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<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=EDGE" />
<title>RPART : fichier ‘spam’</title>
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// manage active state of menu based on current page
$(document).ready(function () {
// active menu anchor
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href = href.substr(href.lastIndexOf('/') + 1)
if (href === "")
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var menuAnchor = $('a[href="' + href + '"]');
// mark it active
menuAnchor.parent().addClass('active');
// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
menuAnchor.closest('li.dropdown').addClass('active');
});
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<!-- tabsets -->
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.tabset-dropdown > .nav-tabs {
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
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<!-- code folding -->
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</head>
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<div class="fluid-row" id="header">
<h1 class="title toc-ignore">RPART : fichier ‘spam’</h1>
</div>
<p><br /> <br /></p>
<div id="introduction" class="section level2">
<h2><strong>Introduction</strong></h2>
<p>Cet onglet à pour objectif de présenter la méthode CART (Classification And Regression Trees), Breiman <em>et al</em> (1984). La méthode CART sera présentée à travers la fonction <em>rpart {rpart}</em> implémentée dans <em>RStudio</em>.<br /> <br /> Le modèle <em>rpart {rpart}</em> sera utilisé sur les données “SPAM”. Pour rappel, le fichier de données “SPAM” se compose de 4601 lignes et 58 colonnes dont une variable classifiante binaire (‘0’:non spam/email ‘1’:spam). Une présentation des données et une rapide analyse descriptive sont disponibles sur l’onglet “Régression logistique”.<br /></p>
<ul>
<li>
<a href="https://berthetclement.github.io/website.github.io/reg_log_spam.html#les_donn%C3%A9es">Les données</a>
<li>
<a href="https://berthetclement.github.io/website.github.io/reg_log_spam.html#analyse_descriptive">Analyse descriptive</a>
</ul>
<p>La méthode CART s’inscrit dans la famille des méthodes de construction d’arbres de décision. En effet, CART est analogue à l’algorithme ID3 <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_ID3">ID3</a> ou encore les algorithmes C4.5 et C5.0 <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_C4.5">C4.5 C5.0</a>, à ceci près que CART construit un arbre binaire.<br /></p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="methode-cart" class="section level2">
<h2><strong>Méthode CART</strong></h2>
<p>La méthode CART, Breiman <em>et al</em> (1984), est une méthode supervisée et non paramétrique de construction d’arbres de décision. Nous avons deux cas de figure : <br /></p>
<ul>
<li>
Arbre de régression (la variable à prédire est continue)
<li>
Arbre de classification (la variable à prédire est factorielle à k modalités)
</ul>
<p>Dans les deux cas, l’abre construit est binaire. <br /></p>
<p><b><u>Notations :</u></b></p>
<p>Soit un échantillon de données noté <span class="math inline">\(E=(X_n,j_n)_{1\le n \le N}\)</span> où <span class="math inline">\(X_n=(x_n^1,x_n^2,...,x_n^q)\)</span> est un réalisation de la variable aléatoire <span class="math inline">\(X=(X^1,X^2,...,X^q)\)</span> à valeurs dans <span class="math inline">\(\mathbb{R}^q\)</span>. Ici <span class="math inline">\(j_n\)</span> est la variable Y qui est soit qualitative (à <span class="math inline">\(j\)</span> modalités), soit quantitative.<br /> Soit <span class="math inline">\(t \subset E\)</span> un noeud de l’arbre, noté <span class="math inline">\(A\)</span>, construit sur l’échantillon de données d’apprentissage <span class="math inline">\(E\)</span>.<br /></p>
<p>Quelques notations supplémentaires sont nécessaires dans le cas d’une classification (Y qualitative) : <br /></p>
<ul>
<li>
On note la probabilité a priori de la classe <span class="math inline">\(j\)</span> : <span class="math inline">\(\pi_j= \frac{N_j}{N} \space (N_j=Card \{j_n;j_n=j\})\)</span>
<li>
<span class="math inline">\(t \subset E\)</span>, on note <span class="math inline">\(N(t)\)</span> le cardinal de l’ensemble <span class="math inline">\(t\)</span>
<li>
<span class="math inline">\(N_j(t)\)</span>, le cardinal de l’ensemble <span class="math inline">\(\{ (X_n,j_n) \in t;j_n=j \}\)</span>
<li>
Un estimateur <span class="math inline">\(P(j,t)\)</span> (probabilité qu’une observation appartienne à <span class="math inline">\(t\)</span> et qu’elle ait pour classe <span class="math inline">\(j\)</span>) est noté <span class="math inline">\(p(j,t)=\pi_j \frac{N_j(t)}{N_j}\)</span>
<li>
Un estimateur de <span class="math inline">\(P(t)\)</span> (probabilité d’appartenir au noeud <span class="math inline">\(t\)</span>) est noté <span class="math inline">\(p(t)=\sum_{j=1}^Jp(j,t)\)</span>
<li>
<p>Un estimateur <span class="math inline">\(P(j|t)\)</span> (probabilité a postériori qu’une observation ait la classe <span class="math inline">\(j\)</span> sachant qu’elle appartient à <span class="math inline">\(t\)</span>) est noté <span class="math inline">\(p(j|t)=\frac{p(j,t)}{p(t)}\)</span>, connaissant <span class="math inline">\(\pi_j\)</span> c’est égal à <span class="math inline">\(\frac{N_j(t)}{N(t)}\)</span></p>
</ul>
<p><br /></p>
<div id="construction-de-larbre" class="section level3">
<h3>Construction de l’arbre</h3>
<p>Que ce soit une classification ou une régression, CART construit un arbre binaire de façon itérative.<br /></p>
<p><strong>1-</strong> On cherche une règle de division binaire <span class="math inline">\(d=d(X^m,S)\)</span>.</p>
<ul>
<li>
Si <span class="math inline">\(X^m\)</span> est quantitative : <span class="math inline">\(X^m \le S \space (S \in \mathbb{R})\)</span>
<li>
Si <span class="math inline">\(X^m\)</span> est qualitative : <span class="math inline">\(X^m \in S\)</span> (<span class="math inline">\(S\)</span>, sous ensemble des modalités de <span class="math inline">\(X^m\)</span>)
</ul>
<p>Cette règle de division permet d’obtenir deux sous-ensembles <span class="math inline">\(t_g\)</span> et <span class="math inline">\(t_d\)</span>, issus de <span class="math inline">\(E\)</span> (la racine, noté aussi <span class="math inline">\(t_0\)</span>). L’objectif est de retenir la variable qui pour un seuil <span class="math inline">\(s\)</span>, rend la somme des hétérogénéités des noeuds fils minimale (pour Y qualitative). On dit aussi que la règle de décision optimale est celle qui minimise la somme des déviances intra classes des noeuds déscendants.</p>
<p>Pour <span class="math inline">\(Y\)</span> <strong><em>quantitative</em></strong>, on maximise <span class="math inline">\(\Delta \hat R (d,t)\)</span> :</p>
<ol style="list-style-type: none">
<li>
<span class="math inline">\(\Delta \hat R (d,t)=\hat R(t)-\hat R(t_g)-\hat R(t_d)\)</span><br /> Avec<br />
<li>
<span class="math inline">\(\hat R(t)=\frac{1}{Card(t)} \sum_{i;(X_i;j_i)\in t}(y_i- \bar y)^2\)</span> et <span class="math inline">\(\bar y =\frac{1}{Card(t)}\sum_{i;(X_i;j_i)\in t}y_i\)</span>
</ol>
<p>Pour <span class="math inline">\(Y\)</span> <strong><em>qualitative</em></strong>, on maximise <span class="math inline">\(\hat h(d,t)\)</span> (fonction d’hétérogénéité) :<br /></p>
<ol style="list-style-type: none">
<li>
<span class="math inline">\(\hat h(d,t)=\hat h(t)-p_g \hat h(t_g)-p_d \hat h(t_d)\)</span><br /> Avec <br /> <span class="math inline">\(p_g,p_d\)</span> : les <span class="math inline">\(\pi_j\)</span> respectifs
</ol>
<p>Deux fonctions d’hétérogénéité possibles : <br /></p>
<ol style="list-style-type: none">
<li>
<strong>L’entropie</strong> : <span class="math inline">\(\hat h(t)=-\sum_{j=1}^J p(j|t)log(p(j|t))\)</span>
<li>
<strong>L’indice de Gini</strong> : <span class="math inline">\(\hat h(t)=-\sum_{j \ne k}p(j|t)p(k|t)\)</span>
</ol>
<p><strong>2-</strong> Une fois le noeud contruit sur la variable, on continue de façon récurcive jusqu’à condition d’arrêt.<br /></p>
<p>Les conditions d’arrêt peuvent être :</p>
<ul>
<li>
Limiter la taille des sous-ensembles.
<li>
Utilisation d’un critère de pénalité.
</ul>
<p>A l’issu de cette première étape, l’algorithme CART construit un arbre dit “maximal” que l’on pourra rendre optimal par la suite à l’aide d’une procédure d’élagage. L’algorithme CART fournit également d’autres mesures par rapport aux divisions.</p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="division-concurrente" class="section level3">
<h3>Division concurrente</h3>
<p>Nous avons vu précedemment que nous cherchons à maximiser <span class="math inline">\(\Delta \hat R (d,t)\)</span> ou <span class="math inline">\(\hat h(d,t)\)</span> selon la nature de <span class="math inline">\(Y\)</span>. Ce qui permet d’obtenir une divisions optimale. <br /></p>
<p>Notons <span class="math inline">\(d^*\)</span>, la division optimale pour un noeud <span class="math inline">\(t\)</span> qui maximise la décroissance de la déviance. Cette division optimale pour un noeud <span class="math inline">\(t\)</span> correspond au noeud <span class="math inline">\(t\)</span> de l’arbre construit (variable active).<br /></p>
<p>La division ou les divisions concurrentes sont les autres maximums et correspondent à d’autres variables pour un noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.Ces variables ne feront pas parti de l’arbre construit.</p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="division-de-substitution" class="section level3">
<h3>Division de substitution</h3>
<p>Le rôle de la division de substitution est d’obtenir une autre découpe proche de la découpe optimale (<em>primary split</em>) mais dans le sens de la règle d’acheminement. <em>CART</em> à travers les variables de substitutions, propose un traitement des valeurs manquantes <code>NA</code>. En effet, dans le cas d’une valeur manquante, il est peut optimal d’utiliser la meilleure variable concurrente qui ne respecte pas la règle d’acheminement de la variable en question (aiguillage vers le fils gauche ou droite du noeud). <em>CART</em> propose des découpes de substitution (<em>surrogate</em>) qui minimisent le nombre de désaccords avec la règle d’acheminement de la coupure optimale du noeud. <br /></p>
<p>Nous aurons par la suite l’occasion de voir le détail sur ces divisions de substitution.</p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="importance-des-variables" class="section level3">
<h3>Importance des variables</h3>
<p>L’importance des variables est calculée dans les deux cas (régression ou classification).<br /></p>
<p>Importance d’une variable <span class="math inline">\(X^m\)</span> d’un arbre noté <span class="math inline">\(A\)</span> :</p>
<ol style="list-style-type: none">
<li>
<span class="math inline">\(I(X^m)=\sum_{t \in A} \Delta \hat R (d_m(t),t)\)</span> <strong>en régression</strong>
<li>
<span class="math inline">\(I(X^m)=\sum_{t \in A} \Delta \hat h (d_m(t),t)\)</span> <strong>en classification</strong>
</ol>
<p>La méthode CART est dite hiérarchique, car elle propose un classement des variables par importance (variables actives pour la consutruction de l’arbre mais aussi des variables de substitution). Cette hiérarchisation peut permettre par la suite d’élaborer un modèle plus robuste mais aussi servir à d’autres méthodes statistiques.</p>
<p><br /></p>
</div>
</div>
<div id="partie-modelisation-rstudio" class="section level2">
<h2><strong>Partie modélisation RStudio</strong></h2>
<p>Nous allons utiliser la méthode <strong><em>rpart {rpart}</em></strong>, cette méthode sera appliquée sur le jeu de données “SPAM”. Nous sommes ici dans un cas de classification binaire (Y=0 : “mail”, Y=1 : “spam”). <br /></p>
<p>Dans un premier temps, le modèle sera analysé à travers les données d’apprentissage (“train”) et par la suite nous pourrons y appliquer des données “test”.<br /><br /></p>
<div id="le-modele-rpart" class="section level3">
<h3>Le modèle RPART</h3>
<p>Afin de mieux comprendre la construction d’un arbre <strong><em>rpart</em></strong>, nous allons générer un arbre maximal “restreint”, avec les paramètres par défaut de la fonction <em>rpart</em>.<br /></p>
<p><b><u>Le modèle :</u></b></p>
<pre class="r"><code>####
####
####ECHANTILLON TRAIN/TEST
####
####
index <- 1:nrow(Don_spam)
res.prop.train.spam=c()
res.prop.test.spam=c()
set.seed(1024)
#generation de l'echantillon TRAIN
#rappel proportion au global "email 61%" "spam 39%"
trainIndex <- sample(index, trunc(length(index) * 0.666666666666667))
DATASET.train <- Don_spam[trainIndex, ]
#proportion de spam %
res.prop.train.spam = round( (length(DATASET.train$spam[which(DATASET.train$spam==1)]) /nrow(DATASET.train)) * 100,2)
#generation de l'echantillon TEST
DATASET.test <- Don_spam[-trainIndex, ]
res.prop.test.spam = round( (length(DATASET.test$spam[which(DATASET.test$spam==1)]) /nrow(DATASET.test)) * 100,2)
dim(DATASET.train) ; table(DATASET.train$spam)</code></pre>
<pre><code>## [1] 3067 58</code></pre>
<pre><code>##
## 0 1
## 1842 1225</code></pre>
<pre class="r"><code>library(rpart)
set.seed(1024)
arbre0 <- rpart(DATASET.train$spam~.,data=DATASET.train) #lancement par défaut avec GINI
arbre0</code></pre>
<pre><code>## n= 3067
##
## node), split, n, loss, yval, (yprob)
## * denotes terminal node
##
## 1) root 3067 1225 0 (0.60058689 0.39941311)
## 2) cf_dollar< 0.0445 2252 514 0 (0.77175844 0.22824156)
## 4) wf_remove< 0.06 2043 325 0 (0.84092022 0.15907978)
## 8) cf_exclam< 0.5085 1840 192 0 (0.89565217 0.10434783) *
## 9) cf_exclam>=0.5085 203 70 1 (0.34482759 0.65517241)
## 18) capital_run_length_total< 35 72 16 0 (0.77777778 0.22222222) *
## 19) capital_run_length_total>=35 131 14 1 (0.10687023 0.89312977) *
## 5) wf_remove>=0.06 209 20 1 (0.09569378 0.90430622) *
## 3) cf_dollar>=0.0445 815 104 1 (0.12760736 0.87239264)
## 6) wf_hp>=0.4 48 5 0 (0.89583333 0.10416667) *
## 7) wf_hp< 0.4 767 61 1 (0.07953064 0.92046936) *</code></pre>
<pre class="r"><code>## représentation graphique de l'arbre
plot(arbre0, main="Abre maximal restreint")
text(arbre0,pretty=0,cex=0.8)</code></pre>
<p><img src="rpart_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="768" /></p>
<div class="commentaire">
<p>L’arbre maximal obtenu, avec les paramètres par défaut, comporte 5 noeuds et 6 feuilles (soit 5 variables). On peut voir que l’arbre prédit à gauche la classe ‘0’ (“mail”) et à droite la classe ‘1’ (“spam”). <br /></p>
<p>Pour analyser la sortie brute du modèle, nous avons :</p>
<ul>
<li>
<code>node</code> : le numéro du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>split</code> : le nom du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>n</code> : le nombre d’éléments du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>loss</code> : le nombre d’éléments de la classe minoritaire (traduit la perte) de <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>yval</code> : la classe majoritaire du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>(yprob)</code> : les proportions en fonction de la classe <span class="math inline">\(j\)</span> du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>
</ul>
<p>Hormis pour la racine (root), la valeur du seuil de coupe de la variable est affiché avec le nom de la variable.</p>
</div>
<p>Maintenant que nous avons généré un arbre maximal avec les paramètres par défaut de la fonction. Il nous faut identifier ces paramètres et les analyser. <br /></p>
<p>Je précise que l’arbre généré avec les paremètres par défaut du modèle <em>rpart</em> est un arbre restreint et faussement maximal. Nous verrons par la suite qu’il est bien sûr possible de générer un arbre maximal. <br /></p>
</div>
<div id="rpart-detaille" class="section level3">
<h3>RPART détaillé</h3>
<p>La fonction <em>summary()</em> permet d’avoir le détail de construction de l’arbre. Cela serait trop long d’afficher tout le résultat de la procédure, un seul noeud et une feuille suffiront. <br /></p>
<p>En effet, un arbre est construit de façon récurcive selon les mêmes règles jusqu’à conditions d’arrêt.</p>
<pre class="r"><code>summary(arbre0)
# Call:
# rpart(formula = DATASET.train$spam ~ ., data = DATASET.train)
# n= 3067
#
# CP nsplit rel error xerror xstd
# 1 0.49551020 0 1.0000000 1.0000000 0.02214215
# 2 0.13795918 1 0.5044898 0.5216327 0.01836039
# 3 0.05142857 2 0.3665306 0.3918367 0.01642577
# 4 0.03265306 3 0.3151020 0.3232653 0.01515973
# 5 0.03102041 4 0.2824490 0.3151020 0.01499509
# 6 0.01000000 5 0.2514286 0.2775510 0.01419349
#
# Variable importance
# cf_dollar wf_remove wf_000 wf_money
# 29 12 11 10
# capital_run_length_longest cf_exclam wf_receive wf_order
# 8 6 6 5
# wf_hp capital_run_length_total wf_hpl capital_run_length_average
# 3 2 1 1
# wf_your wf_650 wf_telnet
# 1 1 1
#
# Node number 1: 3067 observations, complexity param=0.4955102
# predicted class=0 expected loss=0.3994131 P(node) =1
# class counts: 1842 1225
# probabilities: 0.601 0.399
# left son=2 (2252 obs) right son=3 (815 obs)
# Primary splits:
# cf_dollar < 0.0445 to the left, improve=496.6125, (0 missing)
# cf_exclam < 0.0785 to the left, improve=484.0605, (0 missing)
# wf_remove < 0.01 to the left, improve=395.6875, (0 missing)
# wf_your < 0.405 to the left, improve=389.2698, (0 missing)
# wf_free < 0.075 to the left, improve=371.6118, (0 missing)
# Surrogate splits:
# wf_000 < 0.045 to the left, agree=0.831, adj=0.364, (0 split)
# wf_money < 0.03 to the left, agree=0.828, adj=0.351, (0 split)
# wf_receive < 0.035 to the left, agree=0.786, adj=0.194, (0 split)
# capital_run_length_longest < 72.5 to the left, agree=0.785, adj=0.193, (0 split)
# wf_order < 0.095 to the left, agree=0.784, adj=0.188, (0 split)
#
# Node number 5: 209 observations
# predicted class=1 expected loss=0.09569378 P(node) =0.06814477
# class counts: 20 189
# probabilities: 0.096 0.904 </code></pre>
<p>La fonction <em>summary()</em> fournit plusieurs types d’information : <br /></p>
<ul>
<li>
Un objet <code>arbre0$cptable</code> : matrice d’information du choix du cp optimal pour l’élagage (pruning).
<li>
Un objet <code>arbre0$variable.importance</code> : l’importance de chaque variable (hiérarchisation).
<li>
Un objet <code>arbre0$splits</code> : matrice d’information sur les noeuds <span class="math inline">\(t\)</span>.
</ul>
<p>Nous allons dans un premier temps nous focaliser sur les “splits”, a travers ces splits nous allons étudier plusieurs aspects.</p>
<ul>
<li>
La variable qui maximise la fonction d’hétérogénéité pour chaque noeud <span class="math inline">\(t\)</span> est une variable active.
<li>
Les variables concurrentes : les autres maximum de la fonction d’hétérogénéité.<br />
<li>
Les variables de substitutions (surrogate).
</ul>
<p><br /></p>
<div id="fonction-dheterogeneite" class="section level4">
<h4>Fonction d’hétérogénéité</h4>
<p>Avant d’aller plus loin, il est important de spécifier que l’on peut choisir la fonction d’hétérogénéité. <br /></p>
<ul>
Les options du modèle :
<li>
<code>parms = list(split = "gini")</code> pour l’indice de Gini.
<li>
<code>parms = list(split = "information")</code> pour l’Entropie.<br />
</ul>
<p>On peut le vérifier avec l’objet en sortie du modèle <code>arbre0$parms$split</code> (1:Gini, 2:Entropie). <br /></p>
<p>Pour les deux fonctions, cela ne change rien à l’affichage, les seuils de coupe peuvent être différents ou l’ordre des variables. <br /></p>
<p>⚠⚠⚠<br /> Nous allons utiliser la valeur par défaut de <em>rpart</em> et travailler avec l’indice de Gini.</p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="autres-options" class="section level4">
<h4>Autres options</h4>
<p>Quelques options supplémentaires à l’aide de <code>rpart.control()</code>. Nous allons aussi voir quelles sont les valeurs par défaut.<br /></p>
<p>Ajouter des contraintes sur les noeuds et feuilles :</p>
<ul>
Les options du modèle par défaut :
<li>
<code>minsplit = 20</code> : nombre d’observations minimum par noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>minbucket = round(minsplit/3)</code> nombre d’observations minimum par feuille.<br />
</ul>
<p>Fixer le paramètre de compléxité, par défaut <code>cp = 0.01</code>. Nous détaillerons plus tard ce que signifie ce critère de pénalité. Pour faire simple, plus le cp est proche de 1, moins l’arbre sera profond. <br /></p>
<p>Modifier l’affichage des splits en sortie :</p>
<ul>
Les options du modèle par défaut :
<li>
<code>maxcompete = 4</code> : nombre de splits concurrents.
<li>
<code>maxsurrogate = 5</code> nombre de variables de substitution affichées.<br />
</ul>
<p>Les variables “surrogate” ont un impact sur la liste finale des variables d’importance ainsi que sur le temps de calcul de la méthode <em>rpart</em>. D’autres options sont disponibles via <code>rpart.control()</code>. <br /></p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="analyse-des-splits" class="section level4">
<h4>Analyse des splits</h4>
<p>Pour cette partie nous avons besoin essentiellement de la matrice d’information <code>arbre0$splits</code>. Cette matrice, avec les options par défaut du modèle <em>rpart</em> nous livre pour chaque noeud <span class="math inline">\(t\)</span> :</p>
<ul>
<li>
En tête de liste : la variable qui réalise le gain maximum (variable active de l’arbre).
<li>
4 autres variables concurrentes.<br /> Suivi des lignes <br />
<li>
En tête de liste de la partie surrogate : la variable ayant la concordance la plus forte avec la variable active du noeud.
<li>
4 autres variables surrogate (par ordre de concordance avec la variable active).
</ul>
<p>Ainsi desuite jusqu’a la fin de l’arbre. <br /></p>
<p>Regardons pour 2 neouds <span class="math inline">\(t\)</span> : <br /></p>
<pre class="r"><code>arbre0$splits[1:20,]</code></pre>
<pre><code>## count ncat improve index adj
## cf_dollar 3067 -1 496.6125453 0.0445 0.000000000
## cf_exclam 3067 -1 484.0604765 0.0785 0.000000000
## wf_remove 3067 -1 395.6875398 0.0100 0.000000000
## wf_your 3067 -1 389.2697760 0.4050 0.000000000
## wf_free 3067 -1 371.6117590 0.0750 0.000000000
## wf_000 0 -1 0.8311053 0.0450 0.364417178
## wf_money 0 -1 0.8275187 0.0300 0.350920245
## wf_receive 0 -1 0.7857842 0.0350 0.193865031
## capital_run_length_longest 0 -1 0.7854581 72.5000 0.192638037
## wf_order 0 -1 0.7841539 0.0950 0.187730061
## wf_remove 2252 -1 210.5972844 0.0600 0.000000000
## cf_exclam 2252 -1 180.4957464 0.0795 0.000000000
## wf_free 2252 -1 171.7706446 0.1350 0.000000000
## wf_your 2252 -1 107.9866362 0.5950 0.000000000
## capital_run_length_average 2252 -1 106.1893594 3.6835 0.000000000
## capital_run_length_longest 0 -1 0.9111901 131.5000 0.043062201
## wf_receive 0 -1 0.9098579 0.3700 0.028708134
## wf_business 0 -1 0.9089698 4.1900 0.019138756
## cf_hash 0 -1 0.9085258 1.5650 0.014354067
## wf_3d 0 -1 0.9076377 7.1250 0.004784689</code></pre>
<p>Nous avons : <br /></p>
<ul>
<li>
<code>count</code> : le nombre d’osbservations pour chaque noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>ncat</code> : “+/-1” pour des variables continues.
<li>
<code>improve</code> : importance de la variable pour le noeud <span class="math inline">\(t\)</span> (pour les surrogate c’est la valeur <code>agree</code> du <code>summary()</code>).
<li>
<code>index</code> : la valeur du seuil de coupe de la variable.
<li>
<code>adj</code> : la concodance pénalisée (“adjusted concordance”).
</ul>
<p>Pour mieux comprendre la sortie et la nature des valeurs, je vais détailler les colonnes <code>improve</code>, <code>index</code>, <code>agree</code> et <code>adj</code>.<br /></p>
<p>Comment calculer ces valeurs ? <br /></p>
<ul>
<li>
<code>improve</code> : le maximum de <span class="math inline">\(\hat h(d,t)=\hat h(t)-p_g \hat h(t_g)-p_d \hat h(t_d)\)</span> multiplié par le nombre d’observations du noeud <span class="math inline">\(t\)</span>.
<li>
<code>index</code> : est le seuil optimal <span class="math inline">\(d\)</span> de <span class="math inline">\(\hat h(d,t)\)</span> noté <span class="math inline">\(d^*\)</span>.
<li>
<code>agree</code> : taux de concordance entre deux variables (calculé à partir d’une table de concordance).
<li>
<code>adj</code> : taux de concordance ajusté (ou pénalisé), proportionnel au taux <code>agree</code>.
</ul>
<p>Nous allons tenter de retrouver, à travers la fonction suivante, l’affichage <code>arbre0$splits[1:20,]</code>. L’objectif est de comprendre et de retrouver les valeurs des splits pour les variables concurrentes et de substitution. <br /></p>
<p><b><u>La fonction :</u></b></p>
<pre class="r"><code>########
# fonction fournissant les valeurs improve, index, agree, adj (importance, seuils de coupure,
# taux de concordance et taux de concordance ajusté) pour un noeud t
#
# En parametres :
# 1: objet contenant les (X,Y)
# 2: le nom de l'objet
# 3: le nom de la var classifiante
########
splits=function(X, nom.df, nom.y){
list.variable=c();mat=c()
# selection de la variable classifiante
var.y = paste0(nom.df,"$",nom.y)
Y.var = eval(parse(text = var.y))
for(j in 1:(length(names(X))-1) ){
var=names(X)[j] #i
var=paste0(nom.df,"$",var)
X.var = eval(parse(text = var)) # selection de la colonne
# init
gini=c()
l=1000
cx=seq(min(X.var),max(X.var)/5,length.out=l)
p=table(Y.var)[2]/sum(table(Y.var)) ; p=as.vector(p)
# root
gini.0 = (2*p*(1-p)) ; gini.0
#calcul des n seuils
for (i in 1:l) { #calcul des seuils
p.g=table(Y.var[X.var<cx[i]] )[2]/length(X.var[X.var<cx[i]]) ; p.g=as.vector(p.g)
p.d=table(Y.var[X.var>=cx[i]] )[2]/length(X.var[X.var>=cx[i]]) ; p.d=as.vector(p.d)
#gini
gauche.gini = (2*p.g*(1-p.g))
droite.gini = (2*p.d*(1-p.d))
gini[i] = gini.0 - (length(X.var[X.var<cx[i]]) / length(Y.var) * gauche.gini) -
(length(X.var[X.var>=cx[i]]) /length(Y.var) * droite.gini)
}#fin boucle seuils
# cr?ation matrice de r?sultat
# le max du gain et le seuil associ?
list.variable[j] = names(X)[j] # noms des colonnes
# les valeurs
max.gini = round(max(gini, na.rm = T), 4)
seuil.gini = round(cx[which.max(gini)], 4)
improve = max.gini * length(Y.var)
mat = rbind(mat, c(improve, max.gini, seuil.gini) )
}
row.names(mat) <- list.variable
#####
# Primary split
# on veut en sortie 5 variables dont 4 cocurrentes
#####
ind = order(mat[,1], decreasing = T)[1:5]
mat = mat[ind,]
mat = data.frame(improve=mat[,1], agree=0, adj=0, gini=mat[,2], seuil.gini=mat[,3], seuil.agree=0)
#####
# Partie surrogate
#####
mat.surro = c();agree=c();adj=c()
# concordance avec la première variable (max improve <=> gini)
# la variable primary split
primary.split = row.names(mat[1,]) # le nom
p.split=paste0(nom.df,"$",primary.split)
p.split=eval(parse(text = p.split)) # la variable
l=5000 # pour seuils
# liste des variables sans le primary split
list.surro = list.variable[list.variable != primary.split]
# le seuil du primary split
s.p.split = mat[1, "seuil.gini"] # arbre0$splits[1, "index"] autre moyen
# le cut pour ki2
primary.cut = cut(p.split, c(-0.1, s.p.split, max(p.split)) )
for(j in 1:length(list.surro)){
# selection de la colonne
var=list.surro[j] #j sans la colonne primary split
var=paste0(nom.df,"$",var)
X.var = eval(parse(text = var))
# les seuils pour la variable
cx=seq(min(X.var),max(X.var),length.out=l)
#calcul des n seuils
for (i in 1:l) { #calcul des seuils
# le cut pour la variable en fonction du seuil
X.var.cut = cut(X.var, c(-0.1, cx[i], max(X.var)+0.1))
# table de concordance
t.c=table(primary.cut, X.var.cut)
# taux de concordance
agree[i] = sum(diag(t.c)) / sum(t.c)
# taux de concordance ajusté
l1=sum(t.c[1,])
l2=sum(t.c[2,])
max.ligne = max(l1,l2)
adj[i] = (sum(diag(t.c)) - max.ligne) / (sum(t.c)-max.ligne)
}
# pour affichage en sortie
maxagree = round(max(agree), 4)
maxadj = round(max(adj), 4)
seuil.agree = round(cx[which.max(agree)], 4)
seuil.adj = round(cx[which.max(adj)], 4)
mat.surro = rbind(mat.surro, c(maxagree, maxadj, seuil.agree, seuil.adj) )
}# fin surrogate
# noms des variables
row.names(mat.surro) <- list.surro
# tri par odre décroissant agree et nb ligne à afficher
ind.surro = order(mat.surro[,1], decreasing = T)[1:5]
mat.surro.order = mat.surro[ind.surro,]
# pour les surrogate : improve=0, gini=0, seuil.gini=0
mat.surro = data.frame(improve=0, agree=mat.surro.order[,1], adj=mat.surro.order[,2],
gini=0, seuil.gini=0,
seuil.agree=mat.surro.order[,3])
# concatenation avec les surrogate
mat=rbind(mat, colnames(mat.surro), mat.surro)
row.names(mat)[6] = "SURROGATE"
return(mat)
}</code></pre>
<p><b><u>Pour le premier noeud :</u></b></p>
<pre class="r"><code>split.t1 = splits(DATASET.train, "DATASET.train", "spam")
split.t1
# improve agree adj gini seuil.gini seuil.agree
# cf_dollar 496.5473 0 0 0.1619 0.0445 0
# cf_exclam 483.9726 0 0 0.1578 0.078 0
# wf_remove 395.643 0 0 0.129 0.0015 0
# wf_your 389.2023 0 0 0.1269 0.4004 0
# wf_free 371.7204 0 0 0.1212 0.0721 0
# SURROGATE improve agree adj gini seuil.gini seuil.agree
# wf_000 0 0.8311 0.3644 0 0 0.0406
# wf_money 0 0.8275 0.3509 0 0 0.02
# wf_receive 0 0.7858 0.1939 0 0 0.0301
# capital_run_length_longest 0 0.7855 0.1926 0 0 72.928
# wf_order 0 0.7842 0.1877 0 0 0.0906</code></pre>
<div class="commentaire">
<p><strong><em>On execute la fonction avec les mêmes données que pour le modèle rpart</em></strong>. Je retrouve bien pour le premier noeud, les informations de mon modèle <code>arbre0$splits</code>. <br /></p>
<ul>
<li>
Le “primary split” <code>cf_dollar</code> avec le même seuil de coupure (<code>index</code>) et la valeur <code>improve</code> maximale.
<li>
L’odre des 4 variables concurrentes par improve décroissant est ok ainsi que les valeurs.
<li>
Les variables “surrogate” dans l’odre décroissant ainsi que les valeurs sont ok.
</ul>
</div>
<p><b><u>Pour le second noeud :</u></b></p>
<pre class="r"><code># deuxieme split
new.dataset = DATASET.train[DATASET.train$cf_dollar<0.0445, ]
dim(new.dataset) # 2252 58 ok avec l'arbre
table(new.dataset$spam)
# 0 1
# 1738 514 ok avec le noeud 2
split.t2 = splits(new.dataset, "new.dataset", "spam")
split.t2
# improve agree adj gini seuil.gini seuil.agree
# wf_remove 210.562 0 0 0.0935 0.0408 0
# cf_exclam 179.4844 0 0 0.0797 0.078 0
# wf_free 171.8276 0 0 0.0763 0.1321 0
# wf_your 108.096 0 0 0.048 0.5916 0
# capital_run_length_average 104.2676 0 0 0.0463 3.6595 0
# SURROGATE improve agree adj gini seuil.gini seuil.agree
# capital_run_length_longest 0 0.9112 0.0431 0 0 131.2725
# wf_receive 0 0.9099 0.0287 0 0 0.3602
# wf_business 0 0.909 0.0191 0 0 3.5704
# cf_hash 0 0.9085 0.0144 0 0 1.5628
# wf_3d 0 0.9076 0.0048 0 0 7.0726</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>On exécute la fonction avec les données segmentées sur le seuil de la variable “primary split” (<code>cf_dollar<0.0445</code>).<br /></p>
<p>c’est ok avec la sortie rpart <code>arbre0$splits</code>.</p>
</div>
<p>⚠⚠⚠<br /></p>
<p>La fonction est assez lente, l’objectif étant de vérifier les calculs. De plus la difficulté est de trouver les seuils pour les tables de concordance ainsi que de fabriquer les intervalles en fonction des seuils. Cette partie pourrait être optimisée car ici gourmande en temps de calcul. <br /></p>
<p>⚠⚠⚠<br /></p>
<p>Maintenant que nous avons compris, l’affichage et le détail de calcul des splits nous pouvons passer aux données de la matrice d’information <code>arbre0$cptable</code>.<br /></p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="analyse-de-la-table-cp" class="section level4">
<h4>Analyse de la table CP</h4>
<p>Nous allons passer à l’analyse du <em>cp</em> ou paramètre de complexité ou encore critère de pénalité. <br /></p>
<p>Nous avons vu que <em>rpart</em> fournit un <em>arbre non maximal</em>, en effet il est pénalisé (ou restreint) par le paramètre <em>cp</em> que l’on trouve dans les options <code>rpart.control()</code> du modèle. Pour rappel, par défaut les options sont : <br /></p>
<p> <code>rpart.control(minsplit = 20, minbucket = round(minsplit/3),cp = 0.01,...)</code> avec <strong><em>cp = 0.01</em></strong>. <br /></p>
<p>Regardons la table cp fournit par le modèle : <br /></p>
<pre class="r"><code>arbre0$cptable</code></pre>
<pre><code>## CP nsplit rel error xerror xstd
## 1 0.49551020 0 1.0000000 1.0000000 0.02214215
## 2 0.13795918 1 0.5044898 0.5346939 0.01852748
## 3 0.05142857 2 0.3665306 0.4081633 0.01669956
## 4 0.03265306 3 0.3151020 0.3232653 0.01515973
## 5 0.03102041 4 0.2824490 0.3118367 0.01492832
## 6 0.01000000 5 0.2514286 0.2800000 0.01424812</code></pre>
<p>La table cp est une matrice d’information afin de choisir le <em>cp</em> optimal pour l’élagage (pruning). En effet l’objectif est de retenir le critère <em>cp</em> qui minimise l’erreur de prédiction. Pour que ce choix du critère <em>cp</em> soit robuste, le modèle <em>rpart</em> founit également un taux d’erreur <code>xerror</code> obtenu par validation croisée (erreur moyenne) et son écart type <code>xstd</code>. <br /></p>
<p>A chaque étape (à chaque ligne de la table cp), <em>rpart</em> génère un arbre de plus en plus complexe jusqu’à atteindre une limite fixée par <em>cp</em>. <br /></p>
<p><b><u>Les étapes de construction de l’arbre :</u></b></p>
<pre class="r"><code>anim <-function(data, data.y, cp)
{
var = paste0(data,"$",data.y,"~.")
u=c()
z <- rpart(var,data=eval(parse(text = data)),
control = rpart.control(cp=cp))
cp.list=z$cptable[,1]