From f688db2a777c0038a969f44c573511c23654ba33 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Y.D.X" <73375426+YDX-2147483647@users.noreply.github.com> Date: Fri, 6 Jan 2023 15:19:29 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=89=A9=E7=90=861?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit (#5) --- docs/assets/boat.png | Bin 0 -> 8716 bytes docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png | Bin 0 -> 8142 bytes docs/physics-1.md | 384 ++++++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 384 insertions(+) create mode 100644 docs/assets/boat.png create mode 100644 docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png create mode 100644 docs/physics-1.md diff --git a/docs/assets/boat.png b/docs/assets/boat.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8f24a0f306639dde04d48b5a06295b7e16a5959f GIT binary patch literal 8716 zcmd6N1y__^)HXgSAkwIG2udm`%>a_pNGTms4morq4bm+FgS0SoHxCU`A`CdBFe){4 z2}8Vx=UwYt-%ogl#V~8;=A0eZb?v>++|gPZO2mY;gg7`j#L6$_wQ+E6<$>3S1pk2N 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z)8I_(Kb`X!?&<40n5p|kL_#QZykO_#G~ed$>+I~Tt{&Cie*cTVJu@rI|8Pn6ZhJLO zdLa@1S6|B;0n2CQ_g3yElD9Xv?`etz_GF!f=~|_Zpmwx#v~@FTw%S_V#->Ov7hPkk zt*c8OI0iugYH$`TmPvw>FtM4q7U~r>4ZZ7TxjQ`UCbl*Zt)Q9C7@3e@XTyTxy}y)qn!~_3PI}E^T}@ zw!FZbRhEPHdnqy^df}f;!<|h8cZ-V3${wv>UKeXUc<_LSG7@+*a@exX&zQS^Wo2dI z!of@Rz2jNNeS=a~S&_a%naXU*9-nrb(=3=(mz(nJ?Ce7-P+XMwJ-}s<-?D9&7*7W3 z^=ET5A3sbk_f@9&`)_6Eta&FJ!|Fy*%!(;ff^P)$?T))t+Pt2{(svhDangjy54hVq zJ5>0JhKqpI)^Kr-Peha)GUme+A0Mwk$;=$EGsy?Mb_JbxTN_A5qtS2?7n^tQ1~bKK zJU(x4J4lUU6-&Fm=!<1q4Sz??XW}X1v1vwxoMduoyR`A}sFBP4IWXX!_V!?*)i2Lh zD{x6y>hceTl%VwhrOQWVScSS)j#R7ni4E&Oe?J`YUYSP~Yfp)83@(579W?xc6Xt7BX60P+(HkmumA34Rb`91tz2&8@N;tqp(Qoc)d_MoB^!dgbW)O% zfJ{fiFtM=uVi>~7PvmrU#Z&m57Ji7avE?^4rNf?5tNZ)=o0!a~^SA2h>#r3xu}RX} zdcXu|9YliuqC^%o(gfZDo{3?V#aiFub0HzI*u=l5@e98IF=YMwOmT5BT!T{t*sFC~ zS#^cezq2lIjUv+qX8@0v*Vi+ltJ>I;`1KEFZ%-F7#J7? z)K5iy|CTFfV?%Zlh9-Xi#Z#OUFkt!8bCWa>nC+zXd_g`7#|zuP{uxlpFI|^F(p_Lc zwaUz74C#DCXc5Q!a%OQ+`q3kq{Ly#s-hFNCV0xQr_oTw{p2EuSSJ8xn&c4j&uhv)~ z$bU@+3i_{cV}g*IXIBGisiCIfXwY|>*(9FVIK+%;DJceKW>Bz%Q#S>S2!u-;(+ijc zNl8h#EPet~Qd0cvI5;?5%>QlXdipfFfjvJz|KNCt z5QiBA!6zUX9~*0K{x)g{)F(LwMMy}>0emDaGE9*Oq zy$cNu?N8*ASoR zN$ut{7h)lD5U=#@mUfsYU}+gn)6>)M>)QjdgKKMR4+AnoxDX>S-mL9ZwXaiXOCE)G69Vd(_g3LQ1_S&a z*D8^4I=rA{z+OCx08U4*HV1^!*!Z}J(~Pjs=_d0WBLu4hsCvVT(C)OmsHpU6MRjV&w;aRH(lm(=3O2q_DTrM~_PyOFQV zi;OnxAOnE-E<=s<0Pz>FynuRQ5^=AV7$;lJ#f%m>l`a6V!Dj@L- zz(u@Nc=P6~t8Uo@H4V+8wjmJ^SN5+|{*wrue5Ip^l$4ZKym=*#pCEdPzO zR8LF0N&!q%R#M`chk*yYS6ES@S*S}EFPAIoe|7pZo-ON+|BVu+jDqKCFOigvfx$XH zAWwokU6;Eaunr6kdiwmguFni2&Y|JqfOfy|{vOjG44T6>`OoDp=()#T :material-clock-edit-outline: 2021年6月21日。 + +总质量均记为 $m$。 + +| 物体 | 转动轴 | 转动惯量 | +| :-------------------: | :----------------: | :------------: | +| 长 $l$ 的细杆 | 过一端点且垂直于杆 | $\frac13ml^2$ | +| 半径为 $r$ 的实心圆柱 | 旋转对称轴 | $\frac12mr^2$ | +| 半径为 $r$ 的球面 | 旋转对称轴 | $\frac23mr^2$ | +| 半径为 $r$ 的实心球 | 旋转对称轴 | $\frac25 mr^2$ | + +## §4 气体动理论 + +> Boltzmann 常量 $k_B$,Avogadro 常量 $N_A$,理想气体常量 $R$。($R = k_BN_A$) + +### 宏观 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年4月17日。 + +| | 按数量 | 按物质的量 | +| :--------------: | :---------------: | :----------------: | +| 总量 | 分子总数 $N$ | 总物质的量 $\nu$ | +| 密度 | 数密度 $n$ | $\frac \nu V$ | +| 压强—温度、密度 | $p=nk_BT$ | $p=\frac\nu V R T$ | +| 压强、体积—温度 | $pV=Nk_B T$ | $pV=\nu RT$ | +| 每个自由度的能量 | $\frac12 N k_B T$ | $\frac12 \nu R T$ | + +温度仅包括平动的三个自由度。 + +### $\overline{v^2} \geq \bar v^2$ + +> :material-clock-edit-outline: 2021年4月18日。 + +$$ +0 \leq \overline{(v-\bar v)^2} = \overline{v^2} - \bar v^2 +$$ + +> 另证:设概率密度函数为 $\operatorname{pdf} v$,累积分布函数为 $\operatorname{cdf} v$,则 $\frac{\d}{\d v} \operatorname{cdf} v = \operatorname{pdf} v$。于是 +> +> $$ +> \begin{split} +> \overline{v^2} +> &= \int_{\R^+} v^2 \operatorname{pdf}v \d v = \int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \\ +> &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) +> = \int_{\R^+}\int_{\R^+} u^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} \frac{u^2+v^2}2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &\geq \int_{\R^+}\int_{\R^+} uv \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &= \int_{\R^+} u \d(\operatorname{cdf}u) \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \\ +> &= \left( \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \right)^2 +> = \left( \int_{\R^+} v \operatorname{pdf}v \d v \right)^2 \\ +> &= \bar v^2 +> \end{split} +> $$ +> +> 这将加权平均转化成了普通算术平均。 + +### Maxwell 分布的特征速率 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月28日。 + +设 $u= \sqrt\frac{RT}{M}$ ,则 $\text{PDF}\propto \exp\left( -\frac{u^2}2 \right)$。 + +最概然速率为 $\sqrt2 u$, 平均速率为 $\sqrt{\dfrac 8\pi} u$,方均根速率为 $\sqrt3 u$,平均相对速率为 $\sqrt{\dfrac{16}\pi} u$。 + +## §5 热力学基础 + +### 理想气体的几个准静态过程 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月16日。 + +$$ +\displaylines{ +\dbar Q = \d U + \dbar W \\ +\dbar W = p\d V,\quad +pV = \nu RT, \quad +U = \frac i2 \nu R T \\ +\d S = \frac{\dbar Q}{T} +} +$$ + +#### $\d V \equiv 0, \dbar W \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= 0 .\\ + Q &= \Delta U + = \frac i2 \nu R \Delta T + = \frac i2 V \Delta p. \\ + \Delta S &= \frac i2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\d p \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= p\Delta V .\\ + Q &= c_p^\text{mol} \nu \Delta T + = \frac{i+2}2 \nu R \Delta T + = \frac{i+1}2 p\Delta V. \\ + \Delta S &= \frac {i+2}2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\d T \equiv 0, \d U \equiv0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= \nu R T \cdot \Delta\ln V + = -\nu R T \cdot \Delta\ln p .\\ + Q &= W. \\ + \Delta S &= \frac QT + = \nu R \cdot \Delta\ln V + = - \nu R \cdot \Delta\ln p. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\dbar Q \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= -\Delta U= -\frac i2\nu R \Delta T = -\frac{\Delta(pV)}{\gamma-1} .\\ + Q &= 0. \\ + \Delta S &= 0. \\ +\end{aligned} +$$ + +状态方程等: + +$$ +\displaylines{ +pV^\gamma = \const \\ +\gamma = 1 + \frac 2i,\quad i = \frac2{\gamma-1}. +} +$$ + +#### 杂项 + +$$ +\Delta S += \int\frac{\dbar Q}T += \int\frac{c^\text{mol} \nu \d T}T += c^\text{mol} \nu \cdot \Delta\ln T +$$ + +### 可逆过程 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年6月22日。 + +- 正过程前后,系统、环境允许有变化; +- 只是相应逆过程能把这些变化都复原。 + +(书上写得比较乱) + +## 物理光学 + +### 干涉与衍射 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年6月7日。 + +干涉、衍射都是惠更斯-菲涅尔原理的推论,只是干涉中子波源有限多,衍射中无限多。在字面上,“干涉”侧重于H-F原理中的“叠加”,“衍射”侧重于“各个方向”。其实两个现象往往是同时发生的:杨氏双缝干涉实验中,若双缝处不发生衍射,则两缝出射光根本不相交,不可能干涉;单缝远场衍射中,若经过单缝不同处的光不发生干涉,则半波带法无从下手,无法形成衍射条纹。在光栅衍射中,这两种现象更是相伴而生了。 + +## 慕课的一些题目 + +!!! warning "存在无法访问的链接" + + “抱歉,课程本学期已结束。老师已将学期的查看权限关闭,你无法再查看本学期的内容。” + +### 拉小船 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年3月4日,[第一周单元作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237094608),2。 + +在堤岸顶上用绳子拉小船。设岸顶离水面的高度$h$为20m,收绳子的速率$u$为3m/s,且保持不变, 若当船与岸顶的距离$x$为40m时开始计时,则5秒时小船速率$v$与加速度大小$a$各几何? + +
+![拉小船-题图](assets/boat.png) +
拉小船|[MOOC](https://edu-image.nosdn.127.net/1B4FCA5AA71BBCDA6AA581619D047E4B.png)
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+ +#### 解 + +记剩余绳长为$l$,绳仰角为$\theta$。 + +易知所求时刻 $x = \SI{15}{m}, l= \SI{25}{m}, \cos\theta = 0.6, \sin\theta = 0.8$ 。 + +(就不用向量了,这里它没什么好处。) + +##### 初等 + +> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”。 + +画图,建立两组基:一组为水平-竖直参考系,一组为“船沿绳收缩”-“船绕人旋转”参考系。前者易描述船,后者易描述绳。 + +先用第一组基判断船的速度、加速度方向,然后用第二组基写出绳末端(相当于船)的速度($u$)、法向加速度($\dfrac{v^2\sin^2\theta}l$)。利用各参考系中合速度一致,可得 + +$$ +\displaylines{ +v\cos\theta = u \\ +a\cos\theta = \frac{v^2\sin^2\theta}l +} +$$ + +故 $v=\SI{5}{m/s}, a = \SI{\frac{16}{15}}{m/s^2}$ + +##### 导数 + +> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”的1楼、“[加速度](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321669729)”。 + +由勾股定理,$x=\sqrt{l^2-h^2}$ 。又 $\dfrac{\d l}{\d t} = u$ + +$$ +\displaylines{ +\therefore v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{\sqrt{l^2-h^2}}u \\ +\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{\sqrt{l^2-h^2}u - l \frac{lu}{\sqrt{l^2-h^2}}}{l^2-h^2}u += \frac{l^2-h^2 - l^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} u^2 += -\frac{h^2u^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} +} +$$ + +代入数据计算,再取绝对值即可。 + +##### 微分 + +对勾股定理 $l^2 = x^2 + h^2$ 微分,得 $2l\d l = 2x \d x$,即 $\d x = \dfrac lx \d l$,故 + +$$ +\displaylines{ +v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{x} \frac{\d l}{\d t} = \dfrac{lu}{x} +} +$$ + +变形为 $vx=lu$ ,微分得 + +$$ +\displaylines{ +v\d x + x\d v = u\d l \\ +\therefore \d v = \frac{u\d l - v\d x}{x} \\ +\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{u\frac{\d l}{\d t} - v\frac{\d x}{\d t}}{x} += \frac{u^2 - v^2}{x} +} +$$ + +之后类似导数法。 + +### 三角形周长质心 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年3月20日,[第三周单元测验](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/quizscore?id=1237094609&aid=2269556170)。 + +三角形周长的质心是中点三角形的内心。 + +证明:对于 $\triangle ABC$,设三边 $a,b,c$ 的中点分别为 $E,F,G$,那么 + +$$ +CoM = \frac{aE+bF+cG}{a+b+c} += \frac{eE+fF+gG}{e+f+g} +$$ + +> 另: +> +> $$ +> \begin{split} +> CoM &= \frac{a\frac{B+C}2 + b\frac{C+A}2 + c\frac{A+B}2}{a+b+c} \\ +> &= \frac{(a+b)C + (b+c)A + (c+a)B}{2(a+b+c)} \\ +> &= \frac32 \frac{A+B+C}{3} - \frac12 \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ +> &= \frac{3G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ +> &= G_{\triangle EFG} +\frac{G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ +> &= I_{\triangle EFG} \\ +> \end{split} +> $$ + +#### 内心的表达式 + +对于 $\triangle ABC$,设一点 + +$$ +\displaylines{ +I= \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ +\begin{split} + \therefore I-A &= \frac{bB+cC - (b+c)A}{a+b+c} \\ + &= \frac{b(B-A) + c(C-A)}{a+b+c} \\ + &= \frac{\frac{B-A}c + \frac{C-A}b}{bc(a+b+c)} \\ + &= \frac{\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|} }{bc(a+b+c)} \\ + &\parallel \text{$\angle BAC$的平分线} +\end{split} +} +$$ + +同理可得,$I-B,I-C$ 也是另外两角的平分线。 + +故$I$就是 $\triangle ABC$ 的内心。 + +### 伪卡诺循环 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月1日,[第九周作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237092622)。 + +
+![伪卡诺循环](assets/psuedo-carnot-cycle.png) +
伪卡诺循环|MOOC
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+ +如图,理想气体经历循环(等压膨胀–绝热膨胀–等压压缩–绝热压缩)。已知$T_b,T_c$,求效率$\eta$。 + +仅a→b吸热,仅c→d放热,故 $1-\eta = \dfrac{Q_{cd}}{Q_{ab}}$。由于这两个过程都是等压过程,热容相等,故 $Q\propto \Delta T$,$1-\eta = \dfrac{T_b-T_a}{T_c-T_d}$。 + +由于b→c,d→a都是绝热过程,均满足 + +$$ +\left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-\gamma} \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^\gamma = 1 +$$ + +因为 $p_b=p_a,p_c=p_d$,所以 + +$$ +\frac{T_b}{T_c} = \frac{T_a}{T_d} = \frac{T_b-T_a}{T_c-T_d} +$$ + +所以 + +$$ +\eta = 1-\frac{T_b}{T_c} +$$ + +注意,这不是卡诺循环,$T_b,T_c$也不是工作温度的上下限。 + +### 负热容 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日,[讨论10:热容](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321375236)。 + +> 理想气体热容一定是正值吗? +> +> 理想气体等温过程的热容是什么? +> +> 热容是否可以为负值?若可以,在怎样的过程中热容是负值? + +0/0,无意义,或者说∞。 + +可负。Q = ΔU + W = i/2 νRΔT + W,故 c = Q/ΔT = iνR/2 + W/ΔT,W/ΔT 一项其实是任意的。具体地说,理想气体膨胀得比绝热膨胀还夸张时,c就是负的。一楼同学举了例子:热带气旋。 + +### 等温膨胀不违反热力学第二定律 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日,[讨论12:热力学第二定律的讨论](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/content?type=detail&id=1240519191&cid=1262066804)。 + +> 理想气体等温过程内能不变,系统从外界吸收的热量全部转换为有用功,效率为100%。这违反热力学第二定律吗?为什么? + +不违反。从功热转换的角度,该过程引起了其他变化(体积增大),不违法“将热全部转化为功,而不引起其他变化”。从永动机的角度,这只是半个循环;若考虑整个循环,则为把气体压缩回原状,外界要对系统做功,一正一负,整个过程的功就变少了,效率达不到一,并非第二类永动机。 + +# 注意 + +- 注意向量的方向。 +- 弹簧的弹性势能与伸缩量而不是长度有关。 +- 区分直径与半径。 +- $\dfrac\omega{\SI{}{rad/s}} = \dfrac{2\pi n}{\SI{}{r/min} \times \SI{60}{s/min}}$,有个“60”。 +- 对于概率密度为$f$的速率分布,部分平均值 $\bar v_D = \frac{\int_D v f\d v}{\int_D f\d v}$,注意分母与$D$有关。 +- 分清“改变到多少”与“改变了多少”。 +- 区分“过质心轴”的转动惯量和一般轴的转动惯量。 +- 求熵变时注意 $\dbar Q$ 的正负。 +- 区分波形图和某点的振动图象,以及速度随时间的图象。 +- 记得重力。 +- 用等厚干涉观察表面缺陷时,区分空气突出和工件突出。 +- 区分真空中的波长与介质中的波长,以及它们与光程的关系。 +- 注意内能包括分子转动动能。