Algorithme de Gauss-Jordan.md

name	type
Algorithme de Gauss-Jordan	Matière

#MAT-2930

Algorithme de Gauss-Jordan consiste a effectuer les même étape que dans l'[[Élimination de Gauss|élimination de Gauss]], mais de continuer afin d'avoir les pivot égale à un et des zero aux dessus de ceux-ci.

But

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Le but de la résolution est de simplifier d'avantage une [[Matrice|matrice]] afin d'obtenir cette forme: $$\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \dots & 0 & x \ 0 & 1 & \dots & 0 & x\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & 1 & x\ \end{array} \right]$$ Il est facile de voir à ce moment la valeur de chacune des variable

Résolution

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Manipulations

• Le pivot doit être égale à 1
• Il est possible de déplacer une ligne (interchanger avec une autre)
• Il est possible de multiplier une ligne par un scalaire
• Il est possible de faire une [[Vecteur#Combinaison Linéaire|combinaison linéaire]] entre deux lignes.

Exemple

soit la [[Matrice|matrice]] échelonné suivante: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} \colorbox{green}{1} & 2 & 1 & 2 \ \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{2} & -2 & 6\ \colorbox{red}{0} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{5} & -10\ \end{array} \right]$$

1. Nous ajustement de tous pivot pour que ceux-ci soit égale à 1

   1. $l_{2} \leftarrow l_2/2$
   2. $l_{3} \leftarrow l_3/5$
   3. $$\left[ \begin{array}{ccc|c} \colorbox{green}{1} & 2 & 1 & 2 \ \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & -1 & 3\ \colorbox{red}{0} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & -2\ \end{array} \right]$$

2. Retirons alors la valeur aux dessus du deuxième pivot

   1. $l_{1} \leftarrow l_{1} - 2l_{2}$
   2. $$\left[ \begin{array}{ccc|c} \colorbox{green}{1} & \colorbox{red}{0} & 3 & -4 \ \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & -1 & 3\ \colorbox{red}{0} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & -2\ \end{array} \right]$$

3. Retirons alors les valeurs aux dessus du troisième pivot

   1. $l_{1} \leftarrow l_{1} - 3l_{3}$
   2. $l_{2} \leftarrow l_{2} + l_{1}$
   3. $$\left[ \begin{array}{ccc|c} \colorbox{green}{1} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{red}{0} & 2 \ \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & \colorbox{red}{0} & 1\ \colorbox{red}{0} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{green}{1} & -2\ \end{array} \right]$$

4. Nous obtenons alors la matrice échelons réduite. Ici il est facile de voir sans substitution les valeurs de chacune des variable pour la solutions.

[!Attention] Dans une matrice qui n'est pas carré un pivots ne peut pas être zero donc: $$\left[ \begin{array}{cccc|c} \colorbox{green}{1} & -1 & \colorbox{red}{0} & 2 & 1 \ \colorbox{red}{0} & 0 &\colorbox{green}{1} & -2 & 1\ \colorbox{red}{0} & \colorbox{darkorange}{0} & \colorbox{red}{0} & \colorbox{darkorange}{0} & \colorbox{darkorange}{0}\ \end{array} \right] $$ Ici la [[Matrice|matrice]] à 2 pivot pour 4 variable donc se système d'équation à une infinité de solution. Ici la [[Matrice|matrice]] à une infinité de solution en 4 dimension comme: $[1, 0, 1, 0]$ est une solution valide.