From ec14d7496572358893427e673bab9fb16be0ace4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: myyura Date: Thu, 2 May 2024 16:49:13 +0800 Subject: [PATCH] Deployed 987a410 with MkDocs version: 1.6.0 --- 404.html | 2 +- index.html | 136 +- javascripts/mathjax.js | 8 +- .../science/math_2024_8_kiso_2/index.html | 128 +- .../kyotsu_2022_8_math_1/index.html | 1564 ++++++++++++++ .../kyotsu_2022_8_math_2/index.html | 1715 +++++++++++++++ .../kyotsu_2022_8_math_3/index.html | 1435 +++++++++++++ .../kyotsu_2022_8_phys_1/index.html | 1639 +++++++++++++++ .../kyotsu_2023_8_math_1/index.html | 1382 ++++++++++++ .../kyotsu_2023_8_math_2/index.html | 1402 +++++++++++++ .../kyotsu_2017_8_math_1/index.html | 198 +- .../kyotsu_2018_8_math_1/index.html | 226 +- .../science/astron_2023_8_astron/index.html | 1520 ++++++++++++++ .../science/chem_2020_8_math_1/index.html | 1607 ++++++++++++++ .../science/phys_2020_8_phys_1/index.html | 1859 +++++++++++++++++ .../science/phys_2020_8_phys_2/index.html | 1601 ++++++++++++++ .../science/phys_2022_8_sennmon_1/index.html | 1467 +++++++++++++ overrides/javascripts/mathjax.js | 23 + overrides/partials/comments.html | 51 + search/search_index.json | 2 +- sitemap.xml | 63 +- sitemap.xml.gz | Bin 291 -> 373 bytes 22 files changed, 17916 insertions(+), 112 deletions(-) create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2022_8_math_1/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2022_8_math_2/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2022_8_math_3/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2022_8_phys_1/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2023_8_math_1/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2023_8_math_2/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/science/astron_2023_8_astron/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/science/chem_2020_8_math_1/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/science/phys_2020_8_phys_1/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/science/phys_2020_8_phys_2/index.html create mode 100755 kakomonn/tokyo_university/science/phys_2022_8_sennmon_1/index.html create mode 100755 overrides/javascripts/mathjax.js create mode 100755 overrides/partials/comments.html diff --git a/404.html b/404.html index 40caeea7e..4adab5419 100755 --- a/404.html +++ b/404.html @@ -383,7 +383,7 @@

404 - Not found

- + diff --git a/index.html b/index.html index 88a65fd0d..c363d542d 100755 --- a/index.html +++ b/index.html @@ -12,7 +12,7 @@ - + @@ -334,6 +334,10 @@ + + + + @@ -379,6 +383,128 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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    The Kai Project

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    "Answer to the Ultimate Question of Life, the Universe, and Everything"
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    数学1

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    Source

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    東京大学 大学院 工学系研究科 2022年度 数学1 (主に「微分積分および微分方程式」と「級数・フーリエ解析および積分変換」)

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +

    1.

    +

    与えられた楕円の方程式を \(x\) で微分して、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 +\end{align} +\]
    +
    \[ +\begin{align} +\therefore \ \ +\frac{dy}{dx} = - \frac{b^2 x}{a^2 y} +\end{align} +\]
    +

    なので、楕円上の点 \((X,Y)\) における接線の方程式は、

    +
    \[ +\begin{align} +y-Y = - \frac{b^2 X}{a^2 Y} (x-X) +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    2.

    +

    上で求めた接線とx,y軸との交点をそれぞれ \((p,0),(0,q)\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +p &= X + \frac{a^2 Y^2}{b^2 X} = \frac{a^2}{X} +\\ +q &= Y + \frac{b^2 X^2}{a^2 Y} = \frac{b^2}{Y} +\end{align} +\]
    +

    であり、この2点を結ぶ線分の長さを \(d\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +d^2 +&= p^2 + q^2 +\\ +&= \frac{a^4}{X^2} + \frac{b^4}{Y^2} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    この \(d^2\) を最小にする \((X,Y)\) を求めるために、 +ラグランジュの未定乗数 \(\lambda\) を導入して、関数

    +
    \[ +\begin{align} +L(X,Y) +&= \frac{a^4}{X^2} + \frac{b^4}{Y^2} +- \lambda \left( \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} \right) +\end{align} +\]
    +

    を最小化する。

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \frac{\partial L}{\partial X} += - \frac{2a^4}{X^3} - \frac{2 \lambda X}{a^2} += - \frac{2}{a^2 X^3} \left( a^6 + \lambda X^4 \right) +\\ +0 +&= \frac{\partial L}{\partial Y} += - \frac{2b^4}{Y^3} - \frac{2 \lambda Y}{b^2} += - \frac{2}{b^2 Y^3} \left( b^6 + \lambda Y^4 \right) +\end{align} +\]
    +

    より、

    +
    \[ +\begin{align} +X^4 &= -\frac{a^6}{\lambda} +, \ \ +Y^4 = -\frac{b^6}{\lambda} +\\ +\therefore \ \ +X^2 &= \frac{a^3}{\sqrt{-\lambda}} +, \ \ +Y^2 = \frac{b^3}{\sqrt{-\lambda}} +\end{align} +\]
    +

    となるので、これらを楕円の方程式に代入して整理すると、

    +
    \[ +\begin{align} +\lambda = -(a+b)^2 +\end{align} +\]
    +

    したがって、

    +
    \[ +\begin{align} +X^2 = \frac{a^3}{a+b} +, \ \ +Y^2 = \frac{b^3}{a+b} +\end{align} +\]
    +

    であり、このとき、

    +
    \[ +\begin{align} +d^2 = (a+b)^2 +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    まとめると、線分の長さが最小になるのは、接点の座標が

    +
    \[ +\begin{align} +\left( \sqrt{\frac{a^3}{a+b}}, \sqrt{\frac{b^3}{a+b}} \right) +\end{align} +\]
    +

    のときであり、このとき、線分の長さは \(a+b\) である。

    +

    II.

    +

    1.

    +
    \[ +\begin{align} +\mathcal{L} \left[ f'(t) \right] +&= \int_0^\infty e^{-st} f'(t) dt +\\ +&= \left[ e^{-st} f(t) \right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt +\\ +&= -f(0) + s \mathcal{L} \left[ f(t) \right] +\\ +\mathcal{L} \left[ f''(t) \right] +&= \int_0^\infty e^{-st} f''(t) dt +\\ +&= \left[ e^{-st} f'(t) \right]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st} f'(t) dt +\\ +&= -f'(0) - s f(0) + s^2 \mathcal{L} \left[ f(t) \right] +\end{align} +\]
    +

    2.

    +
    \[ +\begin{align} +\mathcal{L} \left[ g(t) \right] +&= \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \cos (\omega t) dt +\\ +&= \frac{1}{\omega} \left[ e^{-(s+a)t} \sin (\omega t) \right]_0^\infty ++ \frac{s+a}{\omega} \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \sin (\omega t) dt +\\ +&= \frac{s+a}{\omega} \mathcal{L} \left[ h(t) \right] +\\ +\mathcal{L} \left[ h(t) \right] +&= \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \sin (\omega t) dt +\\ +&= - \frac{1}{\omega} \left[ e^{-(s+a)t} \cos (\omega t) \right]_0^\infty +- \frac{s+a}{\omega} \int_0^\infty e^{-(s+a)t} \cos (\omega t) dt +\\ +&= \frac{1}{\omega} - \frac{s+a}{\omega} \mathcal{L} \left[ g(t) \right] +\end{align} +\]
    +

    より、

    +
    \[ +\begin{align} +\mathcal{L} \left[ g(t) \right] +&= \frac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2} +\\ +\mathcal{L} \left[ h(t) \right] +&= \frac{\omega}{(s+a)^2 + \omega^2} +\end{align} +\]
    +

    3.

    +

    与えられた微分方程式をラプラス変換して、上の 1. で得た式を使うと、

    +
    \[ +\begin{align} +\left( -f'(0) - s f(0) + s^2 \mathcal{L} \left[ f(t) \right] \right) ++ 6 \left( -f(0) + s \mathcal{L} \left[ f(t) \right] \right) ++ 13 \mathcal{L} \left[ f(t) \right] += 0 +\end{align} +\]
    +
    \[ +\begin{align} +\therefore \ \ +-f'(0) - (s+6) f(0) + (s^2+6s+13) \mathcal{L} \left[ f(t) \right] = 0 +\end{align} +\]
    +

    さらに、初期値 \(f(0)=5, f'(0)=-11\) を代入して整理すると、

    +
    \[ +\begin{align} +(s^2+6s+13) \mathcal{L} \left[ f(t) \right] = 5s+19 +\end{align} +\]
    +
    \[ +\begin{align} +\therefore \ \ +\mathcal{L} \left[ f(t) \right] +&= \frac{5s+19}{s^2+6s+13} +\\ +&= 2 \cdot \frac{2}{(s+3)^2+2^2} + 5 \cdot \frac{s+3}{(s+3)^2+2^2} +\end{align} +\]
    +

    となる。これは、上の 2. で \(a=3, \omega=2\) の場合に相当するので、

    +
    \[ +\begin{align} +f(t) +&= 2 e^{-3t} \sin (2t) + 5 e^{-3t} \cos (2t) +\\ +&= e^{-3t} \left( 2 \sin (2t) + 5 \cos (2t) \right) +\end{align} +\]
    +

    がわかる。

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    数学2

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    Source

    +

    東京大学 大学院 工学系研究科 2022年度 数学2 (主に「ベクトル・行列・固有値（線形代数）」と「曲線・曲面」)

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +

    1.

    +
    \[ +\begin{align} +AB +&= \begin{pmatrix} 36 & -18 & 0 \\ -18 & 54 & -18 \\ 0 & -18 & 36 \end{pmatrix} +\\ +&= 18 \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    2.

    +

    2つの \(n\) 次実対称行列 \(C, D\) を考え、 \(CD=DC\) が成り立つとする。 +また、どちらもそれぞれ \(n\) 個の固有値は互いに異なるとする。

    +

    \(C\) の固有値 \(c\) に属する固有ベクトルを \(\boldsymbol{w}\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +C \boldsymbol{w} &= c \boldsymbol{w} +\\ +CD \boldsymbol{w} +&= DC \boldsymbol{w} +\\ +&= Dc \boldsymbol{w} +\\ +&= cD \boldsymbol{w} +\end{align} +\]
    +

    であり、 \(D \boldsymbol{w}\) も \(C\) の固有値 \(c\) に属する固有ベクトルであることがわかる。 +\(C\) の \(c\) に属する固有空間は1次元なので、

    +
    \[ +\begin{align} +D \boldsymbol{w} = d \boldsymbol{w} +\end{align} +\]
    +

    と書ける。 +つまり、 \(\boldsymbol{w}\) は \(D\) の固有ベクトルでもある。 +同様にして、 \(D\) の固有ベクトルは \(C\) の固有ベクトルでもある。

    +

    \(C\) の固有値 \(c_1, c_2, \cdots, c_n\) に属する規格化された固有ベクトル +\(\boldsymbol{w}_1, \boldsymbol{w}_2, \cdots, \boldsymbol{w}_n\) は +互いに直交し、直交行列

    +
    \[ +\begin{align} +P = +\begin{pmatrix} \boldsymbol{w}_1 & \boldsymbol{w}_2 & \cdots & \boldsymbol{w}_n \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    によって \(C\) は対角化される。 +\(\boldsymbol{w}_1, \boldsymbol{w}_2, \cdots, \boldsymbol{w}_n\) は、 +\(D\) の \(n\) 個の互いに直交する（1次独立な）固有ベクトルでもあるので、 +\(P\) によって \(D\) も対角化される。 +つまり、 \(C\) と \(D\) は同時対角化可能である。

    +

    3.

    +

    \(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \det \begin{pmatrix} +7 - \lambda & -2 & 1 \\ -2 & 10 - \lambda & -2 \\ 1 & -2 & 7 - \lambda +\end{pmatrix} +\\ +&= - (\lambda-6)^2 (\lambda-12) +\\ +\therefore \ \ +\lambda &= 6, 12 +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    \(A\) の固有値 \(12\) に属する固有ベクトルを求めるために、

    +
    \[ +\begin{align} +\begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    とおくと、 \(-5x-2y+z=0, x+y+z=0, x-2y-5z=0\) であるから、例えば、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{x}_1 += \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    が固有ベクトルである。

    +

    \(A\) の固有値 \(6\) に属する固有空間を求めるために、

    +
    \[ +\begin{align} +\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    とおくと、 \(x-2y+z=0\) であるから、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{x}_2 += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +, \ \ +\boldsymbol{x}_3 += \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    を基底とする空間が固有空間である。

    +

    \(B\) の固有値を \(\mu\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \det \begin{pmatrix} +5-\mu & -1 & -1 \\ -1 & 5-\mu & -1 \\ -1 & -1 & 5-\mu +\end{pmatrix} +\\ +&= - (\mu-3)(\mu-6)^2 +\\ +\therefore \ \ +\lambda &= 3, 6 +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    上と同様に考えると、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{y}_1 += \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    は \(B\) の固有値 \(3\) に属する固有ベクトルであり、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{y}_2 += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} +, \ \ +\boldsymbol{y}_3 += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    を基底とする空間が \(B\) の固有値 \(6\) に属する固有空間である。

    +

    よって、\(\boldsymbol{x}_1\) について、

    +
    \[ +\begin{align} +A \boldsymbol{x}_1 = 12 \boldsymbol{x}_1 +, \ \ +B \boldsymbol{x}_1 = 6 \boldsymbol{x}_1 +\end{align} +\]
    +

    が成り立ち、\(\boldsymbol{y}_1\) について、

    +
    \[ +\begin{align} +A \boldsymbol{y}_1 = 6 \boldsymbol{y}_1 +, \ \ +B \boldsymbol{y}_1 = 3 \boldsymbol{y}_1 +\end{align} +\]
    +

    が成り立つ。

    +

    さらに、 \(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{y}_1\) に直交する規格化されたベクトルとして、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{z} += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    を考えると、

    +
    \[ +\begin{align} +A \boldsymbol{z} = 6 \boldsymbol{z} +, \ \ +B \boldsymbol{z} = 6 \boldsymbol{z} +\end{align} +\]
    +

    が成り立つ。 +つまり、6つのベクトル \(\pm \boldsymbol{x}_1, \pm \boldsymbol{y}_1, \pm \boldsymbol{z}\)は、規格化された同時固有ベクトルである。（これら以外にはないことは次のようにしてわかる。 +\(\alpha \ne 0, \beta \neq 0, \gamma \neq 0\) として、 +\(\alpha \boldsymbol{x}_1 + \beta \boldsymbol{y}_1\) は +\(A,B\) どちらの固有ベクトルでもなく、 +\(\alpha \boldsymbol{x}_1 + \gamma \boldsymbol{z}\) は +\(B\) の固有ベクトルだが \(A\) の固有ベクトルではなく、 +\(\beta \boldsymbol{y}_1 + \gamma \boldsymbol{z}\) は +\(A\) の固有ベクトルだが \(B\) の固有ベクトルではなく、 +\(\alpha \boldsymbol{x}_1 + \beta \boldsymbol{y}_1 + \gamma \boldsymbol{z}\) は +\(A,B\) どちらの固有ベクトルでもない。）

    +

    以上より、

    +
    \[ +\begin{align} +\left( \boldsymbol{v}, a, b \right) += +&\left( \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, 12, 6 \right) +, \ \ +\left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, 12, 6 \right) +, \\ +&\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 6, 3 \right) +, \ \ +\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, 6, 3 \right) +, \\ +&\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, 6, 6 \right) +, \ \ +\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, 6, 6 \right) +\end{align} +\]
    +

    を得る。

    +

    II.

    +

    1.

    +
    \[ +\begin{align} +A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} +, \ \ +\boldsymbol{b} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    2.

    +

    \(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \det +\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 2 \\ 0 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix} +\\ +&= - \lambda(\lambda-2)(\lambda-4) +\end{align} +\]
    +

    となるので、

    +
    \[ +\begin{align} +d_1 = 4, d_2 = 2, d_3 = 0 +\end{align} +\]
    +

    つまり、

    +
    \[ +\begin{align} +D += \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    固有値 \(d_1, d_2, d_3\) に属する規格化された固有ベクトルは、それぞれ、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +, \ \ +\boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +, \ \ +\boldsymbol{v}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    なので、

    +
    \[ +\begin{align} +P^T += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} +, \ \ +P += \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    とすると、 \(A = P^T DP\) となる。

    +

    3.

    +
    \[ +\begin{align} +f(x,y,z) +&= +\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ++ 2 \boldsymbol{b}^T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} P^T P A P^T P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ++ 2 \boldsymbol{b}^T P^T P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +\\ +&= +\begin{pmatrix} X & Y & Z \end{pmatrix} D \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} ++ 2 \boldsymbol{b}^T P^T \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} +\\ +&= +4X^2+2Y^2-Z +\end{align} +\]
    +

    4.

    +

    平面 \(y-z-\sqrt{2}=0\) は次のように書き直せる：

    +
    \[ +\begin{align} +\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +&= \sqrt{2} +\\ +\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} P^T \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} +&= \sqrt{2} +\end{align} +\]
    +

    これを整理して \(Z=1\) を得る。

    +

    また、 3. で得た

    +
    \[ +\begin{align} +4X^2 + 2Y^2 - Z = 0 +\end{align} +\]
    +

    は、 \(Z (\gt 0)\) を固定すると、 \(X,Y\) に関する楕円の方程式であり、その面積 \(S(Z)\) は、

    +
    \[ +\begin{align} +S(Z) += \pi \sqrt{\frac{Z}{4}} \sqrt{\frac{Z}{2}} += \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} Z +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    よって、求める体積は、

    +
    \[ +\begin{align} +\int_0^1 S(Z) dZ += \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \int_0^1 Z dZ += \frac{\pi}{4 \sqrt{2}} +\end{align} +\]
    +

    である。

    + + + + + + + + + + + + + + + + +
    +
    + + + + + +
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    数学3

    + +

    Source

    +

    東京大学 大学院 工学系研究科 2022年度 数学3 (主に「関数論・複素数」と「確率・統計，情報数学，その他」)

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +

    1.

    +

    \(I_1\) の被積分関数

    +
    \[ +\begin{align} +f(z) = \frac{z}{(z-i)(z-1)} +\end{align} +\]
    +

    の極 \(z=1,i\) における留数はそれぞれ

    +
    \[ +\begin{align} +R_1 &= \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2} +, \\ +R_i &= \frac{i}{i-1} = \frac{1-i}{2} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    \(I_1\) は \(z=1\) の周りを反時計回りに回る部分と \(z=i\) の周りを時計回りに回る部分からなるから、

    +
    \[ +\begin{align} +I_1 +&= 2 \pi i \left( R_1 - R_i \right) +\\ +&= -2 \pi +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    2.

    +
    2.1
    +

    \(|z|=1\) を満たす複素数 \(z\) は、 \(z=e^{i \theta} \ \ (0 \leq \theta \lt 2 \pi)\) と書ける。 +このとき、

    +
    \[ +\begin{align} +dz &= i e^{i \theta} d \theta = iz d \theta +\\ +z + \frac{1}{z} &= e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta +\end{align} +\]
    +

    であるから、

    +
    \[ +\begin{align} +I_2 +&= \oint_{|z|=1} \frac{1}{10 + 4 \left( z + \frac{1}{z} \right)} \frac{dz}{iz} +\\ +&= \oint_{|z|=1} \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} dz +\end{align} +\]
    +

    よって、

    +
    \[ +\begin{align} +G(z) = \frac{-i}{2(z+2)(2z+1)} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +
    2.2
    +

    \(G(z)\) の特異点は \(z=-1/2, 2\) である。

    +
    2.3
    +

    \(G(z)\) の \(z=-1/2\) における留数は \(-i/6\) であるから、留数定理により、

    +
    \[ +\begin{align} +I_2 = 2 \pi i \cdot \frac{-i}{6} = \frac{\pi}{3} +\end{align} +\]
    +

    を得る。

    +

    II.

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    物理学1

    + +

    Source

    +

    東京大学 大学院 工学系研究科 2022年度 物理学1 (力学)

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +

    1.

    +
    \[ +\begin{align} +I_O +&= \int_0^L \frac{m}{L} x^2 dx +\\ +&= \frac{m}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L +\\ +&= \frac{1}{3} mL^2 +\end{align} +\]
    +

    2.

    +
    \[ +\begin{align} +I_O \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta +\\ +\frac{1}{3} mL^2 \ddot{\theta} &= - mg \frac{L}{2} \sin \theta +\\ +\therefore \ \ +\ddot{\theta} &= - \frac{3g}{2L} \sin \theta +\end{align} +\]
    +

    3.

    +

    エネルギー保存則より、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{1}{2} I_O \dot{\theta}^2 - mg \frac{L}{2} \cos \theta &= 0 +\\ +\frac{1}{3} mL^2 \dot{\theta}^2 &= mgL \cos \theta +\\ +\therefore \ \ +\dot{\theta}^2 &= \frac{3g}{L} \cos \theta +\end{align} +\]
    +

    4.

    +

    \(0\)

    +

    5.

    +

    棒は始点 O から、鉛直上向きに大きさ \(mg\) の力を受ける。

    +

    II.

    +

    1.

    +

    棒と P を合わせた物体を P' とする。 +P' の O の周りの慣性モーメントは、

    +
    \[ +\begin{align} +I_O + mx^2 += m \frac{L^2 + 3x^2}{3} +\end{align} +\]
    +

    であり、 O から P' の重心までの距離は \((L/2+x)/2\) であるから、 +\(\theta\) に関する運動方程式は、

    +
    \[ +\begin{align} +m \frac{L^2 + 3x^2}{3} \ddot{\theta} &= - 2mg \frac{L/2 + x}{2} \sin \theta +\\ +\ddot{\theta} &= - \frac{3g(L+2x)}{2(L^2+3x^2)} \sin \theta +\end{align} +\]
    +

    である。 +よって、微小振動の振動周期は、

    +
    \[ +\begin{align} +2 \pi \sqrt{ \frac{2(L^2+3x^2)}{3g(L+2x)} } +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    2.

    +

    エネルギー保存則より

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{1}{2} m \frac{L^2+3x^2}{3} \dot{\theta}^2 &- 2mg \frac{L/2+x}{2} \cos \theta = 0 +\\ +\therefore \ \ +\dot{\theta}^2 &= \frac{L+2x}{L^2+3x^2} \cdot 3g \cos \theta +\end{align} +\]
    +

    棒を放してから E が最下点に最初に到達するまで、 +\(0 \leq \theta \leq \pi/2, \dot{\theta} \leq 0\) なので、

    +
    \[ +\begin{align} +\dot{\theta} &= - \sqrt{\frac{L+2x}{L^2+3x^2}} \sqrt{3g \cos \theta} +\\ +\therefore \ \ +dt &= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} +\end{align} +\]
    +

    である。よって、 +棒を放してから E が最下点に最初に到達するまでの時間を \(t_1\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +t_1 +&= - \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} +\int_{\pi/2}^0 \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} +\\ +&= \sqrt{\frac{L^2+3x^2}{L+2x}} +\int_0^{\pi/2} \frac{d \theta}{\sqrt{3g \cos \theta}} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{d}{dx} \frac{L^2+3x^2}{L+2x} +&= \frac{2(3x^2+3Lx-L^2)}{(L+2x)^2} +\end{align} +\]
    +

    からわかるように、 \(0 \lt x \leq L\) において +\((L^2+3x^2)/(L+2x)\) したがって \(t_1\) を最小にする \(x\) は、

    +
    \[ +\begin{align} +x = \frac{-3+\sqrt{21}}{2} L +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    III.

    +

    1.

    +

    衝突直後の棒の O の周りの角速度を \(\omega\) とすると、 +衝突前後のエネルギー保存則と角運動量保存則より、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{1}{2}mv^2 &= \frac{1}{2} I_O \omega^2 , +\\ +ymv &= I_O \omega +\end{align} +\]
    +

    が成り立ち、これらから \(\omega\) を消去して、

    +
    \[ +\begin{align} +y = \frac{L}{\sqrt{3}} +\end{align} +\]
    +

    を得る。

    +

    2.

    +

    棒と Q を合わせた物体の O の周りの慣性モーメントは、

    +
    \[ +\begin{align} +I +&= I_O + my^2 +\\ +&= \frac{m(L^2 + 3y^2)}{3} +\end{align} +\]
    +

    である。 +衝突直後の棒（および Q）の O の周りの角速度を \(\omega\) とする。 +衝突前後の角運動量保存則より

    +
    \[ +\begin{align} +ymv_0 = I \omega +\end{align} +\]
    +

    が成り立ち、衝突直後と E が O が同じ高さに達した時点でのエネルギーが等しいことから

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{1}{2} I \omega^2 +&= mg \frac{L}{2} + mgy +\\ +&= \frac{1}{2} mg(L+2y) +\end{align} +\]
    +

    が成り立つ。 +これらから \(\omega\) を消去して、

    +
    \[ +\begin{align} +v_0 +&= \frac{1}{y} \sqrt{\frac{(L+2y)(L^2+3y^2)g}{3}} +\end{align} +\]
    +

    を得る。

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    数学 第1問

    + +

    Source

    +

    東京大学 大学院 工学系研究科 2023年度 数学 第1問

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +
    \[ +\begin{align} +\lim_{x \to 0} \frac{b^x - c^x}{ax} +&= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \log b} - e^{x \log c}}{ax} +\\ +&= \lim_{x \to 0} +\frac{\log b \cdot e^{x \log b} - \log c \cdot e^{x \log c}}{a} +\\ +&= \frac{\log b - \log c}{a} +\\ +&= \frac{1}{a} \log \frac{b}{c} +\end{align} +\]
    +

    II.

    +

    1.

    +

    \(x\) の関数 \(f(x)\) を使って、 \(y=f(x)x\) を (2) に代入すると、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{df(x)}{dx} x &= \log x +\\ +\therefore \ \ +f(x) +&= \int \frac{\log x}{x} dx +\\ +&= \int \left( \log x \right)' \log x dx +\\ +&= \left( \log x \right)^2 - \int \frac{\log x}{x} dx +\\ +\therefore \ \ +f(x) &= \frac{1}{2} \left( \log x \right)^2 + C +\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) +\end{align} +\]
    +

    となるので、求める一般解は

    +
    \[ +\begin{align} +y &= \frac{1}{2} x \left( \log x \right)^2 + Cx +\ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    2.

    +

    まず、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 2y = 0 +\end{align} +\]
    +

    に \(y=e^{\lambda x}\) （ \(\lambda\) は \(x\) によらない定数） +を代入すると、

    +
    \[ +\begin{align} +\lambda^2 - \lambda - 2 &= 0 +\\ +(\lambda - 2)(\lambda + 1) &= 0 +\\ +\therefore \ \ \lambda &= 2, -1 +\end{align} +\]
    +

    となるので、この微分方程式の一般解は

    +
    \[ +\begin{align} +y = A e^{2x} + B e^{-x} +\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    次に、 (3) に \(y=Cx^2+Dx+E\) （ \(C,D,E\) は \(x\) によらない定数） を代入すると、

    +
    \[ +\begin{align} +C = -1, \ \ D = 0, \ \ E = -1 +\end{align} +\]
    +

    を得るので、

    +
    \[ +\begin{align} +y = -x^2 - 1 +\end{align} +\]
    +

    は (3) の特殊解である。

    +

    以上より、 (3) の一般解は

    +
    \[ +\begin{align} +y = A e^{2x} + B e^{-x} -x^2 - 1 +\ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    III.

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{a_n}{a_{n+1}} +&= \frac{n!}{n^{n + \frac{1}{2}} e^{-n}} +\cdot \frac{(n+1)^{n + \frac{3}{2}} e^{-n-1}}{(n+1)!} +\\ +&= \frac{1}{e} \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^\frac{1}{2} +\cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n +\\ +&\xrightarrow{n \to \infty} 1 +\end{align} +\]
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    + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2023_8_math_2/index.html b/kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2023_8_math_2/index.html new file mode 100755 index 000000000..9a7a686cd --- /dev/null +++ b/kakomonn/tokyo_university/engineering/kyotsu_2023_8_math_2/index.html @@ -0,0 +1,1402 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 数学 第2問 - The Kai Project + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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    数学 第2問

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    Source

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    東京大学 大学院 工学系研究科 2023年度 数学 第2問

    +

    Description

    +

    Kai

    +

    I.

    +

    \(a=1\) のとき

    +
    \[ +\begin{align} +A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    であり、\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \det \begin{pmatrix} +2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2 - \lambda +\end{pmatrix} +\\ +&= - (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 4) +\\ +\therefore \ \ \lambda &= 1, 2, 4 +\end{align} +\]
    +

    である。よって、

    +
    \[ +\begin{align} +D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    である（固有値の並べ方の不定性はある）。

    +

    II.

    +

    \(A\) は実対称行列なので、実直交行列 \(P\) があって、

    +
    \[ +\begin{align} +A = P D P^{-1} , \ \ P^{-1} = P^T +\end{align} +\]
    +

    が成り立つ。そこで、非零三次元実ベクトル \(\boldsymbol{x}\) に対して

    +
    \[ +\begin{align} +\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} += P^{-1} \boldsymbol{x} +\end{align} +\]
    +

    とおくと、 \(y_1, y_2, y_3\) は実数であり、

    +
    \[ +\begin{align} +y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 +&= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T +\left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right) +\\ +&= \boldsymbol{x}^T P P^{-1} \boldsymbol{x} +\\ +&= \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} +\\ +&\gt 0 +\end{align} +\]
    +

    なので \(y_1, y_2, y_3\) の少なくとも1つは \(0\) ではなく、したがって、

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} +&= \boldsymbol{x}^T P D P^{-1} \boldsymbol{x} +\\ +&= \left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right)^T D +\left( P^{-1} \boldsymbol{x} \right) +\\ +&= y_1^2 + 2 y_2^2 + 4 y_3^2 +\\ +&\gt 0 +\end{align} +\]
    +

    が言える。

    +

    III.

    +
    \[ +\begin{align} +A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    の固有値を \(\lambda\) とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +0 +&= \det \begin{pmatrix} +2 - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 3 - \lambda & a \\ 0 & a & 2 - \lambda +\end{pmatrix} +\\ +&= - (\lambda - 2)(\lambda^2 - 5 \lambda - a^2 + 5) +\\ +\therefore \ \ \lambda &= 2, \frac{5 \pm \sqrt{4a^2+5}}{2} +\end{align} +\]
    +

    である。求める条件は、これらがすべて正であることであり、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{5 - \sqrt{4a^2+5}}{2} \gt 0 +\\ +\therefore \ \ +- \sqrt{5} \lt a \lt \sqrt{5} +\end{align} +\]
    +

    である。

    +

    IV.

    +
    \[ +\begin{align} +\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} +\end{align} +\]
    +

    とすると、

    +
    \[ +\begin{align} +\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1} +&= +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & a \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +- +\begin{pmatrix} a & 0 & -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\\ +&= 4x_1 + 2x_2 - a +, \\ +\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2} +&= 2x_1 + 6x_2 + 2ax_3 +, \\ +\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_3} +&= 2ax_2 + 4x_3 + 1 +\end{align} +\]
    +

    である。よって、 \(f(\boldsymbol{x})\) が最小になるのは、\(x_1, x_2, x_3\) が

    +
    \[ +\begin{align} +4x_1 + 2x_2 - a &= 0 +, \ \ +2x_1 + 6x_2 + 2ax_3 = 0 +, \ \ +2ax_2 + 4x_3 + 1 = 0 +\\ +\therefore \ \ +x_1 &= \frac{a}{4}, \ \ x_2 = 0, \ \ x_3 = - \frac{1}{4} +\end{align} +\]
    +

    のときであり、したがって、 \(f(\boldsymbol{x})\) の最小値は

    +
    \[ +\begin{align} +f \left( \begin{pmatrix} +\frac{a}{4} \\ 0 \\ - \frac{1}{4} \end{pmatrix} \right) += - \frac{a^2 + 1}{8} +\end{align} +\]
    +

    である。

    + + + + + + + + + + + + + + + + +
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    + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2017_8_math_1/index.html b/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2017_8_math_1/index.html index 9f9a302ed..305a62e87 100755 --- a/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2017_8_math_1/index.html +++ b/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2017_8_math_1/index.html @@ -13,7 +13,7 @@ - + @@ -340,6 +340,10 @@ + + + + @@ -382,6 +386,128 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
  • + + + + + + + + + + + + + + + 理学系研究科 + + + + + + + + + + + + + + +
    • + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
  • + + + + + + + + + + + + + + + 工学系研究科 + + + + + + + + + + + + + + +
    • + + + + + + + + @@ -405,10 +531,10 @@ - + -

    -

    Therefore,

    +

    We have,

    \[ \left (\begin{array}{cccc} x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \\ \end{array}\right)= -(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})diag(\lambda_{1}^{n},\lambda_{2}^{n},\lambda_{3}^{n})(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})^{-1} +(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})\text{diag}(\lambda_{1}^{n},\lambda_{2}^{n},\lambda_{3}^{n})(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})^{-1} \left (\begin{array}{cccc} x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n} \\ \end{array}\right) \]
    -

    \(0<\alpha<\frac{1}{3}\),thus A is postive defined.

    +

    Since \(0<\alpha<\frac{1}{3}\), A is positive-definite.

    \[ (q_{1}\ q_{2}\ q_{3})^{-1}= (q_{1}\ q_{2}\ q_{3})^{T}= @@ -1261,7 +1387,7 @@

    (4)

    -

    Therefore,

    +

    Hence,

    \[ \left (\begin{array}{cccc} x_{n} \\ @@ -1305,7 +1431,7 @@

    (5)

    -

    Therefore,

    +

    We have the following,

    \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left (\begin{array}{cccc} @@ -1326,7 +1452,7 @@

    (5)

    -

    Thus,

    +

    Hence,

    \[ \lim_{x \rightarrow \infty} \left (\begin{array}{cccc} @@ -1385,7 +1511,7 @@

    (6)

    -

    Since A is postive defined,thus \(q_{1},q_{2},q_{3}\) are all orthogonal, that is:

    +

    Since A is positive-definite, \(q_{1},q_{2},q_{3}\) are all orthogonal, that is:

    \[ q_{1}\perp q_{2},q_{2}\perp q_{3},q_{3}\perp q_{1} \]
    @@ -1437,7 +1563,7 @@

    (6)

    - +
    @@ -1447,7 +1573,7 @@

    (6)

    - 项目介绍 + 物理学1
    @@ -1505,7 +1631,7 @@

    (6)

    - + diff --git a/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2018_8_math_1/index.html b/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2018_8_math_1/index.html index 55b7e3b25..7055bee2a 100755 --- a/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2018_8_math_1/index.html +++ b/kakomonn/tokyo_university/information/kyotsu_2018_8_math_1/index.html @@ -340,6 +340,10 @@ + + + + @@ -382,6 +386,128 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
  • + + + + + + + + + + + + + + + 理学系研究科 + + + + + + + + + + + + + + +
    • + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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