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Método Combinado de Ajustamento de Observações

Introdução

O método combinado de ajustamento de observações é uma técnica avançada utilizada em geomática e outras áreas para ajustar valores observados e parâmetros simultaneamente. Este método é mais genérico que os métodos paramétrico e dos correlatos, pois combina elementos de ambos. A seguir, apresentaremos os principais conceitos, equações e procedimentos para a aplicação do método combinado.

Conceitos Básicos

  • Valores observados (L): Medidas feitas diretamente.
  • Parâmetros (X): Variáveis ajustadas indiretamente através das observações.
  • Função de ajuste (F): Relação matemática que descreve o sistema de observações e parâmetros.

Equações Fundamentais

O modelo matemático do método combinado é expresso pela função:

$$F(X, L) = 0$$

Para linearizar esta função, fazemos:

$$F(X + \Delta X, L + \Delta L) \approx F(X, L) + A \Delta X + B \Delta L$$

Onde ( A ) e ( B ) são as matrizes de derivadas parciais de ( F ) com respeito a ( X ) e ( L ), respectivamente.

Passos para o Ajustamento

  1. Definir as Observações e Parâmetros Iniciais:

    Lb = [observações iniciais]
X0 = [parâmetros iniciais]
P = [matriz de pesos]

  2. Cálculo das Matrizes A e B:

$$ A = \frac{∂F}{∂X}|_{(X0, Lb)} $$

$$ B = \frac{∂F}{∂X} |_{(X0, Lb)} $$

  1. Formação do Sistema Linearizado:

    AX + BV + W = 0

    Onde ( W ) é o vetor dos resíduos iniciais.

  2. Resolução das Equações Normais:

4. Resolução das Equações Normais

Para resolver o sistema linearizado, seguimos os seguintes passos:

  1. Multiplicação pela Transposta: Multiplicamos a equação linearizada $$AX + BV + W = 0$$ pela transposta de ( A ) e de ( B ) para formar o sistema das equações normais:

    $$A^T P (AX + BV + W) = 0$$$$B^T P (AX + BV + W) = 0$$

    Isso resulta no sistema de equações:

    $$A^T P A X + A^T P B V + A^T P W = 0$$ $$B^T P A X + B^T P B V + B^T P W = 0$$

  2. Formação das Matrizes ( K ) e ( C ): Reorganizamos as equações normais na forma matricial:

    $$K = \begin{bmatrix} A^T P A & A^T P B \ B^T P A & B^T P B \end{bmatrix}$$

    $$C = -\begin{bmatrix} A^T P W \ B^T P W \end{bmatrix}$$

  3. Resolução do Sistema Linear: Calculamos $$\Delta X$$ e $$\Delta V$$resolvendo o sistema:

$$K.\frac{\Delta X} {\Delta Y} =C$$

Para isso, podemos usar métodos numéricos, como a decomposição LU ou a inversão direta da matriz $$K$$.

Implementação em Python

Aqui está como você pode implementar a resolução desse sistema em Python:

TBBPM = B^T P B
WMAAMAX = (A^T P A)^{-1} (A^T P W - B^T P V)
X = X0 + ΔX
  1. Iterações: Repetir os cálculos acima até que a correção ( ΔX ) seja suficientemente pequena.

Exemplo Prático

Considere o ajuste das coordenadas de quatro pontos observados:

  • Observações: Coordenadas de quatro pontos (x, y)
  • Parâmetros: Coordenadas do centro ajustado (x_a, y_a) e o raio ajustado (r_a)

Modelo Matemático:

$$(x_i - x_a)^2 + (y_i - y_a)^2 - r_a^2 = 0$$

Procedimento:

  1. Definir as observações e parâmetros iniciais:

    Lb = [140, 0.5, 60, 0.5, 165, 1.0, 100, 1.0, 165, 0.5, 150, 0.5, 140, 1.0, 180, 1.0]
X0 = [70, 120, 100]
P = eye(8)  # Matriz identidade de 8x8

  2. Calcular as matrizes A e B:

$$A = ∂F/∂X |_(X0, Lb)$$

$$B = ∂F/∂L |_(X0, Lb)$$

  1. Formar e resolver o sistema linearizado:

AX + BV + W = 0

$$K = \begin{bmatrix} A^T P A & A^T P B \ B^T P A & B^T P B \end{bmatrix}$$

$$C = -\begin{bmatrix} A^T P W \ B^T P W \end{bmatrix}$$

AX + BV + W = 0
TBBPM = B^T P B
WMAAMAX = (A^T P A)^{-1} (A^T P W - B^T P V)
X = X0 + ΔX
  1. Iterar até convergência.

Conclusão

O método combinado de ajustamento é uma ferramenta poderosa para a correção simultânea de observações e parâmetros em sistemas de medição complexos. Através da linearização e iteração, obtemos soluções ajustadas que minimizam os erros de fechamento e proporcionam estimativas precisas dos parâmetros.

Código de Exemplo em Python (Google Colab)

import numpy as np

# Observações iniciais
Lb = np.array([140, 0.5, 60, 0.5, 165, 1.0, 100, 1.0, 165, 0.5, 150, 0.5, 140, 1.0, 180, 1.0])
# Parâmetros iniciais
X0 = np.array([70, 120, 100])
# Matriz de pesos (identidade)
P = np.eye(8)

# Função que define as matrizes A e B
def calcular_matrizes(X, L):
    # Implementar o cálculo das derivadas parciais
    A = np.zeros((8, 3))  # Exemplo de inicialização
    B = np.zeros((8, 8))  # Exemplo de inicialização
    # Preencher A e B com os valores corretos
    return A, B

# Iteração do ajuste
for _ in range(10):  # Exemplo de 10 iterações
    A, B = calcular_matrizes(X0, Lb)
    W = np.zeros(8)  # Vetor de resíduos
    # Formar e resolver o sistema linearizado
    TBBPM = B.T @ P @ B
    WMAAMAX = np.linalg.inv(A.T @ P @ A) @ (A.T @ P @ W - B.T @ P @ V)
    ΔX = WMAAMAX
    X = X0 + ΔX
    X0 = X  # Atualizar X0 para a próxima iteração

# Parâmetros ajustados finais
print("Parâmetros ajustados:", X)