diff --git a/docs/assets/boat.png b/docs/assets/boat.png new file mode 100644 index 0000000..8f24a0f Binary files /dev/null and b/docs/assets/boat.png differ diff --git a/docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png b/docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png new file mode 100644 index 0000000..13d318c Binary files /dev/null and b/docs/assets/psuedo-carnot-cycle.png differ diff --git a/docs/physics-1.md b/docs/physics-1.md new file mode 100644 index 0000000..6497439 --- /dev/null +++ b/docs/physics-1.md @@ -0,0 +1,384 @@ +# 物理1 + +$$ +\def\i{\mathrm{i}} +\def\e{\mathrm{e}} +% +\def\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} +\def\dbar{\mathop{}\!\bar{} \hspace{-0.5em} \mathrm{d}} +\def\const{\mathrm{Const.}} +% +\newcommand\SI[2]{#1\ \mathrm{#2}} % siunitx (package) +% +\def\arsinh{\operatorname{arsinh}} +\def\arcosh{\operatorname{arcosh}} +\def\artanh{\operatorname{artanh}} +% +\def\R{\mathbb{R}} +$$ + +## §2 刚体力学 + +### 转动惯量 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年6月21日。 + +总质量均记为 $m$。 + +| 物体 | 转动轴 | 转动惯量 | +| :-------------------: | :----------------: | :------------: | +| 长 $l$ 的细杆 | 过一端点且垂直于杆 | $\frac13ml^2$ | +| 半径为 $r$ 的实心圆柱 | 旋转对称轴 | $\frac12mr^2$ | +| 半径为 $r$ 的球面 | 旋转对称轴 | $\frac23mr^2$ | +| 半径为 $r$ 的实心球 | 旋转对称轴 | $\frac25 mr^2$ | + +## §4 气体动理论 + +> Boltzmann 常量 $k_B$，Avogadro 常量 $N_A$，理想气体常量 $R$。（$R = k_BN_A$） + +### 宏观 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年4月17日。 + +| | 按数量 | 按物质的量 | +| :--------------: | :---------------: | :----------------: | +| 总量 | 分子总数 $N$ | 总物质的量 $\nu$ | +| 密度 | 数密度 $n$ | $\frac \nu V$ | +| 压强—温度、密度 | $p=nk_BT$ | $p=\frac\nu V R T$ | +| 压强、体积—温度 | $pV=Nk_B T$ | $pV=\nu RT$ | +| 每个自由度的能量 | $\frac12 N k_B T$ | $\frac12 \nu R T$ | + +温度仅包括平动的三个自由度。 + +### $\overline{v^2} \geq \bar v^2$ + +> :material-clock-edit-outline: 2021年4月18日。 + +$$ +0 \leq \overline{(v-\bar v)^2} = \overline{v^2} - \bar v^2 +$$ + +> 另证：设概率密度函数为 $\operatorname{pdf} v$，累积分布函数为 $\operatorname{cdf} v$，则 $\frac{\d}{\d v} \operatorname{cdf} v = \operatorname{pdf} v$。于是 +> +> $$ +> \begin{split} +> \overline{v^2} +> &= \int_{\R^+} v^2 \operatorname{pdf}v \d v = \int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \\ +> &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) +> = \int_{\R^+}\int_{\R^+} u^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} \frac{u^2+v^2}2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &\geq \int_{\R^+}\int_{\R^+} uv \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ +> &= \int_{\R^+} u \d(\operatorname{cdf}u) \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \\ +> &= \left( \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \right)^2 +> = \left( \int_{\R^+} v \operatorname{pdf}v \d v \right)^2 \\ +> &= \bar v^2 +> \end{split} +> $$ +> +> 这将加权平均转化成了普通算术平均。 + +### Maxwell 分布的特征速率 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月28日。 + +设 $u= \sqrt\frac{RT}{M}$ ，则 $\text{PDF}\propto \exp\left( -\frac{u^2}2 \right)$。 + +最概然速率为 $\sqrt2 u$， 平均速率为 $\sqrt{\dfrac 8\pi} u$，方均根速率为 $\sqrt3 u$，平均相对速率为 $\sqrt{\dfrac{16}\pi} u$。 + +## §5 热力学基础 + +### 理想气体的几个准静态过程 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月16日。 + +$$ +\displaylines{ +\dbar Q = \d U + \dbar W \\ +\dbar W = p\d V,\quad +pV = \nu RT, \quad +U = \frac i2 \nu R T \\ +\d S = \frac{\dbar Q}{T} +} +$$ + +#### $\d V \equiv 0, \dbar W \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= 0 .\\ + Q &= \Delta U + = \frac i2 \nu R \Delta T + = \frac i2 V \Delta p. \\ + \Delta S &= \frac i2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\d p \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= p\Delta V .\\ + Q &= c_p^\text{mol} \nu \Delta T + = \frac{i+2}2 \nu R \Delta T + = \frac{i+1}2 p\Delta V. \\ + \Delta S &= \frac {i+2}2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\d T \equiv 0, \d U \equiv0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= \nu R T \cdot \Delta\ln V + = -\nu R T \cdot \Delta\ln p .\\ + Q &= W. \\ + \Delta S &= \frac QT + = \nu R \cdot \Delta\ln V + = - \nu R \cdot \Delta\ln p. \\ +\end{aligned} +$$ + +#### $\dbar Q \equiv 0$ + +$$ +\begin{aligned} + W &= -\Delta U= -\frac i2\nu R \Delta T = -\frac{\Delta(pV)}{\gamma-1} .\\ + Q &= 0. \\ + \Delta S &= 0. \\ +\end{aligned} +$$ + +状态方程等： + +$$ +\displaylines{ +pV^\gamma = \const \\ +\gamma = 1 + \frac 2i,\quad i = \frac2{\gamma-1}. +} +$$ + +#### 杂项 + +$$ +\Delta S += \int\frac{\dbar Q}T += \int\frac{c^\text{mol} \nu \d T}T += c^\text{mol} \nu \cdot \Delta\ln T +$$ + +### 可逆过程 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年6月22日。 + +- 正过程前后，系统、环境允许有变化； +- 只是相应逆过程能把这些变化都复原。 + +（书上写得比较乱） + +## 物理光学 + +### 干涉与衍射 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年6月7日。 + +干涉、衍射都是惠更斯-菲涅尔原理的推论，只是干涉中子波源有限多，衍射中无限多。在字面上，“干涉”侧重于H-F原理中的“叠加”，“衍射”侧重于“各个方向”。其实两个现象往往是同时发生的：杨氏双缝干涉实验中，若双缝处不发生衍射，则两缝出射光根本不相交，不可能干涉；单缝远场衍射中，若经过单缝不同处的光不发生干涉，则半波带法无从下手，无法形成衍射条纹。在光栅衍射中，这两种现象更是相伴而生了。 + +## 慕课的一些题目 + +!!! warning "存在无法访问的链接" + + “抱歉，课程本学期已结束。老师已将学期的查看权限关闭，你无法再查看本学期的内容。” + +### 拉小船 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年3月4日，[第一周单元作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237094608)，2。 + +在堤岸顶上用绳子拉小船。设岸顶离水面的高度$h$为20m，收绳子的速率$u$为3m/s，且保持不变， 若当船与岸顶的距离$x$为40m时开始计时，则5秒时小船速率$v$与加速度大小$a$各几何？ + +
+![拉小船-题图](assets/boat.png) +
拉小船｜[MOOC](https://edu-image.nosdn.127.net/1B4FCA5AA71BBCDA6AA581619D047E4B.png)
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+ +#### 解 + +记剩余绳长为$l$，绳仰角为$\theta$。 + +易知所求时刻 $x = \SI{15}{m}, l= \SI{25}{m}, \cos\theta = 0.6, \sin\theta = 0.8$ 。 + +（就不用向量了，这里它没什么好处。） + +##### 初等 + +> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”。 + +画图，建立两组基：一组为水平-竖直参考系，一组为“船沿绳收缩”-“船绕人旋转”参考系。前者易描述船，后者易描述绳。 + +先用第一组基判断船的速度、加速度方向，然后用第二组基写出绳末端（相当于船）的速度（$u$）、法向加速度（$\dfrac{v^2\sin^2\theta}l$）。利用各参考系中合速度一致，可得 + +$$ +\displaylines{ +v\cos\theta = u \\ +a\cos\theta = \frac{v^2\sin^2\theta}l +} +$$ + +故 $v=\SI{5}{m/s}, a = \SI{\frac{16}{15}}{m/s^2}$ + +##### 导数 + +> →“[加速度求法](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321684340)”的1楼、“[加速度](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321669729)”。 + +由勾股定理，$x=\sqrt{l^2-h^2}$ 。又 $\dfrac{\d l}{\d t} = u$ + +$$ +\displaylines{ +\therefore v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{\sqrt{l^2-h^2}}u \\ +\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{\sqrt{l^2-h^2}u - l \frac{lu}{\sqrt{l^2-h^2}}}{l^2-h^2}u += \frac{l^2-h^2 - l^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} u^2 += -\frac{h^2u^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} +} +$$ + +代入数据计算，再取绝对值即可。 + +##### 微分 + +对勾股定理 $l^2 = x^2 + h^2$ 微分，得 $2l\d l = 2x \d x$，即 $\d x = \dfrac lx \d l$，故 + +$$ +\displaylines{ +v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{x} \frac{\d l}{\d t} = \dfrac{lu}{x} +} +$$ + +变形为 $vx=lu$ ，微分得 + +$$ +\displaylines{ +v\d x + x\d v = u\d l \\ +\therefore \d v = \frac{u\d l - v\d x}{x} \\ +\therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{u\frac{\d l}{\d t} - v\frac{\d x}{\d t}}{x} += \frac{u^2 - v^2}{x} +} +$$ + +之后类似导数法。 + +### 三角形周长质心 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年3月20日，[第三周单元测验](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/quizscore?id=1237094609&aid=2269556170)。 + +三角形周长的质心是中点三角形的内心。 + +证明：对于 $\triangle ABC$，设三边 $a,b,c$ 的中点分别为 $E,F,G$，那么 + +$$ +CoM = \frac{aE+bF+cG}{a+b+c} += \frac{eE+fF+gG}{e+f+g} +$$ + +> 另： +> +> $$ +> \begin{split} +> CoM &= \frac{a\frac{B+C}2 + b\frac{C+A}2 + c\frac{A+B}2}{a+b+c} \\ +> &= \frac{(a+b)C + (b+c)A + (c+a)B}{2(a+b+c)} \\ +> &= \frac32 \frac{A+B+C}{3} - \frac12 \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ +> &= \frac{3G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ +> &= G_{\triangle EFG} +\frac{G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ +> &= I_{\triangle EFG} \\ +> \end{split} +> $$ + +#### 内心的表达式 + +对于 $\triangle ABC$，设一点 + +$$ +\displaylines{ +I= \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ +\begin{split} + \therefore I-A &= \frac{bB+cC - (b+c)A}{a+b+c} \\ + &= \frac{b(B-A) + c(C-A)}{a+b+c} \\ + &= \frac{\frac{B-A}c + \frac{C-A}b}{bc(a+b+c)} \\ + &= \frac{\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|} }{bc(a+b+c)} \\ + &\parallel \text{$\angle BAC$的平分线} +\end{split} +} +$$ + +同理可得，$I-B,I-C$ 也是另外两角的平分线。 + +故$I$就是 $\triangle ABC$ 的内心。 + +### 伪卡诺循环 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月1日，[第九周作业](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/hw?id=1237092622)。 + +
+![伪卡诺循环](assets/psuedo-carnot-cycle.png) +
伪卡诺循环｜MOOC
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+ +如图，理想气体经历循环（等压膨胀–绝热膨胀–等压压缩–绝热压缩）。已知$T_b,T_c$，求效率$\eta$。 + +仅a→b吸热，仅c→d放热，故 $1-\eta = \dfrac{Q_{cd}}{Q_{ab}}$。由于这两个过程都是等压过程，热容相等，故 $Q\propto \Delta T$，$1-\eta = \dfrac{T_b-T_a}{T_c-T_d}$。 + +由于b→c，d→a都是绝热过程，均满足 + +$$ +\left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-\gamma} \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^\gamma = 1 +$$ + +因为 $p_b=p_a,p_c=p_d$，所以 + +$$ +\frac{T_b}{T_c} = \frac{T_a}{T_d} = \frac{T_b-T_a}{T_c-T_d} +$$ + +所以 + +$$ +\eta = 1-\frac{T_b}{T_c} +$$ + +注意，这不是卡诺循环，$T_b,T_c$也不是工作温度的上下限。 + +### 负热容 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日，[讨论10：热容](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/forumdetail?pid=1321375236)。 + +> 理想气体热容一定是正值吗？ +> +> 理想气体等温过程的热容是什么？ +> +> 热容是否可以为负值？若可以，在怎样的过程中热容是负值？ + +0/0，无意义，或者说∞。 + +可负。Q = ΔU + W = i/2 νRΔT + W，故 c = Q/ΔT = iνR/2 + W/ΔT，W/ΔT 一项其实是任意的。具体地说，理想气体膨胀得比绝热膨胀还夸张时，c就是负的。一楼同学举了例子：热带气旋。 + +### 等温膨胀不违反热力学第二定律 + +> :material-clock-edit-outline: 2021年5月3日，[讨论12：热力学第二定律的讨论](https://www.icourse163.org/learn/BIT-46002?tid=1463232449#/learn/content?type=detail&id=1240519191&cid=1262066804)。 + +> 理想气体等温过程内能不变，系统从外界吸收的热量全部转换为有用功，效率为100%。这违反热力学第二定律吗？为什么？ + +不违反。从功热转换的角度，该过程引起了其他变化（体积增大），不违法“将热全部转化为功，而不引起其他变化”。从永动机的角度，这只是半个循环；若考虑整个循环，则为把气体压缩回原状，外界要对系统做功，一正一负，整个过程的功就变少了，效率达不到一，并非第二类永动机。 + +# 注意 + +- 注意向量的方向。 +- 弹簧的弹性势能与伸缩量而不是长度有关。 +- 区分直径与半径。 +- $\dfrac\omega{\SI{}{rad/s}} = \dfrac{2\pi n}{\SI{}{r/min} \times \SI{60}{s/min}}$，有个“60”。 +- 对于概率密度为$f$的速率分布，部分平均值 $\bar v_D = \frac{\int_D v f\d v}{\int_D f\d v}$，注意分母与$D$有关。 +- 分清“改变到多少”与“改变了多少”。 +- 区分“过质心轴”的转动惯量和一般轴的转动惯量。 +- 求熵变时注意 $\dbar Q$ 的正负。 +- 区分波形图和某点的振动图象，以及速度随时间的图象。 +- 记得重力。 +- 用等厚干涉观察表面缺陷时，区分空气突出和工件突出。 +- 区分真空中的波长与介质中的波长，以及它们与光程的关系。 +- 注意内能包括分子转动动能。