4.证明： $\displaystyle{ d \left( n \right) }$ 是奇数当且仅当 $\displaystyle{ n }$ 是平方数
解：注意到 $\displaystyle{ n }$ 是平方数当且仅当 $\displaystyle{ d \left( n \right) = \sum _ { \substack {d< \sqrt {n}\d|n}} 1 + 1 + \sum _ { \substack {d> \sqrt {n}\d|n}} 1 = 2 \sum _ { \substack {d< \sqrt {n}\d|n}} 1 + 1 }$
5.求单摆摆动的微分方程。
解：设 $\displaystyle{ \theta }$ 为单摆与垂直于地面的夹角。不管 $\theta >0$ 还是 $\theta <0$ ，垂直于单摆的加速度始终是 $-g\sin \theta$，即 $\displaystyle{ \ddot x=-g \sin \theta }$ 。设某段弧长度为 $\displaystyle{ x }$ ，那么与对应的角度 $\displaystyle{ \theta }$ 的关系为 $\displaystyle{ x=r \theta }$ 。于是联立二式，得 $\displaystyle{ r \ddot \theta =-g \sin \theta }$ ，即 $\displaystyle{ \ddot \theta = - \frac{ g }{ r } \sin \theta }$ .
6.证明：任意维空间中，任意个质点按照牛顿力学运行，则这些质点的整体的质心随时间而匀速直线运动。
解法一：设 $\displaystyle{ \vec {p_i} }$ 为第 $\displaystyle{ i }$ 个质点的坐标向量， $\displaystyle{ \vec {a_{i,j}} }$ 为第 $\displaystyle{ j }$ 个质点对第 $\displaystyle{ i }$ 个质点产生的加速度向量，于是质心坐标向量为：
$$\displaystyle{ \begin{align*} & \frac{ \sum \vec{p_i} }{ m } \=& \frac{ 1 }{ m } \sum _ {i= 1 } ^ {m} \int \int \sum _ b \vec {a_{i,b}}, \mathrm{d}t \mathrm{d}t \=& \frac{ 1 }{ m } \int \int \sum _ {i= 1 } ^ {m} \sum _ b \vec {a_{i,b}}, \mathrm{d}t \mathrm{d}t \=& \frac{ 1 }{ m } \int \int \vec { 0 }, \mathrm{d}t \mathrm{d}t \=& \frac{ 1 }{ m } \left( \vec {C_ 1 }t+ \vec {C_ 2 } \right) \end{align*} }$$
因为 $\displaystyle{ \frac{ 1 }{ m } \left( \vec {C_ 1 }t+ \vec {C_ 2 } \right) }$ 是线性的，因此得证.
解法二：因为这个整体不受外力.