</b>
<p class="respostas">
1a)x' = 4/3 e x" = 1 <br>
1b)y' = 2/3 = y" <br>
1c)Ø <br>
2)k < 2/5 <br>
3)p' = 7 e p" = -17 <br>
4)x' = 25 e x" = -25 <br>
5)x' = 0 e x" = 1/3.<br>
6)x = 0 <br>
</p>
</div>
<footer class="footer-distributed">
<div class="footer-left">
<img src="foto/logo.png" class="imgfooter">
<p class="footer-links">
<a href="https://www.vestibulinhoetec.com.br/unidades-cursos/default.asp?q=S%C3%A3o%20Paulo" target="blank">Etecs de São Paulo</a>
·
<a href="eu.html"> Sobre mim</a>
·
<a href="disciplinas.html"> Disciplinas</a>
·
<a href="index.html">Home</a>
·
<a href="prova.html">Provas</a>
·
<a href="curso.html"> Sobre o curso</a>
</p>
<p class="footer-company-name">CPETEC© 2019, Todos os direitos reservados </p>
</div>
</footer>
</body>
</html>